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知识点一 运用平方差公式分解因式
把整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的等号两边互换，就得到$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即两个数的
例1 分解因式：$(2n+3)^2 -1.$
解 $(2n+3)^2 -1=(2n+3+1)(2n+3-1)=(2n+4)·(2n+2)=4(n+2)(n+1).$
把整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的等号两边互换，就得到$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即两个数的
平方差
，等于这两个数的和与这两个数的差的积
。例1 分解因式：$(2n+3)^2 -1.$
解 $(2n+3)^2 -1=(2n+3+1)(2n+3-1)=(2n+4)·(2n+2)=4(n+2)(n+1).$
答案
1. 平方差 2. 积
解析
【分析】
这道题考查因式分解中平方差公式的文字表述，解题时先明确平方差公式的两种互逆形式：整式乘法的平方差公式是从“和乘差”推导到“平方差”，反过来用于因式分解时，就是从“平方差”推导到“和乘差”。我们只需要对逆用后的平方差公式左右两边做文字对应，就能得到两个空的答案。
【解析】
已知逆用整式乘法的平方差公式可得因式分解的平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
对公式左右两侧做文字表述：
等式左边$a^2-b^2$表示的是两个数的平方差；
等式右边$(a+b)(a-b)$表示的是这两个数的和与这两个数的差的积。
因此第一个空填“平方差”，第二个空填“积”。
【答案】
平方差；积
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对平方差公式两种互逆变形的理解，区分整式乘法和因式分解的互逆关系，牢记公式表述即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解中平方差公式的文字表述，解题时先明确平方差公式的两种互逆形式：整式乘法的平方差公式是从“和乘差”推导到“平方差”，反过来用于因式分解时，就是从“平方差”推导到“和乘差”。我们只需要对逆用后的平方差公式左右两边做文字对应，就能得到两个空的答案。
【解析】
已知逆用整式乘法的平方差公式可得因式分解的平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
对公式左右两侧做文字表述：
等式左边$a^2-b^2$表示的是两个数的平方差；
等式右边$(a+b)(a-b)$表示的是这两个数的和与这两个数的差的积。
因此第一个空填“平方差”，第二个空填“积”。
【答案】
平方差；积
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对平方差公式两种互逆变形的理解，区分整式乘法和因式分解的互逆关系，牢记公式表述即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
知识点二 运用完全平方公式分解因式
1. 把整式乘法的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的等号两边互换，就得到$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
即两个数的
2. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作
3. 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再
1. 把整式乘法的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的等号两边互换，就得到$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
即两个数的
平方和
加上（或减去）这两个数的积的 2倍
，等于这两个数的和（或差）的 平方
。2. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作
公式法
。3. 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再
分解
为止。答案
1. 平方和 2倍 平方 2. 公式法 3. 分解
解析
【分析】
本题是因式分解的基础概念类题目，解题核心是牢记教材中相关基础定义：①先回忆完全平方公式因式分解的结构特征，对应填写第1题的三个空缺；②回忆因式分解的常用方法定义，填写第2题；③回忆分解因式的彻底性要求，填写第3题即可。
【解析】
1. 观察完全平方公式因式分解的形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$、$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，等号左侧是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等号右侧是这两个数的和（或差）的平方，因此三个空依次填平方和、2倍、平方。
2. 根据教材定义，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。
3. 分解因式的基本要求是分解彻底，即要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【答案】
1. 平方和 2倍 平方 2. 公式法 3. 分解
【知识点】
完全平方公式因式分解、公式法定义、分解因式要求
【点评】
本题是基础概念考察题，侧重对教材核心定义的识记，只要熟练掌握因式分解相关的基础概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题是因式分解的基础概念类题目，解题核心是牢记教材中相关基础定义：①先回忆完全平方公式因式分解的结构特征，对应填写第1题的三个空缺；②回忆因式分解的常用方法定义，填写第2题；③回忆分解因式的彻底性要求，填写第3题即可。
【解析】
1. 观察完全平方公式因式分解的形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$、$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，等号左侧是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等号右侧是这两个数的和（或差）的平方，因此三个空依次填平方和、2倍、平方。
2. 根据教材定义，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。
3. 分解因式的基本要求是分解彻底，即要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【答案】
1. 平方和 2倍 平方 2. 公式法 3. 分解
【知识点】
完全平方公式因式分解、公式法定义、分解因式要求
【点评】
本题是基础概念考察题，侧重对教材核心定义的识记，只要熟练掌握因式分解相关的基础概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
例2 如果多项式$x^2+1$加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么加上的单项式不可以是 （）
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
解析 $x^2+2x+1=(x+1)^2$，A项不符合题意.
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，B项不符合题意.
$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，C项不符合题意.
特别提醒
能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
特别提醒
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项能写成这两个数（或式）的积的2倍的形式.
$x^2+1$加上$-\frac{1}{4}x^4$，无法构成完全平方式，D项符合题意.
答案 D
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
解析 $x^2+2x+1=(x+1)^2$，A项不符合题意.
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，B项不符合题意.
$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，C项不符合题意.
特别提醒
能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
特别提醒
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项能写成这两个数（或式）的积的2倍的形式.
$x^2+1$加上$-\frac{1}{4}x^4$，无法构成完全平方式，D项符合题意.
答案 D
答案
D
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式为三项式，形式为$a^2\pm2ab+b^2$，其中两项是两个数（或式）的平方项，另一项是这两个数（或式）乘积的2倍。我们分两种情况讨论：①将已有$x^2$和1作为平方项，计算缺的乘积2倍项；②将已有$x^2$作为乘积2倍项，计算缺的平方项，再逐一验证选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一验证选项：
1. 加入A选项$2x$：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
2. 加入B选项$-2x$：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
3. 加入C选项$\frac{1}{4}x^4$：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
4. 加入D选项$-\frac{1}{4}x^4$：得到多项式$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法匹配完全平方式的结构，不能用完全平方公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，还要考虑已有项既可以作为平方项，也可以作为乘积2倍项的多种情况，避免因考虑不全出错。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式为三项式，形式为$a^2\pm2ab+b^2$，其中两项是两个数（或式）的平方项，另一项是这两个数（或式）乘积的2倍。我们分两种情况讨论：①将已有$x^2$和1作为平方项，计算缺的乘积2倍项；②将已有$x^2$作为乘积2倍项，计算缺的平方项，再逐一验证选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一验证选项：
1. 加入A选项$2x$：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
2. 加入B选项$-2x$：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
3. 加入C选项$\frac{1}{4}x^4$：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，不符合题意，排除；
4. 加入D选项$-\frac{1}{4}x^4$：得到多项式$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法匹配完全平方式的结构，不能用完全平方公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，还要考虑已有项既可以作为平方项，也可以作为乘积2倍项的多种情况，避免因考虑不全出错。
【难度系数】
0.7
