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1 下列说法中正确的是(
A.经过一个定点,以定长为半径只能作一个圆
B.经过两个定点,以定长为半径只能作一个圆
C.经过三个定点,只能作一个圆
D.经过三角形的三个顶点,只能作一个圆
D
)。A.经过一个定点,以定长为半径只能作一个圆
B.经过两个定点,以定长为半径只能作一个圆
C.经过三个定点,只能作一个圆
D.经过三角形的三个顶点,只能作一个圆
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握圆的确定条件：圆由圆心和半径两个要素唯一确定，不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的圆。我们可以结合这个结论，逐个分析每个选项中满足条件的圆的数量，进而选出正确选项。
【解析】
结合圆的确定条件逐个分析选项：
A. 经过一个定点、以定长为半径作圆时，圆心可以是平面内到该定点距离等于定长的任意点，符合条件的圆心有无数个，因此可以作出无数个圆，故A错误。
B. 经过两个定点、以定长为半径作圆时，圆心需要满足到两个定点的距离都等于定长，这类圆心在两点连线的垂直平分线上，通常有2个符合条件的点，因此最多可以作出2个圆，故B错误。
C. 只有当三个定点不在同一条直线上时，才能作出唯一的过这三个点的圆；若三个定点共线，无法作出过这三个点的圆，选项未说明三个点不共线，故C错误。
D. 三角形的三个顶点必然不在同一条直线上，因此经过三角形的三个顶点只能作一个圆，即三角形的外接圆，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件；三角形外接圆
【点评】
本题重点考查对圆的确定规则的理解，易错点是容易忽略“三个点不共线”的前提，分析过1个、2个点的作圆情况时，要紧扣圆心、半径两个要素判断，牢记不在同一直线上的三点确定唯一圆的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握圆的确定条件：圆由圆心和半径两个要素唯一确定，不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的圆。我们可以结合这个结论，逐个分析每个选项中满足条件的圆的数量，进而选出正确选项。
【解析】
结合圆的确定条件逐个分析选项：
A. 经过一个定点、以定长为半径作圆时，圆心可以是平面内到该定点距离等于定长的任意点，符合条件的圆心有无数个，因此可以作出无数个圆，故A错误。
B. 经过两个定点、以定长为半径作圆时，圆心需要满足到两个定点的距离都等于定长，这类圆心在两点连线的垂直平分线上，通常有2个符合条件的点，因此最多可以作出2个圆，故B错误。
C. 只有当三个定点不在同一条直线上时，才能作出唯一的过这三个点的圆；若三个定点共线，无法作出过这三个点的圆，选项未说明三个点不共线，故C错误。
D. 三角形的三个顶点必然不在同一条直线上，因此经过三角形的三个顶点只能作一个圆，即三角形的外接圆，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件；三角形外接圆
【点评】
本题重点考查对圆的确定规则的理解，易错点是容易忽略“三个点不共线”的前提，分析过1个、2个点的作圆情况时，要紧扣圆心、半径两个要素判断，牢记不在同一直线上的三点确定唯一圆的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）。A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
A
解析
【分析】
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的确定条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆，我们只需要找到包含原圆上至少三个不在同一直线上的点的碎片即可。观察三块碎片：①号碎片保留了原圆的一段完整圆弧，能从弧上获取三个原圆上的点；②、③号碎片没有保留足够长的原圆圆弧，无法获取足够的原圆上的点，因此只有①号碎片可以用来确定原圆的圆心和半径。
【解析】
我们知道，不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆：
1. 观察碎片①：它保留了原圆形镜子的一段完整圆弧，我们可以在这段圆弧上任意选取三个不共线的点，分别连接任意两点得到两条弦，作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上任意一点的长度就是原圆的半径，由此就能得到和原来大小完全一致的圆。
2. 观察碎片②、③：二者均未保留足够长度的原圆圆弧，无法找到三个属于原圆的不共线的点，因此不能确定原圆的圆心和半径，无法配到相同大小的镜子。
综上，只有碎片①符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 弦的垂直平分线性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关知识，解题的核心是理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，能将实际问题转化为数学定理的应用场景，难度较低。
【难度系数】
0.8
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的确定条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆，我们只需要找到包含原圆上至少三个不在同一直线上的点的碎片即可。观察三块碎片：①号碎片保留了原圆的一段完整圆弧，能从弧上获取三个原圆上的点；②、③号碎片没有保留足够长的原圆圆弧，无法获取足够的原圆上的点，因此只有①号碎片可以用来确定原圆的圆心和半径。
【解析】
我们知道，不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆：
1. 观察碎片①：它保留了原圆形镜子的一段完整圆弧，我们可以在这段圆弧上任意选取三个不共线的点，分别连接任意两点得到两条弦，作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上任意一点的长度就是原圆的半径，由此就能得到和原来大小完全一致的圆。
2. 观察碎片②、③：二者均未保留足够长度的原圆圆弧，无法找到三个属于原圆的不共线的点，因此不能确定原圆的圆心和半径，无法配到相同大小的镜子。
综上，只有碎片①符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 弦的垂直平分线性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关知识，解题的核心是理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，能将实际问题转化为数学定理的应用场景，难度较低。
【难度系数】
0.8
3 如图，点A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A
）。A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
A
解析
【分析】要解决这道题，首先利用三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，因此OA=OB=OC。解题步骤如下：第一步，结合网格用勾股定理计算OA的长度；第二步，找出所有到点O的距离等于OA的格点；第三步，任选两个符合要求的格点计算BC的长度，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1，以O为原点建立平面直角坐标系，由网格可得点A的坐标为$(1, -4)$。
1. 计算OA的长度：
根据勾股定理，$OA=\sqrt{1^2 + (-4)^2}=\sqrt{17}$。
因为O是$△ ABC$的外心，所以$OB=OC=OA=\sqrt{17}$。
2. 找满足条件的格点B、C：
设格点$(x,y)$到O的距离为$\sqrt{17}$，则$x^2+y^2=17$（x、y为整数），可得符合条件的点有$(\pm1,\pm4)$、$(\pm4,\pm1)$。
3. 计算BC的长度：
任选两个符合条件的点，例如取$B(4,1)$，$C(1,4)$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{(4-1)^2 + (1-4)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】三角形外心性质；勾股定理；格点问题
【点评】本题结合网格考查外心的性质与勾股定理的应用，解题的核心是抓住外心到三个顶点距离相等的特点，先确定OB、OC的长度，再在网格中找出符合要求的格点计算距离，对学生的网格读图能力有一定要求。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设每个小方格的边长为1，以O为原点建立平面直角坐标系，由网格可得点A的坐标为$(1, -4)$。
1. 计算OA的长度：
根据勾股定理，$OA=\sqrt{1^2 + (-4)^2}=\sqrt{17}$。
因为O是$△ ABC$的外心，所以$OB=OC=OA=\sqrt{17}$。
2. 找满足条件的格点B、C：
设格点$(x,y)$到O的距离为$\sqrt{17}$，则$x^2+y^2=17$（x、y为整数），可得符合条件的点有$(\pm1,\pm4)$、$(\pm4,\pm1)$。
3. 计算BC的长度：
任选两个符合条件的点，例如取$B(4,1)$，$C(1,4)$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{(4-1)^2 + (1-4)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】三角形外心性质；勾股定理；格点问题
【点评】本题结合网格考查外心的性质与勾股定理的应用，解题的核心是抓住外心到三个顶点距离相等的特点，先确定OB、OC的长度，再在网格中找出符合要求的格点计算距离，对学生的网格读图能力有一定要求。
【难度系数】0.7
5 若在平面直角坐标系中的点A(1，1)，B(-1，-1)，C(m，3)不能确定一个圆，则m的值是
3
。答案
3
解析
【分析】
不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，若三个点不能确定圆，说明这三个点在同一条直线上。因此解题时先求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的纵坐标代入解析式，即可求出对应的m值。
【解析】
∵ 点A、B、C不能确定一个圆
∴ A、B、C三点在同一条直线上
设过A(1,1)、B(-1,-1)的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：
$\begin{cases}k+b=1 \\ -k+b=-1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=1 \\ b=0\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为y=x
∵ 点C(m,3)在直线AB上
∴ 把y=3代入y=x，得m=3
【答案】
3
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 一次函数解析式求解
3. 共线点的坐标特征
【点评】
本题将圆的确定条件与一次函数知识相结合，解题的关键是将“三点不能确定圆”转化为“三点共线”的条件，这类题目属于基础应用类题型，需要熟练掌握条件转化的思路。
【难度系数】
0.7
不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，若三个点不能确定圆，说明这三个点在同一条直线上。因此解题时先求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的纵坐标代入解析式，即可求出对应的m值。
【解析】
∵ 点A、B、C不能确定一个圆
∴ A、B、C三点在同一条直线上
设过A(1,1)、B(-1,-1)的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：
$\begin{cases}k+b=1 \\ -k+b=-1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=1 \\ b=0\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为y=x
∵ 点C(m,3)在直线AB上
∴ 把y=3代入y=x，得m=3
【答案】
3
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 一次函数解析式求解
3. 共线点的坐标特征
【点评】
本题将圆的确定条件与一次函数知识相结合，解题的关键是将“三点不能确定圆”转化为“三点共线”的条件，这类题目属于基础应用类题型，需要熟练掌握条件转化的思路。
【难度系数】
0.7
⑥已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，经过$A$、$B$两点作圆，则所作的圆的半径最小是________$\mathrm{cm}$。
答案
2
解析
【分析】
要解决过两点作圆求最小半径的问题，首先要明确过A、B两点的圆的圆心位置规律：因为圆上任意点到圆心距离相等，所以圆心到A、B两点的距离相等，即圆心必然在线段AB的垂直平分线上。接下来思考半径最小的情况：圆的半径等于圆心到A（或B）的距离，要让半径最小，就是要在AB的垂直平分线上找到距离A（或B）最近的点，这个点就是AB的中点，此时半径长度为AB长度的一半。
【解析】
∵ 经过A、B两点的圆的圆心需满足到A、B的距离相等，
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上，设圆心为O，圆的半径为r，则$r=OA=OB$。
根据直角三角形中斜边大于直角边的性质，当O为线段AB的中点时，OA、OB的长度最小，
此时最小半径$r_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 线段垂直平分线性质
3. 最短距离求解
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和最值问题结合考查，只要掌握过两点的圆的圆心位置规律，结合最短距离的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决过两点作圆求最小半径的问题，首先要明确过A、B两点的圆的圆心位置规律：因为圆上任意点到圆心距离相等，所以圆心到A、B两点的距离相等，即圆心必然在线段AB的垂直平分线上。接下来思考半径最小的情况：圆的半径等于圆心到A（或B）的距离，要让半径最小，就是要在AB的垂直平分线上找到距离A（或B）最近的点，这个点就是AB的中点，此时半径长度为AB长度的一半。
【解析】
∵ 经过A、B两点的圆的圆心需满足到A、B的距离相等，
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上，设圆心为O，圆的半径为r，则$r=OA=OB$。
根据直角三角形中斜边大于直角边的性质，当O为线段AB的中点时，OA、OB的长度最小，
此时最小半径$r_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 线段垂直平分线性质
3. 最短距离求解
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和最值问题结合考查，只要掌握过两点的圆的圆心位置规律，结合最短距离的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7 已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1，-1)、B(-2，5)、C(4，-6)，则A、B、C这三个点
可以
确定一个圆。（填“可以”或“不可以”）答案
可以
解析
【分析】
要判断三个点能否确定一个圆，依据是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此核心是判断A、B、C三点是否共线。我们可以先求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的坐标代入解析式验证，若点C不在该直线上，说明三点不共线，即可确定圆。
【解析】
解：设过点A(1，-1)、B(-2，5)的直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将A、B两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -2k + b = 5 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：$3k=-6$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$k+b=-1$，得：$-2 + b = -1$，解得$b=1$，
∴直线AB的解析式为$y=-2x+1$。
将点C(4，-6)的横坐标$x=4$代入解析式得：$y=-2×4+1=-7≠-6$，
∴点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，
∴这三个点可以确定一个圆。
【答案】
可以
【知识点】
三点定圆的条件；一次函数解析式求解；点与直线位置判断
【点评】
本题考查圆的确定相关知识，解题关键是明确三点确定圆的前提是三点不共线，通过求解直线解析式验证三点是否共线即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
要判断三个点能否确定一个圆，依据是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此核心是判断A、B、C三点是否共线。我们可以先求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的坐标代入解析式验证，若点C不在该直线上，说明三点不共线，即可确定圆。
【解析】
解：设过点A(1，-1)、B(-2，5)的直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将A、B两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -2k + b = 5 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：$3k=-6$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$k+b=-1$，得：$-2 + b = -1$，解得$b=1$，
∴直线AB的解析式为$y=-2x+1$。
将点C(4，-6)的横坐标$x=4$代入解析式得：$y=-2×4+1=-7≠-6$，
∴点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，
∴这三个点可以确定一个圆。
【答案】
可以
【知识点】
三点定圆的条件；一次函数解析式求解；点与直线位置判断
【点评】
本题考查圆的确定相关知识，解题关键是明确三点确定圆的前提是三点不共线，通过求解直线解析式验证三点是否共线即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
8 如图，$△ ABC$是以$BC$为底边的等腰三角形，点$O$为$△ ABC$的外心，连接$OA$，交$BC$于点$M$。若$OA=AC=1$，则$BC$的长为
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
[提示:连接$OC$,可证明$△ OAC$为等边三角形。由题意得$AM ⊥ BC$,所以$∠ ACM = 30°$,所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$MC=\sqrt{AC^2-AM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$BC=2MC=\sqrt{3}$。]
[提示:连接$OC$,可证明$△ OAC$为等边三角形。由题意得$AM ⊥ BC$,所以$∠ ACM = 30°$,所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$MC=\sqrt{AC^2-AM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$BC=2MC=\sqrt{3}$。]
解析
【分析】
这是一道几何综合计算题，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，均为外接圆半径，因此可先连接辅助线OC得到OC=OA；结合已知OA=AC=1，可判定△OAC为等边三角形，得到特殊角∠OAC=60°；再结合等腰三角形三线合一的性质，可知OA垂直平分BC，将求BC的长度转化为求直角三角形边长的问题，最后利用勾股定理计算即可。
【解析】
连接OC，
∵点O为△ABC的外心，
∴OA=OC=1（外心到三角形顶点的距离等于外接圆半径），
又
∵OA=AC=1，
∴OA=OC=AC，即△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=60°。
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，O是外心，
∴OA所在直线垂直平分BC，即AM⊥BC，M为BC中点，BC=2MC。
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠MAC=60°，AC=1，
∴$AM=AC·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$MC=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2MC=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 等边三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与特殊三角形的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造等边三角形，再结合等腰三角形的性质将问题转化为解直角三角形问题，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道几何综合计算题，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，均为外接圆半径，因此可先连接辅助线OC得到OC=OA；结合已知OA=AC=1，可判定△OAC为等边三角形，得到特殊角∠OAC=60°；再结合等腰三角形三线合一的性质，可知OA垂直平分BC，将求BC的长度转化为求直角三角形边长的问题，最后利用勾股定理计算即可。
【解析】
连接OC，
∵点O为△ABC的外心，
∴OA=OC=1（外心到三角形顶点的距离等于外接圆半径），
又
∵OA=AC=1，
∴OA=OC=AC，即△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=60°。
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，O是外心，
∴OA所在直线垂直平分BC，即AM⊥BC，M为BC中点，BC=2MC。
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠MAC=60°，AC=1，
∴$AM=AC·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$MC=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2MC=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 等边三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与特殊三角形的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造等边三角形，再结合等腰三角形的性质将问题转化为解直角三角形问题，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=6$，$BC=8$，则这个三角形的外接圆的半径是
4或5
。答案
4或5
解析
【分析】
要解决直角三角形外接圆半径的问题，首先回忆相关性质：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，半径等于斜边长度的一半，因此解题核心是确定斜边的长度。本题未明确给出直角顶点，因此需要结合边长分类讨论可能的斜边：由于直角三角形中斜边为最长边，已知AB=6＜BC=8，因此AB不可能是斜边，仅需讨论两种情况：BC为斜边、∠B为直角时AC为斜边，分别计算即可。
【解析】
直角三角形外接圆的半径等于斜边长度的$\frac{1}{2}$，本题未明确直角顶点，分类讨论如下：
1. 当斜边为$BC$时（即$∠ A=90°$）：
斜边$BC=8$，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$；
2. 当$∠ B=90°$时，斜边为$AC$：
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
综上，这个三角形的外接圆半径是4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
直角三角形外接圆性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅默认某一个角为直角导致漏解，解题时要注意结合边长判断可能的斜边情况，避免漏算。
【难度系数】
0.6
要解决直角三角形外接圆半径的问题，首先回忆相关性质：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，半径等于斜边长度的一半，因此解题核心是确定斜边的长度。本题未明确给出直角顶点，因此需要结合边长分类讨论可能的斜边：由于直角三角形中斜边为最长边，已知AB=6＜BC=8，因此AB不可能是斜边，仅需讨论两种情况：BC为斜边、∠B为直角时AC为斜边，分别计算即可。
【解析】
直角三角形外接圆的半径等于斜边长度的$\frac{1}{2}$，本题未明确直角顶点，分类讨论如下：
1. 当斜边为$BC$时（即$∠ A=90°$）：
斜边$BC=8$，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$；
2. 当$∠ B=90°$时，斜边为$AC$：
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
综上，这个三角形的外接圆半径是4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
直角三角形外接圆性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅默认某一个角为直角导致漏解，解题时要注意结合边长判断可能的斜边情况，避免漏算。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{10}$，$BC=4$，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，则$\odot O$的半径为
$\frac{10}{3}$
。答案
$\frac{10}{3}$
[提示:过点$A$作$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,连接$OB$、$OC$。易证点$O$在$AD$上。在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6$。设$\odot O$的半径为$r$,在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$,所以$(6-r)^2+2^2=r^2$,解得$r=\frac{10}{3}$。]
[提示:过点$A$作$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,连接$OB$、$OC$。易证点$O$在$AD$上。在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6$。设$\odot O$的半径为$r$,在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$,所以$(6-r)^2+2^2=r^2$,解得$r=\frac{10}{3}$。]
解析
【分析】
要计算等腰三角形外接圆的半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。由于△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的垂线AD，AD同时是BC的垂直平分线，因此外心O一定在AD上。接下来先求出AD的长度，再设半径为r，用r表示出OD的长度，在直角三角形OBD中用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，连接OB、OC。
$\because AB=AC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore AD$是BC的垂直平分线，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$，
$\because \odot O$是$△ ABC$的外接圆，圆心O在BC的垂直平分线上，
$\therefore$ 点O在AD上。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OA=r$，$OD=AD-OA=6-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得：$r^2=(6-r)^2+2^2$，
展开化简：$r^2=36-12r+r^2+4$，
$12r=40$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；三角形外接圆性质
【点评】
本题是等腰三角形外接圆半径求解的典型题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质快速确定外心的位置，再结合勾股定理建立方程求解，较好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要计算等腰三角形外接圆的半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。由于△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的垂线AD，AD同时是BC的垂直平分线，因此外心O一定在AD上。接下来先求出AD的长度，再设半径为r，用r表示出OD的长度，在直角三角形OBD中用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，连接OB、OC。
$\because AB=AC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore AD$是BC的垂直平分线，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$，
$\because \odot O$是$△ ABC$的外接圆，圆心O在BC的垂直平分线上，
$\therefore$ 点O在AD上。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OA=r$，$OD=AD-OA=6-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得：$r^2=(6-r)^2+2^2$，
展开化简：$r^2=36-12r+r^2+4$，
$12r=40$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；三角形外接圆性质
【点评】
本题是等腰三角形外接圆半径求解的典型题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质快速确定外心的位置，再结合勾股定理建立方程求解，较好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
