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8. 利用因式分解计算：
(1) $23.1×24 - 46.2×7$；
(2) $213^2 + 213 - 214^2$。
(1) $23.1×24 - 46.2×7$；
(2) $213^2 + 213 - 214^2$。
答案
8. 解 (1) 原式=$23.1×(24-2×7)=231.$
(2) 原式=$213×(213+1)-214^2=213×214-214^2=214×(213-214)=-214.$
(2) 原式=$213×(213+1)-214^2=213×214-214^2=214×(213-214)=-214.$
解析
【分析】
(1) 观察式子可发现46.2是23.1的2倍，先将46.2转化为2×23.1，此时两项出现公因式23.1，提取公因式后再计算可大幅简化运算，无需直接计算两个乘法项。
(2) 先对前两项提取公因式213，计算后可得213×214，此时式子两项出现公因式214，再次提取公因式即可避免计算高次乘方，快速得到结果。
【解析】
(1) 先对式子变形，拆分46.2为2×23.1：
原式$=23.1×24 - 2×23.1×7$
提取公因式$23.1$：
$=23.1×(24 - 2×7)$
计算括号内运算：
$=23.1×10=231$
(2) 先对前两项提取公因式213：
原式$=213×(213+1) - 214^2$
计算括号内加法：
$=213×214 - 214^2$
提取公因式$214$：
$=214×(213 - 214)$
计算括号内运算：
$=214×(-1)=-214$
【答案】
(1) $\boxed{231}$；(2) $\boxed{-214}$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的基础应用，解题关键是观察式子的数字特征，找到隐藏的公因式，通过提公因式将复杂的乘法、乘方运算转化为简单的四则运算，降低计算量的同时减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子可发现46.2是23.1的2倍，先将46.2转化为2×23.1，此时两项出现公因式23.1，提取公因式后再计算可大幅简化运算，无需直接计算两个乘法项。
(2) 先对前两项提取公因式213，计算后可得213×214，此时式子两项出现公因式214，再次提取公因式即可避免计算高次乘方，快速得到结果。
【解析】
(1) 先对式子变形，拆分46.2为2×23.1：
原式$=23.1×24 - 2×23.1×7$
提取公因式$23.1$：
$=23.1×(24 - 2×7)$
计算括号内运算：
$=23.1×10=231$
(2) 先对前两项提取公因式213：
原式$=213×(213+1) - 214^2$
计算括号内加法：
$=213×214 - 214^2$
提取公因式$214$：
$=214×(213 - 214)$
计算括号内运算：
$=214×(-1)=-214$
【答案】
(1) $\boxed{231}$；(2) $\boxed{-214}$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的基础应用，解题关键是观察式子的数字特征，找到隐藏的公因式，通过提公因式将复杂的乘法、乘方运算转化为简单的四则运算，降低计算量的同时减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
9. 先分解因式，再求值：$(a+b)(a-b)-(a-b)^2$，其中$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
答案
解 原式=$(a-b)(a+b-a+b)=2b(a-b).$
当$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$时，
原式=$2×(-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}.$
当$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$时，
原式=$2×(-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}.$
解析
【分析】
拿到题目首先明确要求为先分解因式再求值，因此优先观察式子结构找公因式，避免直接展开计算增加运算量。原式由两项组成：第一项为$(a+b)(a-b)$，第二项为$-(a-b)^2$，两项均含有公共因式$(a-b)$，因此先提取公因式$(a-b)$，对余下的部分合并同类项完成因式分解，再将$a$、$b$的数值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
先分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)[(a+b)-(a-b)]\\&=(a-b)(a+b-a+b)\\&=2b(a-b)\end{aligned}$
再代入$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$求值：
$\begin{aligned}原式&=2×(-\dfrac{1}{2})×[1-(-\dfrac{1}{2})]\\&=-1×(1+\dfrac{1}{2})\\&=-1×\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 整式化简求值
【点评】
本题主要考查因式分解在整式求值中的应用，采用先分解因式再代入求值的思路可有效简化运算，降低计算错误率，需熟练掌握提公因式时公因式的判断方法。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确要求为先分解因式再求值，因此优先观察式子结构找公因式，避免直接展开计算增加运算量。原式由两项组成：第一项为$(a+b)(a-b)$，第二项为$-(a-b)^2$，两项均含有公共因式$(a-b)$，因此先提取公因式$(a-b)$，对余下的部分合并同类项完成因式分解，再将$a$、$b$的数值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
先分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)[(a+b)-(a-b)]\\&=(a-b)(a+b-a+b)\\&=2b(a-b)\end{aligned}$
再代入$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$求值：
$\begin{aligned}原式&=2×(-\dfrac{1}{2})×[1-(-\dfrac{1}{2})]\\&=-1×(1+\dfrac{1}{2})\\&=-1×\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 整式化简求值
【点评】
本题主要考查因式分解在整式求值中的应用，采用先分解因式再代入求值的思路可有效简化运算，降低计算错误率，需熟练掌握提公因式时公因式的判断方法。
【难度系数】
0.8
10. 已知$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 3$，求$2x^4y^3 - x^3y^4$的值.
答案
10. 解 因为$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$，
所以原式=$(xy)^3(2x-y)=27×\frac{1}{3}=9.$
所以原式=$(xy)^3(2x-y)=27×\frac{1}{3}=9.$
解析
【分析】
首先观察待求代数式和已知条件的关系，若直接求解x、y的值计算量较大，因此优先考虑对代数式因式分解，将其转化为含有已知的$2x-y$和$xy$的形式。先确定多项式$2x^4y^3 - x^3y^4$各项的公因式：两项中x的最低次数是3，y的最低次数是3，因此公因式为$x^3y^3=(xy)^3$，提取公因式后剩余的部分正好是$2x-y$，与已知条件吻合，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：先对待求式提公因式分解因式：
$2x^4y^3 - x^3y^4 = x^3y^3(2x - y) = (xy)^3(2x - y)$
将$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 3$代入上式：
原式$= 3^3 × \frac{1}{3} = 27 × \frac{1}{3} = 9$
【答案】
$9$
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，积的乘方运算
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，无需单独求解未知数的值，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
首先观察待求代数式和已知条件的关系，若直接求解x、y的值计算量较大，因此优先考虑对代数式因式分解，将其转化为含有已知的$2x-y$和$xy$的形式。先确定多项式$2x^4y^3 - x^3y^4$各项的公因式：两项中x的最低次数是3，y的最低次数是3，因此公因式为$x^3y^3=(xy)^3$，提取公因式后剩余的部分正好是$2x-y$，与已知条件吻合，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：先对待求式提公因式分解因式：
$2x^4y^3 - x^3y^4 = x^3y^3(2x - y) = (xy)^3(2x - y)$
将$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 3$代入上式：
原式$= 3^3 × \frac{1}{3} = 27 × \frac{1}{3} = 9$
【答案】
$9$
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，积的乘方运算
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，无需单独求解未知数的值，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
