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10.已知函数 $y=(a+3)x^{a^2+a-4}+(a+2)x+3.$
(1)当$a$为何值时，$y$是关于$x$的二次函数？
(2)当$a$为何值时，$y$是关于$x$的一次函数？
(1)当$a$为何值时，$y$是关于$x$的二次函数？
(2)当$a$为何值时，$y$是关于$x$的一次函数？
答案
10.【解】(1)根据题意,得 $a+3 ≠ 0$ 且 $a^2 + a - 4 = 2$,
解得 $a=2$.
$\therefore$ 当 $a$ 为 2 时, $y$ 是关于 $x$ 的二次函数.
(2)当 $a+3=0$ 且 $a+2 ≠ 0$, 即 $a=-3$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数;
当 $a^2 + a - 4 = 0$ 且 $a+2 ≠ 0$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数,
解得 $a=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$;
当 $a^2 + a - 4 = 1$ 且 $a+3+a+2 ≠ 0$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数,解得 $a=\dfrac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$.
综上,当 $a$ 为 $-3$ 或 $\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 或 $\dfrac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数.
解得 $a=2$.
$\therefore$ 当 $a$ 为 2 时, $y$ 是关于 $x$ 的二次函数.
(2)当 $a+3=0$ 且 $a+2 ≠ 0$, 即 $a=-3$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数;
当 $a^2 + a - 4 = 0$ 且 $a+2 ≠ 0$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数,
解得 $a=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$;
当 $a^2 + a - 4 = 1$ 且 $a+3+a+2 ≠ 0$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数,解得 $a=\dfrac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$.
综上,当 $a$ 为 $-3$ 或 $\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 或 $\dfrac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时, $y$ 是关于 $x$ 的一次函数.
11. [2026宁波镇海区模拟]某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足下表中的函数关系。
(1)试求y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。(总毛利润=销售总价－成本总价)
(3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价。
(1)试求y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。(总毛利润=销售总价－成本总价)
(3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价。
答案
11.【解】(1)由题表中数值可知,$y$ 与 $x$ 满足一次函数关系,设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,把 $x=40$,$y=500$; $x=50$,$y=400$ 分别代入上式,得
$\begin{cases}40k+b=500,\\50k+b=400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=900.\end{cases}$ $\therefore y=-10x+900$.
经检验,表中其他对应值都满足 $y=-10x+900$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-10x+900(30≤ x≤80)$.
(2)$W=(x-30)· y=(x-30)·(-10x+900)=-10x^2+1200x-27000(30≤ x≤80)$.
(3)根据题意,得 $-10x^2+1200x-27000=8000$,
解得 $x_1=50$,$x_2=70$.
答:销售单价为 50 元/件或 70 元/件.
$\begin{cases}40k+b=500,\\50k+b=400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=900.\end{cases}$ $\therefore y=-10x+900$.
经检验,表中其他对应值都满足 $y=-10x+900$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-10x+900(30≤ x≤80)$.
(2)$W=(x-30)· y=(x-30)·(-10x+900)=-10x^2+1200x-27000(30≤ x≤80)$.
(3)根据题意,得 $-10x^2+1200x-27000=8000$,
解得 $x_1=50$,$x_2=70$.
答:销售单价为 50 元/件或 70 元/件.
12. 新考法 化动为定法 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ BAD=90°$,$CE⊥ AD$于点$E$,$AD=8\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,$AB=5\ \mathrm{cm}$.从初始时刻开始,动点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,运动速度均为$1\ \mathrm{cm/s}$,动点$P$沿$A—B—C—E$的方向运动,到点$E$停止;动点$Q$沿$B—C—E—D$的方向运动,到点$D$停止,设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,$△ PAQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.(这里规定:线段是面积为$0\ \mathrm{cm}^2$的三角形)
解答下列问题:
(1)当$x=2$时,$y=\_\_\_\_\_\_$;当$x=\dfrac{9}{2}$时,$y=\_\_\_\_\_\_$;
(2)当$5≤ x≤14$时,求$y$与$x$之间的函数关系式;
(3)当动点$P$在线段$BC$上运动时,求出当$y=\dfrac{4}{15}S_{\mathrm{梯形}ABCD}$时,$x$的值.
解答下列问题:
(1)当$x=2$时,$y=\_\_\_\_\_\_$;当$x=\dfrac{9}{2}$时,$y=\_\_\_\_\_\_$;
(2)当$5≤ x≤14$时,求$y$与$x$之间的函数关系式;
(3)当动点$P$在线段$BC$上运动时,求出当$y=\dfrac{4}{15}S_{\mathrm{梯形}ABCD}$时,$x$的值.
答案
12.【解】(1)$2$;$9$
(2)易知四边形 $ABCE$ 是矩形, $\therefore AE=BC=4\ \mathrm{cm}$,$CE=AB=5\ \mathrm{cm}$.
当 $5≤ x≤ 5+4$,即 $5≤ x≤9$ 时,
此时 $y=S_{\mathrm{梯形}ABCQ}-S_{△ ABP}-S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}(5+x-4)×4-\dfrac{1}{2}×5(x-5)-\dfrac{1}{2}(5+4-x)(x-4)=\dfrac{1}{2}x^2-7x+\dfrac{65}{2}$;
当 $5+4＜ x≤4+5+4$,即 $9＜ x≤13$ 时,如图②,
此时 $y=\dfrac{1}{2}(x-4-5+4)(5+4+5-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{19}{2}x-35$;
当 $4+5+4＜ x≤5+4+5$,即 $13＜ x≤14$ 时,如图③,
此时 $y=\dfrac{1}{2}×8(5+4+5-x)=-4x+56$.
综上,$y=\begin{cases}\dfrac{1}{2}x^2-7x+\dfrac{65}{2}(5≤ x≤9);\\-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{19}{2}x-35(9＜ x≤13);\\-4x+56(13＜ x≤14).\end{cases}$
(3)当动点 $P$ 在线段 $BC$ 上运动时,
$\because y=\dfrac{4}{15}S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\dfrac{4}{15}×\dfrac{1}{2}(4+8)×5=8$,
$\therefore 8=\dfrac{1}{2}x^2-7x+\dfrac{65}{2}$,即 $x^2-14x+49=0$,
解得 $x_1=x_2=7$.
$\therefore$ 当 $x=7$ 时,$y=\dfrac{4}{15}S_{\mathrm{梯形}ABCD}$.
