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例2 如图，$∠ AOB$内有一点$P$，试在射线$OA$上找出一点$M$，在射线$OB$上找出一点$N$，使$PM+MN+NP$的和最小.
解 如图，作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，则$M$，$N$两点即为所求.
解 如图，作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，则$M$，$N$两点即为所求.
答案
解：
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M$、$N$两点即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，
因此$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
若在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'$、$M'N'$、$N'P$、$P_1M'$、$P_2N'$，
同理可得$PM' = P_1M'$，$PN' = P_2N'$，因此$PM' + M'N' + PN' = P_1M' + M'N' + P_2N'$。
根据两点之间线段最短，可知$P_1M' + M'N' + P_2N' ＞ P_1P_2$，
因此$PM + MN + NP$的和最小。
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M$、$N$两点即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，
因此$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
若在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'$、$M'N'$、$N'P$、$P_1M'$、$P_2N'$，
同理可得$PM' = P_1M'$，$PN' = P_2N'$，因此$PM' + M'N' + PN' = P_1M' + M'N' + P_2N'$。
根据两点之间线段最短，可知$P_1M' + M'N' + P_2N' ＞ P_1P_2$，
因此$PM + MN + NP$的和最小。
解析
【分析】
要使$PM+MN+NP$的和最小，可利用轴对称的性质将折线段转化为直线段求解，依据是“两点之间，线段最短”。首先我们可以通过作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，将$PM$转化为相等的$P_1M$；再作点$P$关于$OB$的对称点$P_2$，将$PN$转化为相等的$P_2N$，此时$PM+MN+NP$就转化为$P_1M+MN+P_2N$。要让这三条线段的和最小，只需让$P_1、M、N、P_2$四点共线，因此连接$P_1P_2$，它与$OA、OB$的交点就是所求的$M、N$，最后可通过取异于$M、N$的点验证该结果的正确性。
【解析】
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M、N$两点即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，
因此$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
若在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'、M'N'、N'P、P_1M'、P_2N'$，
同理可得$PM' = P_1M'$，$PN' = P_2N'$，因此$PM' + M'N' + PN' = P_1M' + M'N' + P_2N'$。
根据两点之间线段最短，可知$P_1M' + M'N' + P_2N' ＞ P_1P_2$，
因此$PM + MN + NP$的和最小。
【答案】
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M、N$两点即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型例题，解题核心是利用轴对称的思想“化折为直”，将同侧线段的和转化为异侧两点间的线段长度，结合两点之间线段最短的原理求解，掌握该转化方法可快速解决同类最短路径作图类问题。
【难度系数】
0.6
要使$PM+MN+NP$的和最小，可利用轴对称的性质将折线段转化为直线段求解，依据是“两点之间，线段最短”。首先我们可以通过作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，将$PM$转化为相等的$P_1M$；再作点$P$关于$OB$的对称点$P_2$，将$PN$转化为相等的$P_2N$，此时$PM+MN+NP$就转化为$P_1M+MN+P_2N$。要让这三条线段的和最小，只需让$P_1、M、N、P_2$四点共线，因此连接$P_1P_2$，它与$OA、OB$的交点就是所求的$M、N$，最后可通过取异于$M、N$的点验证该结果的正确性。
【解析】
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M、N$两点即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，
因此$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
若在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'、M'N'、N'P、P_1M'、P_2N'$，
同理可得$PM' = P_1M'$，$PN' = P_2N'$，因此$PM' + M'N' + PN' = P_1M' + M'N' + P_2N'$。
根据两点之间线段最短，可知$P_1M' + M'N' + P_2N' ＞ P_1P_2$，
因此$PM + MN + NP$的和最小。
【答案】
作法：
1. 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$，则$M、N$两点即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型例题，解题核心是利用轴对称的思想“化折为直”，将同侧线段的和转化为异侧两点间的线段长度，结合两点之间线段最短的原理求解，掌握该转化方法可快速解决同类最短路径作图类问题。
【难度系数】
0.6
1. 平行河岸两侧各有一个城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两个城镇。已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，在下图中应该选择方案 （
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要解决总造价最低的问题，首先明确核心条件：桥必须垂直于河岸，长度等于河宽为定值，且造桥单价比陆上公路高很多，因此总造价的差异由陆上公路的总长度决定，我们只需要让P到桥的一端、Q到桥的另一端的陆上路程之和最短即可。
解题时可利用平移思路：因为桥是垂直河岸的定长线段，我们可以将其中一个点沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，把两段陆上路径拼接起来，根据“两点之间线段最短”，拼接后的路径为线段时总长度最短，对应的就是最优建桥位置。
【解析】
1. 首先排除选项A：该方案中跨河路径不垂直于河岸，桥的长度大于河宽，会额外增加造桥成本，不符合要求。
2. 剩余选项中桥均为垂直河岸的定长线段（长度等于河宽），造桥成本固定，只需比较陆上公路总长度：
将点Q沿垂直河岸向上平移河宽的距离得到点Q'，此时桥的下端到Q的路程，等于桥的上端到Q'的路程。要让P到桥上端、Q到桥下端的路程之和最短，只需让P、桥上端、Q'三点共线，此时路程和等于线段PQ'的长度，是最短值。
观察选项，只有C选项符合这一特征，B、D的陆上路径之和均大于C的路径长度。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，解题核心是明确桥长为定值，通过平移转化路径，将分散的两段陆上路程转化为可直接用“两点之间线段最短”判断的共线情形，能很好地考查对平移性质和最短路径原理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决总造价最低的问题，首先明确核心条件：桥必须垂直于河岸，长度等于河宽为定值，且造桥单价比陆上公路高很多，因此总造价的差异由陆上公路的总长度决定，我们只需要让P到桥的一端、Q到桥的另一端的陆上路程之和最短即可。
解题时可利用平移思路：因为桥是垂直河岸的定长线段，我们可以将其中一个点沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，把两段陆上路径拼接起来，根据“两点之间线段最短”，拼接后的路径为线段时总长度最短，对应的就是最优建桥位置。
【解析】
1. 首先排除选项A：该方案中跨河路径不垂直于河岸，桥的长度大于河宽，会额外增加造桥成本，不符合要求。
2. 剩余选项中桥均为垂直河岸的定长线段（长度等于河宽），造桥成本固定，只需比较陆上公路总长度：
将点Q沿垂直河岸向上平移河宽的距离得到点Q'，此时桥的下端到Q的路程，等于桥的上端到Q'的路程。要让P到桥上端、Q到桥下端的路程之和最短，只需让P、桥上端、Q'三点共线，此时路程和等于线段PQ'的长度，是最短值。
观察选项，只有C选项符合这一特征，B、D的陆上路径之和均大于C的路径长度。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，解题核心是明确桥长为定值，通过平移转化路径，将分散的两段陆上路程转化为可直接用“两点之间线段最短”判断的共线情形，能很好地考查对平移性质和最短路径原理的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”
诗句中隐含着一个数学问题：士兵在观
望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营. 若点A，B到水平直线l(l表示小河)的距离分别是2，1，A，B两点之间的水平距离是4，则$AP+PB$的最小值可能为
（
A.3
B.4
C.5
D.7
诗句中隐含着一个数学问题：士兵在观
望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营. 若点A，B到水平直线l(l表示小河)的距离分别是2，1，A，B两点之间的水平距离是4，则$AP+PB$的最小值可能为
（
C
）A.3
B.4
C.5
D.7
答案
2. C
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：① 要找直线l上的点P使得AP+PB最小，根据轴对称的性质，作点A关于直线l的对称点A'，此时对直线l上任意点P，都有AP=A'P，因此AP+PB可转化为A'P+PB；② 根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+PB的和最小，最小值为线段A'B的长度；③ 构造直角三角形，利用勾股定理计算A'B的长度即可得到答案。
【解析】
解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为使AP+PB最小的点P，此时AP+PB的最小值等于A'B的长度。
过点B作直线l的垂线，过点A'作直线l的平行线，两线交于点C，则△A'CB为直角三角形，且$∠ C=90°$。
由题意可知：A'C等于A、B两点的水平距离，即$A'C=4$；
BC的长度为点A到l的距离与点B到l的距离之和，即$BC=2+1=3$；
在$Rt△ A'CB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'C^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
因此AP+PB的最小值为5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
将军饮马模型；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题以经典诗句为背景考查最短路径问题的求解，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：① 要找直线l上的点P使得AP+PB最小，根据轴对称的性质，作点A关于直线l的对称点A'，此时对直线l上任意点P，都有AP=A'P，因此AP+PB可转化为A'P+PB；② 根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+PB的和最小，最小值为线段A'B的长度；③ 构造直角三角形，利用勾股定理计算A'B的长度即可得到答案。
【解析】
解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为使AP+PB最小的点P，此时AP+PB的最小值等于A'B的长度。
过点B作直线l的垂线，过点A'作直线l的平行线，两线交于点C，则△A'CB为直角三角形，且$∠ C=90°$。
由题意可知：A'C等于A、B两点的水平距离，即$A'C=4$；
BC的长度为点A到l的距离与点B到l的距离之和，即$BC=2+1=3$；
在$Rt△ A'CB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'C^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
因此AP+PB的最小值为5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
将军饮马模型；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题以经典诗句为背景考查最短路径问题的求解，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
3. 直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 表示一条河的两岸，且 $ l_1 // l_2 $，已知村庄P和村庄Q在这条河的两岸. 现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸 $ l_1 $，$ l_2 $ 垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即 $ PE + EF + FQ $ 最小，则下列四种方案满足条件的是 （
A
）答案
3. A
解析
【分析】
首先明确桥EF需与河岸垂直，因此EF的长度等于河宽，是固定不变的，所以要让总路径$PE+EF+FQ$最短，只需要让$PE+FQ$的和最小即可。接下来我们通过平移转化分散的线段：将点P沿垂直河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度）得到点$P'$，根据平移性质，此时$PE=P'F$，$PE+FQ$就转化为$P'F+FQ$。再根据“两点之间，线段最短”，连接$P'Q$，它与$l_1$的交点就是最优的F点，过F作$FE ⊥ l_2$得到E点，对应路径就是最短路径，符合该作图的即为正确选项。
【解析】
解：
∵EF与河的两岸$l_1$、$l_2$垂直，且$l_1 // l_2$，
∴EF的长度等于河宽，是固定值，因此要使$PE+EF+FQ$最小，只需保证$PE+FQ$最小即可。
将点P沿垂直于$l_2$的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度），得到点$P'$，由平移的性质可得$PE=P'F$，因此$PE+FQ=P'F+FQ$。
根据“两点之间，线段最短”，连接$P'Q$，$P'Q$与$l_1$的交点即为F点，过F作$FE ⊥ l_2$，垂足为E，此时$P'F+FQ=P'Q$为最小值，即$PE+FQ$最小，总路径$PE+EF+FQ$最短。
观察选项，只有A选项的作图符合上述推导。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题核心是利用平移消去固定长度的桥的影响，将分散的两条线段转化为共端点的两条线段，再结合两点之间线段最短的原理确定最优点位，掌握平移转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先明确桥EF需与河岸垂直，因此EF的长度等于河宽，是固定不变的，所以要让总路径$PE+EF+FQ$最短，只需要让$PE+FQ$的和最小即可。接下来我们通过平移转化分散的线段：将点P沿垂直河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度）得到点$P'$，根据平移性质，此时$PE=P'F$，$PE+FQ$就转化为$P'F+FQ$。再根据“两点之间，线段最短”，连接$P'Q$，它与$l_1$的交点就是最优的F点，过F作$FE ⊥ l_2$得到E点，对应路径就是最短路径，符合该作图的即为正确选项。
【解析】
解：
∵EF与河的两岸$l_1$、$l_2$垂直，且$l_1 // l_2$，
∴EF的长度等于河宽，是固定值，因此要使$PE+EF+FQ$最小，只需保证$PE+FQ$最小即可。
将点P沿垂直于$l_2$的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度），得到点$P'$，由平移的性质可得$PE=P'F$，因此$PE+FQ=P'F+FQ$。
根据“两点之间，线段最短”，连接$P'Q$，$P'Q$与$l_1$的交点即为F点，过F作$FE ⊥ l_2$，垂足为E，此时$P'F+FQ=P'Q$为最小值，即$PE+FQ$最小，总路径$PE+EF+FQ$最短。
观察选项，只有A选项的作图符合上述推导。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题核心是利用平移消去固定长度的桥的影响，将分散的两条线段转化为共端点的两条线段，再结合两点之间线段最短的原理确定最优点位，掌握平移转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
