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12 判断下列函数哪些是二次函数。
(1) $y=-2x^2$；(2) $y=\frac{1}{x^2}$；(3) $y=x(2-x)$；(4) $y=(x+2)^2-(x+2)(x-1)$；
(5) $y=3x^2+\sqrt{x}-1$；(6) $y=\frac{2x^2-3}{5}$；(7) $y=\frac{x^2+2x-3}{x}$；(8) $y=(a-1)x^2+(4a-1)x+a-1$。
(1) $y=-2x^2$；(2) $y=\frac{1}{x^2}$；(3) $y=x(2-x)$；(4) $y=(x+2)^2-(x+2)(x-1)$；
(5) $y=3x^2+\sqrt{x}-1$；(6) $y=\frac{2x^2-3}{5}$；(7) $y=\frac{x^2+2x-3}{x}$；(8) $y=(a-1)x^2+(4a-1)x+a-1$。
答案
12.(1)(3)(6)是二次函数。
解析
【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式是关于自变量的整式；②化简后自变量的最高次数为2；③化简后二次项的系数不为0。解题时先将可以化简的函数表达式展开化简，再对照三个标准逐一验证即可。
【解析】
二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个判断：
(1) $y=-2x^2$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-2≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) $y=\frac{1}{x^2}$：表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(3) 先化简$y=x(2-x)=-x^2+2x$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(4) 先化简：
$\begin{aligned}y&=(x+2)^2-(x+2)(x-1)\\&=x^2+4x+4-(x^2+x-2)\\&=3x+6\end{aligned}$
化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
(5) $y=3x^2+\sqrt{x}-1$：表达式中含有$\sqrt{x}$，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(6) 先化简$y=\frac{2x^2-3}{5}=\frac{2}{5}x^2-\frac{3}{5}$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$\frac{2}{5}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(7) $y=\frac{x^2+2x-3}{x}$：表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(8) 该函数的二次项系数为$a-1$，题目未限定$a≠1$，当$a=1$时二次项系数为0，函数变为一次函数，因此不能确定是二次函数，不符合要求。
综上，(1)(3)(6)是二次函数。
【答案】
(1)(3)(6)是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简；整式的判定
【点评】
本题核心考查对二次函数定义的掌握，解题时需注意不要直接看表面形式，要先化简表达式再判断，同时要注意“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个容易被忽略的判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断一个函数是不是二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式是关于自变量的整式；②化简后自变量的最高次数为2；③化简后二次项的系数不为0。解题时先将可以化简的函数表达式展开化简，再对照三个标准逐一验证即可。
【解析】
二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个判断：
(1) $y=-2x^2$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-2≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) $y=\frac{1}{x^2}$：表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(3) 先化简$y=x(2-x)=-x^2+2x$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(4) 先化简：
$\begin{aligned}y&=(x+2)^2-(x+2)(x-1)\\&=x^2+4x+4-(x^2+x-2)\\&=3x+6\end{aligned}$
化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
(5) $y=3x^2+\sqrt{x}-1$：表达式中含有$\sqrt{x}$，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(6) 先化简$y=\frac{2x^2-3}{5}=\frac{2}{5}x^2-\frac{3}{5}$：表达式是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$\frac{2}{5}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(7) $y=\frac{x^2+2x-3}{x}$：表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(8) 该函数的二次项系数为$a-1$，题目未限定$a≠1$，当$a=1$时二次项系数为0，函数变为一次函数，因此不能确定是二次函数，不符合要求。
综上，(1)(3)(6)是二次函数。
【答案】
(1)(3)(6)是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简；整式的判定
【点评】
本题核心考查对二次函数定义的掌握，解题时需注意不要直接看表面形式，要先化简表达式再判断，同时要注意“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个容易被忽略的判定条件。
【难度系数】
0.7
13 若$y=(m-3)x^{m^2 - 3m + 2}$是二次函数，
(1) 求$m$的值。
(2) 求出该函数的图像上纵坐标为－6的点的坐标。
(1) 求$m$的值。
(2) 求出该函数的图像上纵坐标为－6的点的坐标。
答案
13.(1) 由题意得，$m^2-3m+2=2$，解得$m=0$或3。又因为$m-3 ≠ 0$，所以$m=0$。
(2) 由$m=0$，得二次函数表达式为$y=-3x^2$。令$y=-6$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，所以所求坐标为$(\sqrt{2}, -6)$，$(-\sqrt{2}, -6)$。
(2) 由$m=0$，得二次函数表达式为$y=-3x^2$。令$y=-6$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，所以所求坐标为$(\sqrt{2}, -6)$，$(-\sqrt{2}, -6)$。
解析
【分析】
（1）第一问需结合二次函数的定义分析：二次函数需同时满足两个条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此先列关于m的方程求解，再排除系数为0的不符合项，即可得到m的正确取值。
（2）第二问先将求得的m值代入原式得到具体的二次函数解析式，纵坐标为-6即y=-6，将y=-6代入解析式求解x的取值，即可得到对应点的完整坐标。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 3m + 2 = 2 \\m - 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 3m + 2 = 2$，移项得$m^2 - 3m = 0$，因式分解为$m(m-3)=0$，解得$m=0$或$m=3$。
结合$m-3 ≠ 0$即$m ≠ 3$的限制，可得$m=0$。
(2) 将$m=0$代入原函数式，得二次函数解析式为$y=-3x^2$。
令$y=-6$，代入解析式得$-3x^2 = -6$，两边同时除以$-3$得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
因此函数图象上纵坐标为-6的点的坐标为$(\sqrt{2}, -6)$和$(-\sqrt{2}, -6)$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $(\sqrt{2}, -6)$，$(-\sqrt{2}, -6)$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的成立条件，求解m值时要注意验证二次项系数不为0，避免漏条件导致错解；求函数图象上的点坐标时，只需将已知坐标代入解析式求解未知量即可。
【难度系数】
0.8
（1）第一问需结合二次函数的定义分析：二次函数需同时满足两个条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此先列关于m的方程求解，再排除系数为0的不符合项，即可得到m的正确取值。
（2）第二问先将求得的m值代入原式得到具体的二次函数解析式，纵坐标为-6即y=-6，将y=-6代入解析式求解x的取值，即可得到对应点的完整坐标。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 3m + 2 = 2 \\m - 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 3m + 2 = 2$，移项得$m^2 - 3m = 0$，因式分解为$m(m-3)=0$，解得$m=0$或$m=3$。
结合$m-3 ≠ 0$即$m ≠ 3$的限制，可得$m=0$。
(2) 将$m=0$代入原函数式，得二次函数解析式为$y=-3x^2$。
令$y=-6$，代入解析式得$-3x^2 = -6$，两边同时除以$-3$得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
因此函数图象上纵坐标为-6的点的坐标为$(\sqrt{2}, -6)$和$(-\sqrt{2}, -6)$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $(\sqrt{2}, -6)$，$(-\sqrt{2}, -6)$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的成立条件，求解m值时要注意验证二次项系数不为0，避免漏条件导致错解；求函数图象上的点坐标时，只需将已知坐标代入解析式求解未知量即可。
【难度系数】
0.8
14 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=12，E是边AB上一点，F是边BC上一点，且BF=2BE，若设BE=x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系，并写出x的取值范围。
答案
14.$S=S_{矩}-S_{△ ADE}-S_{△ BEF}-S_{△ DCF}=12 × 6-\frac{1}{2}x · 2x -\frac{1}{2} × 12(6-x)-\frac{1}{2} × 6(12-2x) = -x^2+12x(0 ＜ x ≤ 6)$。
解析
【分析】
要求△DEF的面积，直接计算缺乏对应的底和高的已知条件，因此选择割补法求解：用矩形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形△ADE、△BEF、△DCF的面积和即可。首先根据已知条件用含x的代数式表示出各相关线段的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后做差化简得到S的表达式，再结合线段长度的实际意义确定x的取值范围。
【解析】
解：在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，BE=x，则BF=2BE=2x，
可得相关线段长度：
$AE=AB-BE=6-x$，$FC=BC-BF=12-2x$
矩形ABCD的面积：$S_{矩}=AB×BC=6×12=72$
三个直角三角形的面积分别为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×12×(6-x)$
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×BE×BF=\frac{1}{2}×x×2x$
$S_{△ DCF}=\frac{1}{2}×DC×FC=\frac{1}{2}×6×(12-2x)$
因此△DEF的面积为：
$\begin{aligned}S&=S_{矩}-S_{△ ADE}-S_{△ BEF}-S_{△ DCF}\\&=72-\frac{1}{2}×12(6-x)-\frac{1}{2}×x·2x-\frac{1}{2}×6(12-2x)\\&=72-36+6x-x^2-36+6x\\&=-x^2+12x\end{aligned}$
确定x的取值范围：线段长度为正，故$x＞0$，且$BF=2x≤BC=12$、$BE=x≤AB=6$，解得$0＜x≤6$。
【答案】
$S=-x^2+12x(0 ＜ x ≤ 6)$
【知识点】
割补法求面积；二次函数解析式；矩形的性质
【点评】
本题核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差计算，解题关键是正确用含x的代数式表示各相关线段的长度，同时要注意结合线段的实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要求△DEF的面积，直接计算缺乏对应的底和高的已知条件，因此选择割补法求解：用矩形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形△ADE、△BEF、△DCF的面积和即可。首先根据已知条件用含x的代数式表示出各相关线段的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后做差化简得到S的表达式，再结合线段长度的实际意义确定x的取值范围。
【解析】
解：在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，BE=x，则BF=2BE=2x，
可得相关线段长度：
$AE=AB-BE=6-x$，$FC=BC-BF=12-2x$
矩形ABCD的面积：$S_{矩}=AB×BC=6×12=72$
三个直角三角形的面积分别为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×12×(6-x)$
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×BE×BF=\frac{1}{2}×x×2x$
$S_{△ DCF}=\frac{1}{2}×DC×FC=\frac{1}{2}×6×(12-2x)$
因此△DEF的面积为：
$\begin{aligned}S&=S_{矩}-S_{△ ADE}-S_{△ BEF}-S_{△ DCF}\\&=72-\frac{1}{2}×12(6-x)-\frac{1}{2}×x·2x-\frac{1}{2}×6(12-2x)\\&=72-36+6x-x^2-36+6x\\&=-x^2+12x\end{aligned}$
确定x的取值范围：线段长度为正，故$x＞0$，且$BF=2x≤BC=12$、$BE=x≤AB=6$，解得$0＜x≤6$。
【答案】
$S=-x^2+12x(0 ＜ x ≤ 6)$
【知识点】
割补法求面积；二次函数解析式；矩形的性质
【点评】
本题核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差计算，解题关键是正确用含x的代数式表示各相关线段的长度，同时要注意结合线段的实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
15 三角形的两条边长的和为9 cm，它们的夹角为$30°$，设其中一条边长为$x(\mathrm{cm})$，三角形的面积为$y(\mathrm{cm}^2)$，试写出$y$与$x$之间的函数表达式及$x$的取值范围。
答案
15.如图，$y=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}x(9-x) = -\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{4}x(0 ＜ x ＜ 9)$。
解析
【分析】
要推导y与x的函数表达式，首先明确已知条件：两条边长度分别为x cm和(9-x) cm，夹角为30°。我们可以以长度为(9-x)的边为底，过对顶点作这条底边上的高，利用含30°角的直角三角形中“30°角对的直角边等于斜边的一半”，可算出高为$\frac{1}{2}x$，再代入三角形面积公式即可得到函数式；最后根据边长为正的实际要求，就能确定x的取值范围。
【解析】
解：已知三角形其中一条边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条边长为$(9-x)\ \mathrm{cm}$。
两边夹角为30°，向长度为$(9-x)$的边作高，由含30°角的直角三角形性质可得高为$\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$y=\frac{1}{2}×(9-x)×\frac{1}{2}x$
化简得：$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{4}x$
由于边长必须为正数，因此$\begin{cases}x＞0\\9-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜9$。
【答案】
$y=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}x(9-x) = -\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{4}x(0 ＜ x ＜ 9)$
【知识点】
三角形面积计算，含30°直角三角形性质，自变量取值范围
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，核心是利用30°角的性质求出三角形的高，再结合面积公式列函数式，求解自变量范围时要注意符合边长为正的实际意义。
【难度系数】
0.7
要推导y与x的函数表达式，首先明确已知条件：两条边长度分别为x cm和(9-x) cm，夹角为30°。我们可以以长度为(9-x)的边为底，过对顶点作这条底边上的高，利用含30°角的直角三角形中“30°角对的直角边等于斜边的一半”，可算出高为$\frac{1}{2}x$，再代入三角形面积公式即可得到函数式；最后根据边长为正的实际要求，就能确定x的取值范围。
【解析】
解：已知三角形其中一条边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条边长为$(9-x)\ \mathrm{cm}$。
两边夹角为30°，向长度为$(9-x)$的边作高，由含30°角的直角三角形性质可得高为$\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$y=\frac{1}{2}×(9-x)×\frac{1}{2}x$
化简得：$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{4}x$
由于边长必须为正数，因此$\begin{cases}x＞0\\9-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜9$。
【答案】
$y=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}x(9-x) = -\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{4}x(0 ＜ x ＜ 9)$
【知识点】
三角形面积计算，含30°直角三角形性质，自变量取值范围
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，核心是利用30°角的性质求出三角形的高，再结合面积公式列函数式，求解自变量范围时要注意符合边长为正的实际意义。
【难度系数】
0.7
