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1. 下列函数中，一定是二次函数的有 （
①$y=\sqrt{2}-2x^2$；②$y=x(1-x)$；③$y=\frac{1}{x^2}$；
④$y=(2+x)(2-x)+x^2$；⑤$y=ax^2+bx+c$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
）①$y=\sqrt{2}-2x^2$；②$y=x(1-x)$；③$y=\frac{1}{x^2}$；
④$y=(2+x)(2-x)+x^2$；⑤$y=ax^2+bx+c$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.C
2. 易错题 若函数$y=(2m+2)x^{|m-1|}+4x+3$是二次函数，则$m=$
3
。答案
2.3
3.把函数$y=(10-x)(x+1)$化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是 （
A.$1,9$
B.$-1,9$
C.$1,-9$
D.$-1,-9$
B
）A.$1,9$
B.$-1,9$
C.$1,-9$
D.$-1,-9$
答案
3.B
4.[2026合肥期末]“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)满足的关系为$h=-t^2 +12t +11$.若“水火箭”的升空高度为4.75 m，则此时的飞行时间为
12.5
s.答案
4.12.5
【点拨】$\because h=-t^2+12t+11$,且$h=4.75$,$\therefore -t^2 +12t+11=4.75$,整理,得 $t^2 -12t-6.25=0$,解得 $t_1=12.5$,$t_2=-0.5$. $\because t≥0$,$\therefore t=12.5$.
【点拨】$\because h=-t^2+12t+11$,且$h=4.75$,$\therefore -t^2 +12t+11=4.75$,整理,得 $t^2 -12t-6.25=0$,解得 $t_1=12.5$,$t_2=-0.5$. $\because t≥0$,$\therefore t=12.5$.
5.(1)已知二次函数$y=x^2 -3x +4$，求当自变量$x$分别取$\sqrt{2}, -2$时，函数$y$的值；
(2)已知二次函数$y=x^2 +6x +8$，求当$x$取何值时，函数$y$的值为$-1$.
(2)已知二次函数$y=x^2 +6x +8$，求当$x$取何值时，函数$y$的值为$-1$.
答案
5.【解】(1) 当 $x=\sqrt{2}$ 时, $y=(\sqrt{2})^2 - 3 × \sqrt{2} + 4 = 2 - 3\sqrt{2} + 4 = 6 - 3\sqrt{2}$.
当 $x=-2$ 时, $y=(-2)^2 - 3 × (-2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14$.
(2) 当 $y=-1$ 时, 即 $x^2 + 6x + 8 = -1$,$\therefore x^2 + 6x + 9 = 0$,
$\therefore (x+3)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-3$.
当 $x=-2$ 时, $y=(-2)^2 - 3 × (-2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14$.
(2) 当 $y=-1$ 时, 即 $x^2 + 6x + 8 = -1$,$\therefore x^2 + 6x + 9 = 0$,
$\therefore (x+3)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-3$.
6. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一.新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为$a(a＞0)$元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为$y$元.设增长率为$x$，则$y$关于$x$的函数关系式为（
A.$y=a(1+2x)$
B.$y=a(1-x)^2$
C.$y=a(1+x)^2$
D.$y=ax^2$
C
）A.$y=a(1+2x)$
B.$y=a(1-x)^2$
C.$y=a(1+x)^2$
D.$y=ax^2$
答案
6.C
7. 情境题生活应用 如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃ABCD，设该花圃的一边长AB是x m，面积是S m².
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围.
(2)如果要围成面积为162 m²的矩形花圃，那么AB的长应为多少米？
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围.
(2)如果要围成面积为162 m²的矩形花圃，那么AB的长应为多少米？
答案
7.【解】(1)$S=x(45-3x)=-3x^2+45x(\dfrac{25}{3}≤ x＜15)$.
(2)当 $S=162$ 时, $-3x^2 + 45x = 162$, 解得 $x_1=6$,$x_2=9$.
$\because \dfrac{25}{3}≤ x＜15$,$\therefore x=9$.
答:AB 的长应为 9 m.
(2)当 $S=162$ 时, $-3x^2 + 45x = 162$, 解得 $x_1=6$,$x_2=9$.
$\because \dfrac{25}{3}≤ x＜15$,$\therefore x=9$.
答:AB 的长应为 9 m.
8. 已知二次函数 $ y = mx(x-1) + nx(x+1) + \frac{mn}{2} (m + n ≠ 0) $ 的二次项系数与一次项系数的和为 $ \frac{1}{2} $，差为2，则常数项为（
A.$ \frac{1}{8} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{16} $
D.$ \frac{1}{4} $
A
）A.$ \frac{1}{8} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{16} $
D.$ \frac{1}{4} $
答案
8.A
9. 新趋势跨学科 刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图，面刚被削离时与开水锅的高度差$h=0.45\ \mathrm{m}$，与锅的水平距离$L=0.3\ \mathrm{m}$，锅的半径$R=0.5\ \mathrm{m}$。若将削出的小面条（看作点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度$v_0$不可能为（提示：$h=\frac{1}{2}gt^2$，$g=10\ \mathrm{m/s}^2$，水平移动距离$s=v_0t$） （
A.$2.5\ \mathrm{m/s}$
B.$3\ \mathrm{m/s}$
C.$3.5\ \mathrm{m/s}$
D.$5\ \mathrm{m/s}$
D
）A.$2.5\ \mathrm{m/s}$
B.$3\ \mathrm{m/s}$
C.$3.5\ \mathrm{m/s}$
D.$5\ \mathrm{m/s}$
答案
9.D
【点拨】由题意得 $\dfrac{1}{2} × 10t^2 = 0.45$, 解得 $t_1=0.3$,$t_2=-0.3$(不合题意,舍去). $\because$ 要使其落入锅中, $\therefore L ＜ s ＜ L+2R$, 即 $0.3 ＜ s ＜ 0.3 + 2 × 0.5$,$\therefore 0.3 ＜ v_0 × 0.3 ＜ 1.3$. $\therefore 1 ＜ v_0 ＜ \dfrac{13}{3}$. $\because 5 ＞ \dfrac{13}{3}$,$\therefore$ 选项 D 不可能.
【点拨】由题意得 $\dfrac{1}{2} × 10t^2 = 0.45$, 解得 $t_1=0.3$,$t_2=-0.3$(不合题意,舍去). $\because$ 要使其落入锅中, $\therefore L ＜ s ＜ L+2R$, 即 $0.3 ＜ s ＜ 0.3 + 2 × 0.5$,$\therefore 0.3 ＜ v_0 × 0.3 ＜ 1.3$. $\therefore 1 ＜ v_0 ＜ \dfrac{13}{3}$. $\because 5 ＞ \dfrac{13}{3}$,$\therefore$ 选项 D 不可能.
