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1 下列函数不属于二次函数的是（
A.$y=(x-1)(x+2)$
B.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$
C.$y=1-\sqrt{3}x^2$
D.$y=2(x+3)^2 -2x^2$
D
）。A.$y=(x-1)(x+2)$
B.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$
C.$y=1-\sqrt{3}x^2$
D.$y=2(x+3)^2 -2x^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，核心特征是最高次项为二次项，且二次项系数不为0。解题时需要先将每个选项的函数解析式化简为一般形式，再对照定义判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：展开$y=(x-1)(x+2)$，得$y=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项B：展开$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，得$y=\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项C：$y=1-\sqrt{3}x^2$可整理为$y=-\sqrt{3}x^2 + 1$，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项D：展开化简$y=2(x+3)^2 - 2x^2$，先算$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入得$y=2(x^2+6x+9)-2x^2=2x^2+12x+18-2x^2=12x+18$，化简后没有二次项，是一次函数，不属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题时要注意不能仅看函数的表面形式，需要先将解析式化为一般形式后再根据二次函数的定义判断，避免误判。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，核心特征是最高次项为二次项，且二次项系数不为0。解题时需要先将每个选项的函数解析式化简为一般形式，再对照定义判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：展开$y=(x-1)(x+2)$，得$y=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项B：展开$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，得$y=\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项C：$y=1-\sqrt{3}x^2$可整理为$y=-\sqrt{3}x^2 + 1$，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
选项D：展开化简$y=2(x+3)^2 - 2x^2$，先算$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入得$y=2(x^2+6x+9)-2x^2=2x^2+12x+18-2x^2=12x+18$，化简后没有二次项，是一次函数，不属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题时要注意不能仅看函数的表面形式，需要先将解析式化为一般形式后再根据二次函数的定义判断，避免误判。
【难度系数】
0.9
② 若$y=(a^2+a)x^{a^2-2a-1}$是二次函数，那么(
A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
D
)。A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是含x²项的系数不为0。解题时先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再代入系数条件排除不符合的取值，即可得到正确答案。
【解析】
已知函数$y=(a^2+a)x^{a^2-2a-1}$是二次函数，根据二次函数的定义：
1. 自变量的最高次数为2，因此列方程：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$或$a = -1$
2. 二次项系数不为0，因此列不等式：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$且$a ≠ -1$
结合上述两个条件，舍去$a = -1$，最终得$a = 3$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意二次函数的两个判定条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是含x²项的系数不为0。解题时先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再代入系数条件排除不符合的取值，即可得到正确答案。
【解析】
已知函数$y=(a^2+a)x^{a^2-2a-1}$是二次函数，根据二次函数的定义：
1. 自变量的最高次数为2，因此列方程：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$或$a = -1$
2. 二次项系数不为0，因此列不等式：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$且$a ≠ -1$
结合上述两个条件，舍去$a = -1$，最终得$a = 3$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意二次函数的两个判定条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
3 下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是(
A.正方体的体积y与棱长x之间的关系
B.某商品在6月的售价为30元,7月和8月连续两次降价销售,平均每月降价的百分率为x,该商品8月的售价y与x之间的关系
C.距离一定时,汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D.等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
B
)。A.正方体的体积y与棱长x之间的关系
B.某商品在6月的售价为30元,7月和8月连续两次降价销售,平均每月降价的百分率为x,该商品8月的售价y与x之间的关系
C.距离一定时,汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D.等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
答案
3.B
解析
【分析】
判断y与x的关系是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的整式函数，自变量的最高次数为2。解题时需逐个推导每个选项对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方体体积=棱长的三次方，因此函数关系式为y=x³，自变量x的最高次数为3，属于三次函数，不是二次函数，不符合要求；
B. 6月售价为30元，每次降价的百分率为x，7月售价为30(1-x)，8月是在7月售价的基础上再次降价x，因此8月售价y=30(1-x)²，展开得y=30x²-60x+30，符合二次函数的定义，符合要求；
C. 设行驶距离为定值s，根据路程=速度×时间，可得s=xy，变形得y=s/x，属于反比例函数，自变量x的次数为-1，不是二次函数，不符合要求；
D. 等腰三角形内角和为180°，两个底角相等，因此顶角度数y=180-2x，自变量x的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 实际问题列解析式
3. 函数类型判断
【点评】
本题重点考查不同实际场景下函数类型的识别，解题核心是先根据对应数量关系写出函数表达式，再结合各类函数的定义筛选，属于基础类题型，解题时需注意连续降价问题的售价基数变化，避免列错表达式。
【难度系数】
0.8
判断y与x的关系是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的整式函数，自变量的最高次数为2。解题时需逐个推导每个选项对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方体体积=棱长的三次方，因此函数关系式为y=x³，自变量x的最高次数为3，属于三次函数，不是二次函数，不符合要求；
B. 6月售价为30元，每次降价的百分率为x，7月售价为30(1-x)，8月是在7月售价的基础上再次降价x，因此8月售价y=30(1-x)²，展开得y=30x²-60x+30，符合二次函数的定义，符合要求；
C. 设行驶距离为定值s，根据路程=速度×时间，可得s=xy，变形得y=s/x，属于反比例函数，自变量x的次数为-1，不是二次函数，不符合要求；
D. 等腰三角形内角和为180°，两个底角相等，因此顶角度数y=180-2x，自变量x的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 实际问题列解析式
3. 函数类型判断
【点评】
本题重点考查不同实际场景下函数类型的识别，解题核心是先根据对应数量关系写出函数表达式，再结合各类函数的定义筛选，属于基础类题型，解题时需注意连续降价问题的售价基数变化，避免列错表达式。
【难度系数】
0.8
4 如果$f(x)=x^2 -4x +2$，那么$f(2)=$
-2
。答案
4.-2
解析
【分析】
本题考查函数值的求解，解题思路清晰：求f(2)本质是求自变量x=2时对应的函数值，只需要把函数解析式中所有的x替换为2，再按照有理数四则运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算结果即可。
【解析】
解：将x=2代入函数解析式$f(x)=x^2 -4x +2$中，可得：
$\begin{aligned}f(2)&=2^2 - 4×2 + 2\\&=4 - 8 + 2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
-2
【知识点】
1. 函数值求解 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法求函数值的方法，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题考查函数值的求解，解题思路清晰：求f(2)本质是求自变量x=2时对应的函数值，只需要把函数解析式中所有的x替换为2，再按照有理数四则运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算结果即可。
【解析】
解：将x=2代入函数解析式$f(x)=x^2 -4x +2$中，可得：
$\begin{aligned}f(2)&=2^2 - 4×2 + 2\\&=4 - 8 + 2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
-2
【知识点】
1. 函数值求解 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法求函数值的方法，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
5 若函数$f(x)=(m+\sqrt{2})x^{m^2}+3$是二次函数，则$m=$
$\sqrt{2}$
。答案
5.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的定义要求：二次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们只需要根据这两个条件分别列方程和不等式，筛选出同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
解：根据二次函数的定义，需满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即$m^2=2$，解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$；
2. 二次项系数不为0，即$m+\sqrt{2}≠0$，解得$m≠-\sqrt{2}$。
综合两个条件，可得$m=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数相关的基础考题，解题关键是牢记二次函数的判定条件，很容易因忽略“二次项系数不为0”的限制条件得出错误结果，解题时要注意对求出的参数进行验证。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的定义要求：二次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们只需要根据这两个条件分别列方程和不等式，筛选出同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
解：根据二次函数的定义，需满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即$m^2=2$，解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$；
2. 二次项系数不为0，即$m+\sqrt{2}≠0$，解得$m≠-\sqrt{2}$。
综合两个条件，可得$m=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数相关的基础考题，解题关键是牢记二次函数的判定条件，很容易因忽略“二次项系数不为0”的限制条件得出错误结果，解题时要注意对求出的参数进行验证。
【难度系数】
0.8
⑥ 若$y=(m+2)x^{m^2 -2}+(m-2)x+m$是关于x的二次函数，则m的值为
2
。答案
6.2
解析
【分析】
要确定m的值，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项的系数不等于0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解即可得到m的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \quad \mathrm{（最高次项次数为2）} \\m + 2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2 = 2$：
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$。
再结合不等式$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$，因此舍去$m=-2$。
综上，$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解的错误，求解这类题型时要先明确定义中的所有限制条件，逐一验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项的系数不等于0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解即可得到m的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \quad \mathrm{（最高次项次数为2）} \\m + 2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2 = 2$：
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$。
再结合不等式$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$，因此舍去$m=-2$。
综上，$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解的错误，求解这类题型时要先明确定义中的所有限制条件，逐一验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
7 若$y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$是关于x的二次函数，则实数m应满足的条件是
$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
。答案
7.$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
解析
【分析】
解题时首先明确本题考点为二次函数的定义，回忆二次函数的核心判定条件：一是函数中x的最高次数为2次，二是二次项的系数不能为0。本题给出的解析式中x的最高次已经是2次，因此只需保证二次项系数不为0即可。接下来求解关于m的不等式，先对二次项系数对应的二次式因式分解，再根据乘积不为0的性质，得到两个因式均不为0的条件，进而求出m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，因此本题中二次项系数不能为0，可得：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对左边的多项式因式分解：
$(m-3)(m+1) ≠ 0$
若两个数的乘积不为0，则两个数均不能为0，因此：
$m-3≠0$ 且 $m+1≠0$
解得：$m≠3$且$m≠-1$
【答案】
$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.因式分解
3.不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数定义的理解，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，掌握二次函数的基本特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考点为二次函数的定义，回忆二次函数的核心判定条件：一是函数中x的最高次数为2次，二是二次项的系数不能为0。本题给出的解析式中x的最高次已经是2次，因此只需保证二次项系数不为0即可。接下来求解关于m的不等式，先对二次项系数对应的二次式因式分解，再根据乘积不为0的性质，得到两个因式均不为0的条件，进而求出m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，因此本题中二次项系数不能为0，可得：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对左边的多项式因式分解：
$(m-3)(m+1) ≠ 0$
若两个数的乘积不为0，则两个数均不能为0，因此：
$m-3≠0$ 且 $m+1≠0$
解得：$m≠3$且$m≠-1$
【答案】
$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.因式分解
3.不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数定义的理解，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，掌握二次函数的基本特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
⑧ 二次函数$y=x^2+bx+3$中，当$x=3$时，$y=0$，则$b$的值为
-4
。答案
8.-4
解析
【分析】题目给出了二次函数的解析式，以及当x=3时y=0的条件，根据二次函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式的性质，我们可以将x=3、y=0代入函数式，得到只含未知数b的一元一次方程，解方程即可求出b的值。
【解析】将$x=3$，$y=0$代入二次函数$y=x^2+bx+3$中，得：
$3^2 + 3b + 3 = 0$
计算得：$9 + 3b + 3 = 0$
合并同类项：$12 + 3b = 0$
移项得：$3b = -12$
系数化为1：$b = -4$
【答案】-4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】本题属于基础题，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，代入后转化为方程求解即可，计算难度低，易掌握。
【难度系数】0.9
【解析】将$x=3$，$y=0$代入二次函数$y=x^2+bx+3$中，得：
$3^2 + 3b + 3 = 0$
计算得：$9 + 3b + 3 = 0$
合并同类项：$12 + 3b = 0$
移项得：$3b = -12$
系数化为1：$b = -4$
【答案】-4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】本题属于基础题，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，代入后转化为方程求解即可，计算难度低，易掌握。
【难度系数】0.9
9 如果二次函数$y=(m-1)x^2 +5x +m^2 -1$的图像过原点，则m的值为
-1
。答案
9.-1
解析
【分析】
解题时需抓住两个核心条件：①二次函数的图像过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式，将点坐标代入即可得到关于m的方程；②题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含条件，求出方程的解后需要结合这个条件筛选符合要求的m值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m-1)x^2 +5x +m^2 -1$的图像过原点$(0,0)$，
∴将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(m-1)×0^2 +5×0 +m^2 -1$
整理得$m^2 -1=0$，解得$m=1$或$m=-1$。
又
∵该函数是二次函数，
∴二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；函数图像上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得到$m=\pm1$的错误结果，解题时要先关注函数的类型限制，再结合已知条件求解。
【难度系数】
0.6
解题时需抓住两个核心条件：①二次函数的图像过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式，将点坐标代入即可得到关于m的方程；②题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含条件，求出方程的解后需要结合这个条件筛选符合要求的m值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m-1)x^2 +5x +m^2 -1$的图像过原点$(0,0)$，
∴将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(m-1)×0^2 +5×0 +m^2 -1$
整理得$m^2 -1=0$，解得$m=1$或$m=-1$。
又
∵该函数是二次函数，
∴二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；函数图像上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得到$m=\pm1$的错误结果，解题时要先关注函数的类型限制，再结合已知条件求解。
【难度系数】
0.6
⑩ 某工厂第一年的利润为20(万元)，第三年的利润y(万元)与平均年增长率x之间的函数表达式是
$y=20(1+x)^2$
。 ←——8——→答案
10.$y=20(1+x)^2$
解析
【分析】
本题是平均年增长率相关的函数解析式求解问题，解题思路如下：首先明确增长率问题的计算逻辑：每一年的利润都是在上一年利润的基础上增长，即后一年利润=前一年利润×(1+年增长率)。我们可以先根据第一年的利润求出第二年的利润，再以第二年的利润为基础求出第三年的利润，最终整理得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：已知第一年的利润为20万元，平均年增长率为x。
1. 计算第二年的利润：
第二年利润 = 第一年利润 × (1 + 年增长率) = $20(1+x)$ 万元。
2. 计算第三年的利润：
第三年利润是在第二年利润的基础上增长x，因此：
$y = 20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$
综上可得第三年的利润y与平均年增长率x之间的函数表达式。
【答案】
$y=20(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题、二次函数的实际应用、列函数关系式
【点评】
本题是增长率类的基础应用题型，解题的核心是理解平均增长率的含义，掌握逐年递推的计算方法，避免出现直接用第一年利润乘以(1+2x)的典型错误。
【难度系数】
0.85
本题是平均年增长率相关的函数解析式求解问题，解题思路如下：首先明确增长率问题的计算逻辑：每一年的利润都是在上一年利润的基础上增长，即后一年利润=前一年利润×(1+年增长率)。我们可以先根据第一年的利润求出第二年的利润，再以第二年的利润为基础求出第三年的利润，最终整理得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：已知第一年的利润为20万元，平均年增长率为x。
1. 计算第二年的利润：
第二年利润 = 第一年利润 × (1 + 年增长率) = $20(1+x)$ 万元。
2. 计算第三年的利润：
第三年利润是在第二年利润的基础上增长x，因此：
$y = 20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$
综上可得第三年的利润y与平均年增长率x之间的函数表达式。
【答案】
$y=20(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题、二次函数的实际应用、列函数关系式
【点评】
本题是增长率类的基础应用题型，解题的核心是理解平均增长率的含义，掌握逐年递推的计算方法，避免出现直接用第一年利润乘以(1+2x)的典型错误。
【难度系数】
0.85
11 有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长、宽上分别剪去x cm宽(x ＜ 6)的纸条(如图)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积 y=
$(8-x)(6-x)$
。答案
11.$(8-x)(6-x)$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先判断阴影部分为矩形，需先确定其长和宽：观察图形可得，阴影部分的长等于原长方形的长减去右侧剪去的纸条宽度x，即(8-x)cm；阴影部分的宽等于原长方形的宽减去下方剪去的纸条宽度x，即(6-x)cm。再结合矩形面积公式，代入长和宽即可得到面积y的表达式。
【解析】
解：由图形可知，阴影部分为矩形：
1. 求阴影部分的长：原长方形长为8cm，右侧剪去宽为x cm的纸条，因此阴影长为$(8-x)\ \mathrm{cm}$；
2. 求阴影部分的宽：原长方形宽为6cm，下方剪去宽为x cm的纸条，因此阴影宽为$(6-x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得剩余部分面积：
$y=(8-x)(6-x)$
【答案】
$(8-x)(6-x)$
【知识点】
矩形面积计算、列代数式、二次函数解析式
【点评】
本题是基础类题目，主要考查学生的图形分析能力和代数式书写能力，解题核心是准确找到阴影部分矩形的长、宽与原长方形长宽、剪去纸条宽度的数量关系。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，首先判断阴影部分为矩形，需先确定其长和宽：观察图形可得，阴影部分的长等于原长方形的长减去右侧剪去的纸条宽度x，即(8-x)cm；阴影部分的宽等于原长方形的宽减去下方剪去的纸条宽度x，即(6-x)cm。再结合矩形面积公式，代入长和宽即可得到面积y的表达式。
【解析】
解：由图形可知，阴影部分为矩形：
1. 求阴影部分的长：原长方形长为8cm，右侧剪去宽为x cm的纸条，因此阴影长为$(8-x)\ \mathrm{cm}$；
2. 求阴影部分的宽：原长方形宽为6cm，下方剪去宽为x cm的纸条，因此阴影宽为$(6-x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得剩余部分面积：
$y=(8-x)(6-x)$
【答案】
$(8-x)(6-x)$
【知识点】
矩形面积计算、列代数式、二次函数解析式
【点评】
本题是基础类题目，主要考查学生的图形分析能力和代数式书写能力，解题核心是准确找到阴影部分矩形的长、宽与原长方形长宽、剪去纸条宽度的数量关系。
【难度系数】
0.8
