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11 根据下列条件，说明A、B、C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。
（1）$AB=2\sqrt{3}+1$，$BC=4\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}-1$；（2）$AB=AC=10$，$BC=12$。
（1）$AB=2\sqrt{3}+1$，$BC=4\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}-1$；（2）$AB=AC=10$，$BC=12$。
答案
(1) $2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-1=4\sqrt{3}$,所以$AB+AC=BC$, $A$、$B$、$C$三点共线,所以不能确定一个圆。
(2) 因为$10+10=20＞12$,所以$A$、$B$、$C$三点不共线,所以能确定一个圆。
设$△ ABC$的外心为点$O$,连接$AO$,交$BC$于点$D$。由$AB=AC$,得$DB=\frac{1}{2}BC=6$。因为$AB=10$,所以$AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$。设$OB=OA=r$,则$DO=8-r$, $r^2-6^2=(r-8)^2$,解得$r=\frac{25}{4}$。
所以$A$、$B$、$C$三点能确定一个圆,半径为$\frac{25}{4}$。
(2) 因为$10+10=20＞12$,所以$A$、$B$、$C$三点不共线,所以能确定一个圆。
设$△ ABC$的外心为点$O$,连接$AO$,交$BC$于点$D$。由$AB=AC$,得$DB=\frac{1}{2}BC=6$。因为$AB=10$,所以$AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$。设$OB=OA=r$,则$DO=8-r$, $r^2-6^2=(r-8)^2$,解得$r=\frac{25}{4}$。
所以$A$、$B$、$C$三点能确定一个圆,半径为$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】
要判断三点能否确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此第一步需先判断A、B、C三点是否共线：若较短两条线段的和等于最长线段，则三点共线，不能确定圆；若能构成三角形（即任意两边之和大于第三边），则三点不共线，可以确定圆，再根据三角形的特点求解外接圆半径。第二小问是等腰三角形，可利用三线合一的性质找到底边的高，再结合外心到三个顶点距离相等的性质，用勾股定理列方程求解半径。
【解析】
(1) 先计算两条较短线段的和：
$AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}$，
可得$AB+AC=BC$，因此A、B、C三点共线，不满足不在同一直线上的条件，故不能确定一个圆。
(2) 首先判断三点是否共线：
$AB+AC=10+10=20＞12=BC$，因此A、B、C三点不共线，可以确定一个圆。
设$△ ABC$的外心为点$O$，连接$AO$并延长交$BC$于点$D$。
因为$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$垂直平分$BC$，所以$DB=\frac{1}{2}BC=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设外接圆半径$OB=OA=r$，则$DO=AD-OA=8-r$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=DO^2+DB^2$，代入得：
$r^2=(8-r)^2+6^2$
展开化简：$r^2=r^2-16r+64+36$，
解得$16r=100$，即$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) A、B、C三点共线，不能确定一个圆；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
圆的确定条件；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题围绕三点确定圆的核心知识点展开，既考查了三点共线的判定方法，又结合等腰三角形的特性考查外接圆半径的计算，解题时需先明确判定逻辑，再合理运用几何性质列方程求解，是对圆的基础概念和几何计算能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
要判断三点能否确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此第一步需先判断A、B、C三点是否共线：若较短两条线段的和等于最长线段，则三点共线，不能确定圆；若能构成三角形（即任意两边之和大于第三边），则三点不共线，可以确定圆，再根据三角形的特点求解外接圆半径。第二小问是等腰三角形，可利用三线合一的性质找到底边的高，再结合外心到三个顶点距离相等的性质，用勾股定理列方程求解半径。
【解析】
(1) 先计算两条较短线段的和：
$AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}$，
可得$AB+AC=BC$，因此A、B、C三点共线，不满足不在同一直线上的条件，故不能确定一个圆。
(2) 首先判断三点是否共线：
$AB+AC=10+10=20＞12=BC$，因此A、B、C三点不共线，可以确定一个圆。
设$△ ABC$的外心为点$O$，连接$AO$并延长交$BC$于点$D$。
因为$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$垂直平分$BC$，所以$DB=\frac{1}{2}BC=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设外接圆半径$OB=OA=r$，则$DO=AD-OA=8-r$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=DO^2+DB^2$，代入得：
$r^2=(8-r)^2+6^2$
展开化简：$r^2=r^2-16r+64+36$，
解得$16r=100$，即$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) A、B、C三点共线，不能确定一个圆；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
圆的确定条件；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题围绕三点确定圆的核心知识点展开，既考查了三点共线的判定方法，又结合等腰三角形的特性考查外接圆半径的计算，解题时需先明确判定逻辑，再合理运用几何性质列方程求解，是对圆的基础概念和几何计算能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
12 如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，等边△ABC的边长为6，求⊙O的半径。
第12题图
第12题图答案
连接$OB$、$OC$,作$OM ⊥ BC$于点$M$。因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ OBC=∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。因为$OM ⊥ BC$,所以$BM=CM=\frac{1}{2}BC=3$。所以$\odot O$半径$OB=\frac{BM}{\cos 30°}=2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要求⊙O的半径，本质是求圆心O到三角形顶点的距离，我们可以按以下思路推导：①先连接OB、OC得到两条半径，结合等边△ABC是⊙O内接三角形的性质，可推得△OBC为等腰三角形，且底角∠OBC=30°；②过O作BC的垂线，根据垂径定理可得到BC边的一半长度，构造出含30°角的直角三角形；③在直角三角形中利用特殊角的三角函数即可求出半径长度。
【解析】
连接$OB$、$OC$，作$OM ⊥ BC$于点$M$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=60°$，由圆周角定理得$∠ BOC=2∠ A=120°$，
又
∵$OB=OC$，
∴$∠ OBC=∠ OCB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵$OM ⊥ BC$，由垂径定理得$BM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OBM$中，$\cos∠ OBM=\frac{BM}{OB}$，
∴$\odot O$半径$OB=\frac{BM}{\cos 30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆内接正多边形求半径的典型基础题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆和特殊三角形的性质将半径求解转化为解直角三角形问题，需要熟练掌握垂径定理和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，本质是求圆心O到三角形顶点的距离，我们可以按以下思路推导：①先连接OB、OC得到两条半径，结合等边△ABC是⊙O内接三角形的性质，可推得△OBC为等腰三角形，且底角∠OBC=30°；②过O作BC的垂线，根据垂径定理可得到BC边的一半长度，构造出含30°角的直角三角形；③在直角三角形中利用特殊角的三角函数即可求出半径长度。
【解析】
连接$OB$、$OC$，作$OM ⊥ BC$于点$M$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=60°$，由圆周角定理得$∠ BOC=2∠ A=120°$，
又
∵$OB=OC$，
∴$∠ OBC=∠ OCB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵$OM ⊥ BC$，由垂径定理得$BM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OBM$中，$\cos∠ OBM=\frac{BM}{OB}$，
∴$\odot O$半径$OB=\frac{BM}{\cos 30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆内接正多边形求半径的典型基础题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆和特殊三角形的性质将半径求解转化为解直角三角形问题，需要熟练掌握垂径定理和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
13 已知二次函数$y=x^2 -10x +21$顶点为A，与x轴交点为B、C，求以点A、B、C为顶点的三角形的外接圆圆心的坐标。
答案
因为二次函数$y=x^2-10x+21=(x-5)^2-4$,所以顶点$A$的坐标为$(5,-4)$。当$y=0$时,解得$x_1=3$, $x_2=7$,所以$B(3,0)$,$C(7,0)$,所以$OB=3$, $BC=4$。如图,作抛物线的对称轴交$x$轴于点$E$,设$△ ABC$的外接圆圆心为$D$,则$BE=2$, $AE=4$, $OE=5$,$∠ DEB=90°$。在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,由勾股定理得$BD^2=BE^2+ED^2$,且$BD=AD$,所以$BD^2=2^2+(4-BD)^2$,解得$BD=\frac{5}{2}$,所以$DE=\frac{3}{2}$,所以$△ ABC$外接圆圆心的坐标是$(5,-\frac{3}{2})$。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：第一步先求出△ABC三个顶点的坐标，先对二次函数配方得到顶点A的坐标，再令y=0解方程得到x轴交点B、C的坐标；第二步观察B、C的坐标特征，可知两点关于抛物线的对称轴对称，△ABC是等腰三角形，因此其外接圆圆心一定在抛物线的对称轴上，仅需设圆心的纵坐标即可简化计算；第三步根据外接圆圆心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆半径相等），结合勾股定理列方程求解，即可得到圆心坐标。
【解析】
1. 求三个顶点坐标：
对二次函数解析式配方得$y=x^2-10x+21=(x-5)^2-4$，因此顶点A的坐标为$\boldsymbol{(5,-4)}$。
令$y=0$，即$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$，因此B、C坐标为$\boldsymbol{B(3,0)}$，$\boldsymbol{C(7,0)}$。
2. 确定圆心位置并列方程：
B、C关于抛物线对称轴$x=5$对称，因此△ABC的外接圆圆心D在直线$x=5$上，设D点坐标为$(5,m)$。
根据外接圆性质，圆心到各顶点距离相等，即$DA=DB$：
$DA$的长度为$|m-(-4)|=|m+4|$，设对称轴与x轴交点为E，则E坐标为$(5,0)$，在$Rt△ BDE$中，$BE=7-5=2$，$DE=|m|$，由勾股定理得$DB^2=BE^2+DE^2=2^2+m^2$。
结合$DA=DB$得：
$(m+4)^2=2^2+m^2$
展开化简：$m^2+8m+16=4+m^2$，即$8m=-12$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$(5,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数的图像与性质；三角形外接圆的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数与圆的综合基础题，解题关键是利用等腰三角形的对称性快速确定外接圆圆心所在直线，将问题简化为一元一次方程求解，很好地体现了数形结合思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题可按以下思路推导：第一步先求出△ABC三个顶点的坐标，先对二次函数配方得到顶点A的坐标，再令y=0解方程得到x轴交点B、C的坐标；第二步观察B、C的坐标特征，可知两点关于抛物线的对称轴对称，△ABC是等腰三角形，因此其外接圆圆心一定在抛物线的对称轴上，仅需设圆心的纵坐标即可简化计算；第三步根据外接圆圆心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆半径相等），结合勾股定理列方程求解，即可得到圆心坐标。
【解析】
1. 求三个顶点坐标：
对二次函数解析式配方得$y=x^2-10x+21=(x-5)^2-4$，因此顶点A的坐标为$\boldsymbol{(5,-4)}$。
令$y=0$，即$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$，因此B、C坐标为$\boldsymbol{B(3,0)}$，$\boldsymbol{C(7,0)}$。
2. 确定圆心位置并列方程：
B、C关于抛物线对称轴$x=5$对称，因此△ABC的外接圆圆心D在直线$x=5$上，设D点坐标为$(5,m)$。
根据外接圆性质，圆心到各顶点距离相等，即$DA=DB$：
$DA$的长度为$|m-(-4)|=|m+4|$，设对称轴与x轴交点为E，则E坐标为$(5,0)$，在$Rt△ BDE$中，$BE=7-5=2$，$DE=|m|$，由勾股定理得$DB^2=BE^2+DE^2=2^2+m^2$。
结合$DA=DB$得：
$(m+4)^2=2^2+m^2$
展开化简：$m^2+8m+16=4+m^2$，即$8m=-12$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$(5,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数的图像与性质；三角形外接圆的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数与圆的综合基础题，解题关键是利用等腰三角形的对称性快速确定外接圆圆心所在直线，将问题简化为一元一次方程求解，很好地体现了数形结合思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
14 如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，O是△ABC的外心，G是△ABC的重心，求OG的长。
答案
因为$AB=AC$, $O$是$△ ABC$的外心,所以$AD ⊥ BC$, $BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$厘米,$OA=OB$。由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$(厘米)。因为$G$是$△ ABC$的重心,所以$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$(厘米)。设$OA=OB=x$厘米,则$OD=(12-x)$厘米。在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,由勾股定理,得$OB^2=OD^2+BD^2$,所以$5^2+(12-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{169}{24}$,所以$OG=AG-OA=8-\frac{169}{24}=\frac{23}{24}$(厘米)。
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD既是BC边上的高，也是BC边上的中线。三角形的外心是三边垂直平分线的交点，重心是三条中线的交点，因此O、G两点都在线段AD上，OG的长度可转化为AG与OA的长度差求解。第一步先利用勾股定理计算AD的长度；第二步根据重心的性质计算AG的长度；第三步设外心半径OA=OB=x，在Rt△OBD中用勾股定理列方程求出x的值；最后用AG减去OA即可得到OG的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$O$是$△ ABC$的外心，
∴$AD ⊥ BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$厘米，$OA=OB$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$（厘米）。
∵$G$是$△ ABC$的重心，
∴$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$（厘米）。
设$OA=OB=x$厘米，则$OD=(12-x)$厘米，
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得$5^2+(12-x)^2=x^2$，
解得$x=\frac{169}{24}$，
∴$OG=AG-OA=8-\frac{169}{24}=\frac{23}{24}$（厘米）。
【答案】
$\frac{23}{24}$厘米
【知识点】
等腰三角形性质；三角形重心性质；三角形外心性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形与三角形特殊点的性质，解题关键是明确等腰三角形的外心和重心都在其底边的高上，将线段计算简化为同一直线上的线段差计算，结合勾股定理即可求解，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD既是BC边上的高，也是BC边上的中线。三角形的外心是三边垂直平分线的交点，重心是三条中线的交点，因此O、G两点都在线段AD上，OG的长度可转化为AG与OA的长度差求解。第一步先利用勾股定理计算AD的长度；第二步根据重心的性质计算AG的长度；第三步设外心半径OA=OB=x，在Rt△OBD中用勾股定理列方程求出x的值；最后用AG减去OA即可得到OG的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$O$是$△ ABC$的外心，
∴$AD ⊥ BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$厘米，$OA=OB$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$（厘米）。
∵$G$是$△ ABC$的重心，
∴$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$（厘米）。
设$OA=OB=x$厘米，则$OD=(12-x)$厘米，
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得$5^2+(12-x)^2=x^2$，
解得$x=\frac{169}{24}$，
∴$OG=AG-OA=8-\frac{169}{24}=\frac{23}{24}$（厘米）。
【答案】
$\frac{23}{24}$厘米
【知识点】
等腰三角形性质；三角形重心性质；三角形外心性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形与三角形特殊点的性质，解题关键是明确等腰三角形的外心和重心都在其底边的高上，将线段计算简化为同一直线上的线段差计算，结合勾股定理即可求解，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
