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例2 分解因式：(1) $-8x^2y^3z -6xy^2z^2 +12xy^3z$；
(2) $3ab^2(x-y)^3 -9ab(y-x)^2$；
(3) $\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(b-2a)^2$。
解 (1) $-8x^2y^3z -6xy^2z^2 +12xy^3z = -2xy^2z(4xy +3z -6y)$。
(2) $3ab^2(x-y)^3 -9ab(y-x)^2$
$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$。
(3) $\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(b-2a)^2$
$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x -15y)$。
(2) $3ab^2(x-y)^3 -9ab(y-x)^2$；
(3) $\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(b-2a)^2$。
解 (1) $-8x^2y^3z -6xy^2z^2 +12xy^3z = -2xy^2z(4xy +3z -6y)$。
(2) $3ab^2(x-y)^3 -9ab(y-x)^2$
$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$。
(3) $\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(b-2a)^2$
$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x -15y)$。
答案
解：
(1) 原式$=-2xy^2z· 4xy -2xy^2z· 3z +2xy^2z· 6y$
$=-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) 原式$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2· b(x-y) - 3ab(x-y)^2· 3$
$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) 原式$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· x - \frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· 15y$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
(1) 原式$=-2xy^2z· 4xy -2xy^2z· 3z +2xy^2z· 6y$
$=-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) 原式$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2· b(x-y) - 3ab(x-y)^2· 3$
$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) 原式$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· x - \frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· 15y$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式的通用步骤：①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同因式（含字母、整体代数式）取最低次幂，若多项式首项系数为负，优先提取负号；②统一互为相反数的底数的形式：注意偶次幂下，互为相反数的两个底数的偶次幂相等，如$(y-x)^2=(x-y)^2$、$(b-2a)^2=(2a-b)^2$；③提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式，剩余因式需化简整理。
(1) 题首项为负，先确定公因式为$-2xy^2z$，再将每一项拆分为公因式乘剩余项，合并即可；
(2) 题先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，确定公因式为$3ab(x-y)^2$，提取后化简括号内的代数式；
(3) 题先将$(b-2a)^2$转化为$(2a-b)^2$，确定公因式为$\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2$，提取后整理即可。
【解析】
(1) 确定公因式为$-2xy^2z$，拆分各项：
原式$=-2xy^2z· 4xy -2xy^2z· 3z +2xy^2z· 6y$
提取公因式得：$=-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) 先利用偶次幂的符号性质，将$(y-x)^2$变形为$(x-y)^2$，确定公因式为$3ab(x-y)^2$：
原式$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2· b(x-y) - 3ab(x-y)^2· 3$
提取公因式得：$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
去括号化简剩余因式：$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) 先利用偶次幂的符号性质，将$(b-2a)^2$变形为$(2a-b)^2$，确定公因式为$\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2$：
原式$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· x - \frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· 15y$
提取公因式得：$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
【答案】
(1) $-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) $3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) $\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 偶次幂符号变形 3. 公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础典型题，覆盖了提公因式的常见考点：含负号的公因式提取、整体类公因式提取、互为相反数的底数的偶次幂变形，解题时需注意公因式要提尽，提取后剩余因式要化简到不能再合并为止，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式的通用步骤：①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同因式（含字母、整体代数式）取最低次幂，若多项式首项系数为负，优先提取负号；②统一互为相反数的底数的形式：注意偶次幂下，互为相反数的两个底数的偶次幂相等，如$(y-x)^2=(x-y)^2$、$(b-2a)^2=(2a-b)^2$；③提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式，剩余因式需化简整理。
(1) 题首项为负，先确定公因式为$-2xy^2z$，再将每一项拆分为公因式乘剩余项，合并即可；
(2) 题先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，确定公因式为$3ab(x-y)^2$，提取后化简括号内的代数式；
(3) 题先将$(b-2a)^2$转化为$(2a-b)^2$，确定公因式为$\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2$，提取后整理即可。
【解析】
(1) 确定公因式为$-2xy^2z$，拆分各项：
原式$=-2xy^2z· 4xy -2xy^2z· 3z +2xy^2z· 6y$
提取公因式得：$=-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) 先利用偶次幂的符号性质，将$(y-x)^2$变形为$(x-y)^2$，确定公因式为$3ab(x-y)^2$：
原式$=3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$
$=3ab(x-y)^2· b(x-y) - 3ab(x-y)^2· 3$
提取公因式得：$=3ab(x-y)^2[b(x-y)-3]$
去括号化简剩余因式：$=3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) 先利用偶次幂的符号性质，将$(b-2a)^2$变形为$(2a-b)^2$，确定公因式为$\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2$：
原式$=\frac{1}{3}x^3y^2(2a-b)^2 -5x^2y^3(2a-b)^2$
$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· x - \frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2· 15y$
提取公因式得：$=\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
【答案】
(1) $-2xy^2z(4xy + 3z -6y)$
(2) $3ab(x-y)^2(bx - by -3)$
(3) $\frac{1}{3}x^2y^2(2a-b)^2(x-15y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 偶次幂符号变形 3. 公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础典型题，覆盖了提公因式的常见考点：含负号的公因式提取、整体类公因式提取、互为相反数的底数的偶次幂变形，解题时需注意公因式要提尽，提取后剩余因式要化简到不能再合并为止，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的是（
A.$(x-3)(x+3)=x^2 -9$
B.$x^2 +x +1 =x(x+1)+1$
C.$3x^2 -3x +1=3x(x-1)+1$
D.$8a^3b^2 +12ab^3c=4ab^2(2a^2 +3bc)$
D
）A.$(x-3)(x+3)=x^2 -9$
B.$x^2 +x +1 =x(x+1)+1$
C.$3x^2 -3x +1=3x(x-1)+1$
D.$8a^3b^2 +12ab^3c=4ab^2(2a^2 +3bc)$
答案
1. D
解析
【分析】
解题前首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解。判断时只需要抓住两个核心标准：①变形后的结果必须是几个整式的乘积，不能带有加、减的余项；②等式左右两边的数值完全相等。接下来我们按照这个标准逐个判断选项即可。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的要求，排除；
B选项：右边为$x(x+1)+1$，含有加法运算，不是几个整式的乘积形式，不符合要求，排除；
C选项：右边为$3x(x-1)+1$，同样含有加法余项，不是整式乘积的形式，不符合要求，排除；
D选项：左边是多项式，右边是$4ab^2$和$2a^2+3bc$两个整式的乘积，且等式左右两边数值相等，完全符合因式分解的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础常考题，重点考查对概念本质的理解，只要牢记“结果为整式乘积”这一核心特征，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解。判断时只需要抓住两个核心标准：①变形后的结果必须是几个整式的乘积，不能带有加、减的余项；②等式左右两边的数值完全相等。接下来我们按照这个标准逐个判断选项即可。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的要求，排除；
B选项：右边为$x(x+1)+1$，含有加法运算，不是几个整式的乘积形式，不符合要求，排除；
C选项：右边为$3x(x-1)+1$，同样含有加法余项，不是整式乘积的形式，不符合要求，排除；
D选项：左边是多项式，右边是$4ab^2$和$2a^2+3bc$两个整式的乘积，且等式左右两边数值相等，完全符合因式分解的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础常考题，重点考查对概念本质的理解，只要牢记“结果为整式乘积”这一核心特征，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 把多项式 $2ab + 4ab^2$ 分解因式，应提取的公因式是（
A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$4ab^2$
B
）A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$4ab^2$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，最后取相同字母的最低次幂，三者相乘就是要提取的公因式。
【解析】
对多项式$2ab + 4ab^2$的两项分别分析：
1. 确定系数的最大公约数：两项的系数分别是2和4，最大公约数为2；
2. 确定相同字母的最低次幂：两项都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1；
3. 组合可得公因式为$2 × a × b = 2ab$。
因此应提取的公因式是$2ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，最后取相同字母的最低次幂，三者相乘就是要提取的公因式。
【解析】
对多项式$2ab + 4ab^2$的两项分别分析：
1. 确定系数的最大公约数：两项的系数分别是2和4，最大公约数为2；
2. 确定相同字母的最低次幂：两项都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1；
3. 组合可得公因式为$2 × a × b = 2ab$。
因此应提取的公因式是$2ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 把$5(a-b)+m(b-a)$提公因式后，若其中一个因式是$a-b$，则另一个因式是（
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
A
）A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求提取公因式后其中一个因式为$a-b$，因此需要先将原式中两项都转化为含有$a-b$的形式。观察到式子中的$b-a$与$a-b$互为相反数，可将$b-a$变形为$-(a-b)$，此时两项有公共的因式$a-b$，提取公因式后剩下的部分就是另一个因式。
【解析】
解：
∵ $b-a=-(a-b)$
∴ 原式可变形为：
$5(a-b)+m(b-a)=5(a-b)-m(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m)$
已知其中一个因式是$a-b$，因此另一个因式为$5-m$。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是正确识别互为相反数的因式，统一公因式的形式后再提取，计算时要注意符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目要求提取公因式后其中一个因式为$a-b$，因此需要先将原式中两项都转化为含有$a-b$的形式。观察到式子中的$b-a$与$a-b$互为相反数，可将$b-a$变形为$-(a-b)$，此时两项有公共的因式$a-b$，提取公因式后剩下的部分就是另一个因式。
【解析】
解：
∵ $b-a=-(a-b)$
∴ 原式可变形为：
$5(a-b)+m(b-a)=5(a-b)-m(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m)$
已知其中一个因式是$a-b$，因此另一个因式为$5-m$。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是正确识别互为相反数的因式，统一公因式的形式后再提取，计算时要注意符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
4. 如图，这个长方形的周长为16，面积为12，则$a^2b + ab^2$的值为（
A.80
B.96
C.192
D.240
B
）A.80
B.96
C.192
D.240
答案
4. B
解析
【分析】
首先从已知的长方形周长、面积条件出发，先求出$a+b$与$ab$的值；再观察待求式$a^2b + ab^2$的结构，可通过提公因式法对其因式分解，将其变形为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：根据长方形周长公式可得：$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
根据长方形面积公式可得：$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式得：
原式$=12×8=96$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，长方形周长与面积计算，整体代入求值
【点评】
本题结合几何基础公式考查因式分解的应用，核心是熟练掌握提公因式法分解因式的方法，利用整体代入的思想简化计算，规避求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
首先从已知的长方形周长、面积条件出发，先求出$a+b$与$ab$的值；再观察待求式$a^2b + ab^2$的结构，可通过提公因式法对其因式分解，将其变形为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：根据长方形周长公式可得：$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
根据长方形面积公式可得：$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式得：
原式$=12×8=96$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，长方形周长与面积计算，整体代入求值
【点评】
本题结合几何基础公式考查因式分解的应用，核心是熟练掌握提公因式法分解因式的方法，利用整体代入的思想简化计算，规避求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
5. 已知$a-b=5$，$b-c=-6$，则$a^2 - ac - b(a - c)$的值为（
A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
C
）A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
答案
5. C
解析
【分析】
本题已知两个含a、b、c的差式的值，无法直接求出a、b、c的具体数值，因此优先考虑对所求多项式进行因式分解化简，将其转化为可用已知条件表示的形式。首先观察所求多项式的结构，前两项可先提取公因式a，提取后可发现整个式子存在公因式(a-c)，再次提取公因式后即可将多项式化简为两个因式的乘积，再根据已知的两个差式求出a-c的值，整体代入即可计算出结果。
【解析】
解：先对所求多项式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
已知$a-b=5$，$b-c=-6$，将两式相加可得：
$a - b + b - c = 5 + (-6)$，即$a - c = -1$
将$a-b=5$，$a-c=-1$代入化简后的式子得：
原式$=(-1) × 5 = -5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的核心是通过提公因式将复杂多项式转化为整式乘积的形式，结合已知条件用整体代入的方法计算，无需单独求解每个未知数的值，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
本题已知两个含a、b、c的差式的值，无法直接求出a、b、c的具体数值，因此优先考虑对所求多项式进行因式分解化简，将其转化为可用已知条件表示的形式。首先观察所求多项式的结构，前两项可先提取公因式a，提取后可发现整个式子存在公因式(a-c)，再次提取公因式后即可将多项式化简为两个因式的乘积，再根据已知的两个差式求出a-c的值，整体代入即可计算出结果。
【解析】
解：先对所求多项式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
已知$a-b=5$，$b-c=-6$，将两式相加可得：
$a - b + b - c = 5 + (-6)$，即$a - c = -1$
将$a-b=5$，$a-c=-1$代入化简后的式子得：
原式$=(-1) × 5 = -5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的核心是通过提公因式将复杂多项式转化为整式乘积的形式，结合已知条件用整体代入的方法计算，无需单独求解每个未知数的值，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
6. $(-2)^{123} + (-2)^{124}$计算后的结果是（
A.$2^{123}$
B.$-2$
C.$-2^{123}$
D.$-1$
A
）A.$2^{123}$
B.$-2$
C.$-2^{123}$
D.$-1$
答案
6. A
解析
【分析】
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数分别为123和124，符合同底数幂相加的特征，可利用提公因式法简化计算。首先确定两项的公因式为指数更低的$(-2)^{123}$，提取公因式后先计算剩余部分的和，再结合乘方的符号规律化简即可得到结果。
【解析】
解：观察原式，两项的公因式为$(-2)^{123}$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{123} + (-2)^{124} &= (-2)^{123} + (-2)^{123} × (-2) \\&= (-2)^{123} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{123} × (-1) \\&= 2^{123}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算化简的基础题型，解题核心是准确识别两项的公因式并正确提取，计算时要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数分别为123和124，符合同底数幂相加的特征，可利用提公因式法简化计算。首先确定两项的公因式为指数更低的$(-2)^{123}$，提取公因式后先计算剩余部分的和，再结合乘方的符号规律化简即可得到结果。
【解析】
解：观察原式，两项的公因式为$(-2)^{123}$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{123} + (-2)^{124} &= (-2)^{123} + (-2)^{123} × (-2) \\&= (-2)^{123} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{123} × (-1) \\&= 2^{123}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算化简的基础题型，解题核心是准确识别两项的公因式并正确提取，计算时要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
7. 分解因式：
(1) $8m^2n + 2m$；
(2) $15a^2b^4 + 5a^2b^2$；
(3) $12(x - y)^3 + 15x(y - x)^2$；
(4) $2(x - 2y)^2(x + 2y) + 3(2y - x) · (x + 2y)^2$。
(1) $8m^2n + 2m$；
(2) $15a^2b^4 + 5a^2b^2$；
(3) $12(x - y)^3 + 15x(y - x)^2$；
(4) $2(x - 2y)^2(x + 2y) + 3(2y - x) · (x + 2y)^2$。
答案
解 (1) $2m(4mn+1)$
(2) $5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) 原式=$12(x-y)^3+15x(x-y)^2$
=$3(x-y)^2[4(x-y)+5x]$
=$3(x-y)^2(9x-4y).$
(4) 原式=$2(2y-x)^2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)^2$
=$(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)]$
=$(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y)$
=$(2y-x)(x+2y)(10y+x).$
(2) $5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) 原式=$12(x-y)^3+15x(x-y)^2$
=$3(x-y)^2[4(x-y)+5x]$
=$3(x-y)^2(9x-4y).$
(4) 原式=$2(2y-x)^2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)^2$
=$(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)]$
=$(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y)$
=$(2y-x)(x+2y)(10y+x).$
解析
【分析】
这4道题均采用提公因式法分解因式，解题遵循通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（可以是单项式也可以是多项式整体），相同因式取最低次幂；②若存在互为相反数的多项式因式，利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质统一因式形式；③提取公因式，将剩余部分合并同类项，最后检查是否分解彻底。
具体到各小题：(1)公因式为2m，直接提取即可；(2)公因式为$5a^2b^2$，直接提取即可；(3)先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式$3(x-y)^2$，合并剩余同类项即可；(4)先将$(x-2y)^2$转化为$(2y-x)^2$，提取公因式$(2y-x)(x+2y)$，再合并剩余同类项即可。
【解析】
(1) 提取公因式$2m$：
$8m^2n + 2m = 2m·4mn + 2m·1 = 2m(4mn+1)$
(2) 提取公因式$5a^2b^2$：
$15a^2b^4 + 5a^2b^2 = 5a^2b^2·3b^2 + 5a^2b^2·1 = 5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) 先统一因式形式再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=12(x-y)^3+15x(x-y)^2\\&=3(x-y)^2[4(x-y)+5x]\\&=3(x-y)^2(4x-4y+5x)\\&=3(x-y)^2(9x-4y)\end{aligned}$
(4) 先统一因式形式再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=2(2y-x)^2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)^2\\&=(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)]\\&=(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y)\\&=(2y-x)(x+2y)(x+10y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2m(4mn+1)$
(2) $5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) $3(x-y)^2(9x-4y)$
(4) $(2y-x)(x+2y)(x+10y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
3. 幂的符号变形
【点评】
本组题目是提公因式法的基础应用，易错点为处理互为相反数的多项式因式时符号出错，提取公因式后要注意合并剩余部分的同类项，保证分解结果彻底、规范。
【难度系数】
0.75
这4道题均采用提公因式法分解因式，解题遵循通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（可以是单项式也可以是多项式整体），相同因式取最低次幂；②若存在互为相反数的多项式因式，利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质统一因式形式；③提取公因式，将剩余部分合并同类项，最后检查是否分解彻底。
具体到各小题：(1)公因式为2m，直接提取即可；(2)公因式为$5a^2b^2$，直接提取即可；(3)先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式$3(x-y)^2$，合并剩余同类项即可；(4)先将$(x-2y)^2$转化为$(2y-x)^2$，提取公因式$(2y-x)(x+2y)$，再合并剩余同类项即可。
【解析】
(1) 提取公因式$2m$：
$8m^2n + 2m = 2m·4mn + 2m·1 = 2m(4mn+1)$
(2) 提取公因式$5a^2b^2$：
$15a^2b^4 + 5a^2b^2 = 5a^2b^2·3b^2 + 5a^2b^2·1 = 5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) 先统一因式形式再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=12(x-y)^3+15x(x-y)^2\\&=3(x-y)^2[4(x-y)+5x]\\&=3(x-y)^2(4x-4y+5x)\\&=3(x-y)^2(9x-4y)\end{aligned}$
(4) 先统一因式形式再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=2(2y-x)^2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)^2\\&=(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)]\\&=(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y)\\&=(2y-x)(x+2y)(x+10y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2m(4mn+1)$
(2) $5a^2b^2(3b^2+1)$
(3) $3(x-y)^2(9x-4y)$
(4) $(2y-x)(x+2y)(x+10y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
3. 幂的符号变形
【点评】
本组题目是提公因式法的基础应用，易错点为处理互为相反数的多项式因式时符号出错，提取公因式后要注意合并剩余部分的同类项，保证分解结果彻底、规范。
【难度系数】
0.75
