10 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，以$AB$的中点$D$为圆心，以5为半径作圆，那么点$C$在$\odot D$；如果$△ ABC$的重心在$\odot D$上，那么$\odot D$的半径为。

上,$\frac{5}{3}$

【分析】
要解决这道题，分两步思考：①判断点C和$\odot D$的位置关系，只需计算点C到圆心D的距离，再与半径5比较即可，可利用直角三角形斜边中线的性质快速求出CD的长度；②求重心在$\odot D$上时的半径，需先明确三角形重心的性质：重心分中线为2:1的两段，重心在中线CD上，据此可算出重心到D点的距离，即为所求半径。
【解析】
1. 计算AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
2. 判断点C和$\odot D$的位置关系：
∵D是AB的中点，CD是$Rt△ ABC$斜边AB的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
已知$\odot D$半径$r=5$，则$CD=r$，因此点C在$\odot D$上。
3. 计算重心在$\odot D$上时的半径：
设$△ ABC$的重心为G，根据三角形重心的性质，重心G在中线CD上，且$DG:GC=1:2$，
则$DG=\frac{1}{1+2}CD=\frac{1}{3}×5=\frac{5}{3}$
若重心G在$\odot D$上，则$\odot D$的半径等于DG的长度，即$\frac{5}{3}$。
【答案】
上，$\frac{5}{3}$
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定；2. 直角三角形斜边中线性质；3. 三角形重心性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是对常见几何性质的灵活应用，只要熟练掌握相关基础知识点，就能快速理清解题思路得出答案。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11 在平面直角坐标系内，$\odot O$的半径为8，圆心O的坐标为$(-1,5)$，试判断点$P(3,-2)$与$\odot O$的位置关系。

$OP=\sqrt{65}＞8$,所以点P在圆外。

【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内。因此本题首先需要用平面直角坐标系的两点间距离公式求出点P到圆心O的距离OP，再将OP与半径8比较大小，即可得出点P和$\odot O$的位置关系。
【解析】
已知圆心O的坐标为$(-1,5)$，点P的坐标为$(3,-2)$，根据两点间距离公式：
$OP=\sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2}$
代入坐标计算得：
$OP=\sqrt{[3 - (-1)]^2 + (-2 - 5)^2}=\sqrt{4^2 + (-7)^2}=\sqrt{16 + 49}=\sqrt{65}$
∵$\odot O$的半径$r=8=\sqrt{64}$，且$\sqrt{65}＞\sqrt{64}$
∴$OP＞r$
即可判断点P与$\odot O$的位置关系。
【答案】
$OP=\sqrt{65}＞8$,所以点P在圆外。
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于点和圆位置关系的基础题型，解题关键是熟练掌握点和圆位置关系的判定逻辑，计算两点间距离时要注意坐标符号的处理，避免代入计算出错。
【难度系数】
0.8

12 已知以原点为圆心，半径为5的圆，求二次函数$y=x^2 -6x +13$的顶点与该圆的位置关系。

二次函数的顶点为(3,4),顶点到原点的距离为5,所以二次函数$y=x^2-6x+13$的顶点在圆上。

【分析】
要判断点与圆的位置关系，首先要明确判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d＞r则点在圆外，d=r则点在圆上，d＜r则点在圆内。本题解题可分为三步：第一步先求出二次函数的顶点坐标；第二步计算顶点到圆心（本题圆心为原点）的距离；第三步将距离和半径5比较，即可得出位置关系。
【解析】
1. 求二次函数的顶点坐标：
对$y=x^2 -6x +13$用配方法变形：
$y=x^2-6x+9+4=(x-3)^2+4$
因此二次函数的顶点坐标为$(3,4)$。
2. 计算顶点到原点的距离：
根据两点间距离公式，点$(3,4)$到原点$(0,0)$的距离$d=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}$，计算得：
$d=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
3. 判定位置关系：
已知圆的半径$r=5$，可得$d=r$，因此该顶点在圆上。
【答案】
二次函数$y=x^2-6x+13$的顶点在圆上。
【知识点】
二次函数顶点求法、两点间距离公式、点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础综合题型，结合了二次函数性质和点与圆位置关系的考点，解题逻辑清晰，掌握对应基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

13 已知一次函数$y=x+1$，求该函数图像与以$(2,3)$为圆心，半径为$3\sqrt{2}$的圆的交点坐标。

设交点坐标为$(x,x+1)$,由交点在圆上,可得方程$(x-2)^2+(x+1-3)^2=18$,解得$x_1=5$,$x_2=-1$。所以交点坐标为(5,6)和(-1,0)。

【分析】
要求一次函数与圆的交点坐标，需明确交点同时满足两个条件：①在一次函数图像上，坐标符合解析式$y=x+1$；②在圆上，到圆心$(2,3)$的距离等于半径$3\sqrt{2}$。因此我们可以先利用一次函数解析式将交点的纵坐标用横坐标表示，再代入点在圆上的条件列方程，求解横坐标后再反求纵坐标即可。
【解析】
解：
∵交点在一次函数$y=x+1$的图像上，
∴可设交点坐标为$(x, x+1)$。
已知圆的圆心为$(2,3)$，半径为$3\sqrt{2}$，点在圆上时满足圆的标准方程：
$(x-2)^2+(y-3)^2=(3\sqrt{2})^2=18$
将$y=x+1$代入上述方程，得：
$(x-2)^2+(x+1-3)^2=18$
化简得：
$2(x-2)^2=18$
即$(x-2)^2=9$
开方得$x-2=\pm3$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$
将$x_1=5$代入$y=x+1$，得$y_1=6$；
将$x_2=-1$代入$y=x+1$，得$y_2=0$。
【答案】
交点坐标为$\boldsymbol{(5,6)}$和$\boldsymbol{(-1,0)}$
【知识点】
1.一次函数点坐标特征
2.点在圆上的判定
3.一元二次方程解法
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考查联立方程求图形交点的思路，只要理解交点坐标同时满足多个图形的解析式，就能通过代入求解快速得到答案，是后续学习各类曲线交点问题的基础。
【难度系数】
0.7

14 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD≠BC,AD=3,AB=CD=4,∠ABC=60°,∠B的平分线交DC于点E,交AD的延长线于点F。点P为线段BE上的动点(包含点B和点E),现以点P为圆心,BP为半径画圆,当BP的长在什么范围时,点A在⊙P内而点E在⊙P外?

通过条件可求出$BF=4\sqrt{3}$,$BE=\frac{7}{2}\sqrt{3}$。连接AP,当$BP=AP$时,点A在圆P上,此时可求得$BP=AP=\frac{4}{3}\sqrt{3}$,所以当$BP＞AP$,即$BP＞\frac{4}{3}\sqrt{3}$时,点A在$\odot P$内。又因为点E在圆外,所以$BP＜\frac{1}{2}BE$,即$BP＜\frac{7}{4}\sqrt{3}$。所以当$\frac{4}{3}\sqrt{3}＜BP＜\frac{7}{4}\sqrt{3}$时,点A在$\odot P$内而点E在$\odot P$外。

【分析】
首先由AD//BC和角平分线性质可得△ABF为等腰三角形，结合等腰梯形的内角性质求出BF的长度；再通过AD//BC得到△FDE∽△BCE，利用相似比求出BE的长度；最后根据点与圆的位置关系：点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，分别列出关于BP的不等式，求解后取交集即可得到BP的取值范围。
【解析】
1. 求BF、BE的长度：
∵AD//BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC=∠F，
∴AB=AF=4。
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°。
过A作AH⊥BF于H，在等腰△ABF中，AB=AF=4，∠BAF=120°，
∴∠BAH=60°，
∴$BH=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$BF=2BH=4\sqrt{3}$。
等腰梯形ABCD中，$BC=AD+2AB·\cos60°=3+2×4×\frac{1}{2}=7$，
∵AD//BC，
∴△FDE∽△BCE，相似比为$DF:BC=(AF-AD):BC=1:7$，
∴$FE:BE=1:7$，
∴$BE=BF×\frac{7}{1+7}=4\sqrt{3}×\frac{7}{8}=\frac{7}{2}\sqrt{3}$。
2. 结合点和圆的位置关系列不等式：
设$BP=x$，则⊙P的半径为$x$。
① 若点A在⊙P内，需满足$AP ＜ x$：
当$AP=x$时，点A在⊙P上，此时△ABP为等腰三角形，$∠BAP=∠ABP=30°$，过P作$PM⊥AB$于M，由三线合一得$BM=\frac{1}{2}AB=2$。
在Rt△BPM中，$\cos30°=\frac{BM}{BP}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴点A在⊙P内时，$x＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
② 若点E在⊙P外，需满足$PE ＞ x$：
∵P在线段BE上，
∴$PE=BE-BP=\frac{7\sqrt{3}}{2}-x$，
∴$\frac{7\sqrt{3}}{2}-x ＞ x$，解得$x＜\frac{7\sqrt{3}}{4}$。
综上，BP的取值范围是$\frac{4}{3}\sqrt{3}＜BP＜\frac{7}{4}\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}\sqrt{3}＜BP＜\frac{7}{4}\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系，等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了特殊四边形、相似三角形与圆的相关知识，解题的核心是将点与圆的位置关系转化为线段长度的不等关系，同时需要熟练掌握等腰三角形、相似三角形的性质进行线段长度的计算。
【难度系数】
0.6