11 根据下列条件，说明A、B、C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。
（1）$AB=2\sqrt{3}+1$，$BC=4\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}-1$；（2）$AB=AC=10$，$BC=12$。

(1) $2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-1=4\sqrt{3}$,所以$AB+AC=BC$, $A$、$B$、$C$三点共线,所以不能确定一个圆。
(2) 因为$10+10=20＞12$,所以$A$、$B$、$C$三点不共线,所以能确定一个圆。
设$△ ABC$的外心为点$O$,连接$AO$,交$BC$于点$D$。由$AB=AC$,得$DB=\frac{1}{2}BC=6$。因为$AB=10$,所以$AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$。设$OB=OA=r$,则$DO=8-r$, $r^2-6^2=(r-8)^2$,解得$r=\frac{25}{4}$。
所以$A$、$B$、$C$三点能确定一个圆,半径为$\frac{25}{4}$。

12 如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，等边△ABC的边长为6，求⊙O的半径。 第12题图

连接$OB$、$OC$,作$OM ⊥ BC$于点$M$。因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ OBC=∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。因为$OM ⊥ BC$,所以$BM=CM=\frac{1}{2}BC=3$。所以$\odot O$半径$OB=\frac{BM}{\cos 30°}=2\sqrt{3}$。

13 已知二次函数$y=x^2 -10x +21$顶点为A，与x轴交点为B、C，求以点A、B、C为顶点的三角形的外接圆圆心的坐标。

因为二次函数$y=x^2-10x+21=(x-5)^2-4$,所以顶点$A$的坐标为$(5,-4)$。当$y=0$时,解得$x_1=3$, $x_2=7$,所以$B(3,0)$,$C(7,0)$,所以$OB=3$, $BC=4$。如图,作抛物线的对称轴交$x$轴于点$E$,设$△ ABC$的外接圆圆心为$D$,则$BE=2$, $AE=4$, $OE=5$,$∠ DEB=90°$。在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,由勾股定理得$BD^2=BE^2+ED^2$,且$BD=AD$,所以$BD^2=2^2+(4-BD)^2$,解得$BD=\frac{5}{2}$,所以$DE=\frac{3}{2}$,所以$△ ABC$外接圆圆心的坐标是$(5,-\frac{3}{2})$。

14 如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，O是△ABC的外心，G是△ABC的重心，求OG的长。

因为$AB=AC$, $O$是$△ ABC$的外心,所以$AD ⊥ BC$, $BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$厘米,$OA=OB$。由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$(厘米)。因为$G$是$△ ABC$的重心,所以$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$(厘米)。设$OA=OB=x$厘米,则$OD=(12-x)$厘米。在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,由勾股定理,得$OB^2=OD^2+BD^2$,所以$5^2+(12-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{169}{24}$,所以$OG=AG-OA=8-\frac{169}{24}=\frac{23}{24}$(厘米)。