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11. 新视角新定义题 新定义:关于$x$的一元二次方程$a_1(x-m)^2 +k=0$与$a_2(x-m)^2 +k=0$称为“同族二次方程”.如$2(x-3)^2 +4=0$与$3(x-3)^2 +4=0$是“同族二次方程”.现有关于$x$的一元二次方程$2(x-1)^2 +1=0$与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$是“同族二次方程”,那么代数式$ax^2 +bx +2026$的最小值是
2021
.答案
11.2021 【点拨】$\because 2(x-1)^2 +1=0$与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$是“同族二次方程”,$\therefore (a+2)x^2 +(b-4)x +8=(a+2)(x-1)^2 +1,\therefore (a+2)x^2 +(b-4)x +8=(a+2)x^2 -2(a+2)x +a +3,$即$\begin{cases}-2(a+2)=b-4,\\a+3=8,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=5,\\b=-10.\end{cases}$ $\therefore ax^2 +bx +2026=5x^2 -10x +2026=5(x-1)^2 +2021. \because (x-1)^2$的最小值为$0,\therefore 5(x-1)^2 +2021$的最小值为2021,即$ax^2 +bx +2026$的最小值为2021.
12. 母题 教材P46习题T₁₀ 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,P,Q分别从A,B同时出发.
(1)经过几秒,点P,Q之间的距离为$4\sqrt{2}$ cm?
(2)经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm²?
(1)经过几秒,点P,Q之间的距离为$4\sqrt{2}$ cm?
(2)经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm²?
答案
12.【解】(1)设经过$x$ s,点P,Q之间的距离等于$4\sqrt{2}$ cm,
由题意可得$AP=x$ cm,$BQ=2x$ cm,
$\therefore PB=(6-x)$cm,
由$PB^2 +BQ^2 =PQ^2$,可得$(6-x)^2 +(2x)^2=32$,
整理得$5x^2 -12x +4=0$,
解得$x_1=\frac{2}{5},x_2=2$,
经检验,$x_1,x_2$均符合题意.
故经过$\frac{2}{5}$ s或2 s,点P,Q之间的距离等于$4\sqrt{2}$ cm.
(2)设经过$y$ s,$△ PBQ$的面积等于8 cm²,
由题意可得$PB=(6-y)$cm,$BQ=2y$ cm,
$\therefore \frac{1}{2}(6-y)· 2y=8$,解得$y_1=2,y_2=4$,
经检验,$y_1,y_2$均符合题意.
故经过2 s或4 s,$△ PBQ$的面积等于8 cm².
由题意可得$AP=x$ cm,$BQ=2x$ cm,
$\therefore PB=(6-x)$cm,
由$PB^2 +BQ^2 =PQ^2$,可得$(6-x)^2 +(2x)^2=32$,
整理得$5x^2 -12x +4=0$,
解得$x_1=\frac{2}{5},x_2=2$,
经检验,$x_1,x_2$均符合题意.
故经过$\frac{2}{5}$ s或2 s,点P,Q之间的距离等于$4\sqrt{2}$ cm.
(2)设经过$y$ s,$△ PBQ$的面积等于8 cm²,
由题意可得$PB=(6-y)$cm,$BQ=2y$ cm,
$\therefore \frac{1}{2}(6-y)· 2y=8$,解得$y_1=2,y_2=4$,
经检验,$y_1,y_2$均符合题意.
故经过2 s或4 s,$△ PBQ$的面积等于8 cm².
13. 新视角阅读理解题 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例如:试求二次三项式$x^2+4x+5$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.
$\because (x+2)^2≥0,\therefore (x+2)^2+1≥1$,
$\therefore x^2+4x+5≥1$,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
试利用“配方法”解答下列各题:
(1)已知$y=-x^2-8x+14$,求$y$的最大(或最小)值.
(2)比较代数式$2x^2+3x-5$与$3x^2-x+1$的大小,并说明理由.
(3)如图,学校打算用15 m长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库,来饲养两只萌萌的羊驼,仓库一面靠墙(墙足够长),为方便取物,在各个仓库之间留出了1 m宽的缺口作为通道,在平行于墙的一边留下一个1 m宽的缺口作为小门,如何围能使仓库的面积最大?最大值是多少?
例如:试求二次三项式$x^2+4x+5$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.
$\because (x+2)^2≥0,\therefore (x+2)^2+1≥1$,
$\therefore x^2+4x+5≥1$,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
试利用“配方法”解答下列各题:
(1)已知$y=-x^2-8x+14$,求$y$的最大(或最小)值.
(2)比较代数式$2x^2+3x-5$与$3x^2-x+1$的大小,并说明理由.
(3)如图,学校打算用15 m长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库,来饲养两只萌萌的羊驼,仓库一面靠墙(墙足够长),为方便取物,在各个仓库之间留出了1 m宽的缺口作为通道,在平行于墙的一边留下一个1 m宽的缺口作为小门,如何围能使仓库的面积最大?最大值是多少?
答案
13.【解】(1)$-x^2 -8x +14=-(x^2 +8x)+14=-(x^2 +8x +16)+16 +14=-(x+4)^2 +30.$
$\because (x+4)^2≥0,\therefore -(x+4)^2≤0.$
$\therefore -(x+4)^2 +30≤30.$
$\therefore -x^2 -8x +14≤30,$
即$y$的最大值是30.
(2)$2x^2 +3x -5＜3x^2 -x +1$,理由如下:
$(2x^2 +3x -5)-(3x^2 -x +1)=2x^2 +3x -5 -3x^2 +x -1=-x^2 +4x -6=-(x^2 -4x +4)-2=-(x-2)^2 -2.$
$\because (x-2)^2≥0,\therefore -(x-2)^2≤0.$
$\therefore -(x-2)^2 -2≤-2. \therefore 2x^2 +3x -5＜3x^2 -x +1.$
(3)设$AB$为$x$ m,仓库的面积为$S$ m²,则平行于墙的一边为$15-4x+2+1=(18-4x)$m,
$\therefore S=x(18-4x)=-4x^2 +18x=-4(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{4}.$
$\because (x-\frac{9}{4})^2≥0,\therefore -4(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{4}≤\frac{81}{4},$
即当$x=\frac{9}{4}$时,仓库的面积最大,最大值为$\frac{81}{4}$ m².
所以,当$AB$为$\frac{9}{4}$ m时,仓库的面积最大,最大值为$\frac{81}{4}$ m².
$\because (x+4)^2≥0,\therefore -(x+4)^2≤0.$
$\therefore -(x+4)^2 +30≤30.$
$\therefore -x^2 -8x +14≤30,$
即$y$的最大值是30.
(2)$2x^2 +3x -5＜3x^2 -x +1$,理由如下:
$(2x^2 +3x -5)-(3x^2 -x +1)=2x^2 +3x -5 -3x^2 +x -1=-x^2 +4x -6=-(x^2 -4x +4)-2=-(x-2)^2 -2.$
$\because (x-2)^2≥0,\therefore -(x-2)^2≤0.$
$\therefore -(x-2)^2 -2≤-2. \therefore 2x^2 +3x -5＜3x^2 -x +1.$
(3)设$AB$为$x$ m,仓库的面积为$S$ m²,则平行于墙的一边为$15-4x+2+1=(18-4x)$m,
$\therefore S=x(18-4x)=-4x^2 +18x=-4(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{4}.$
$\because (x-\frac{9}{4})^2≥0,\therefore -4(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{4}≤\frac{81}{4},$
即当$x=\frac{9}{4}$时,仓库的面积最大,最大值为$\frac{81}{4}$ m².
所以,当$AB$为$\frac{9}{4}$ m时,仓库的面积最大,最大值为$\frac{81}{4}$ m².
