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1 小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
A
)。A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
要解决矩形最大面积的问题，我们可以按以下思路思考：第一步，根据矩形周长公式，确定长和宽的数量关系；第二步，设出合适的自变量，用含自变量的式子表示矩形的长、宽，进而写出面积的函数表达式；第三步，利用二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围，求出面积的最大值。注意矩形的长和宽均为正数，因此自变量的取值需要符合这个实际要求。
【解析】
设围成的矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，
因为矩形周长为$ 8 \, \mathrm{cm} $，所以矩形的宽为$ \frac{8}{2} - x = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，且满足$ 0 ＜ x ＜ 4 $。
设矩形的面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(4 - x) $
整理为二次函数一般形式：$ S = -x^2 + 4x $
对函数配方得：$ S = -(x - 2)^2 + 4 $
由于二次项系数$ -1 ＜ 0 $，该二次函数图象开口向下，
当$ x = 2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，此时矩形为边长2cm的正方形（正方形属于特殊矩形）。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 矩形的周长与面积计算
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题的核心是根据周长与面积的数量关系建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
要解决矩形最大面积的问题，我们可以按以下思路思考：第一步，根据矩形周长公式，确定长和宽的数量关系；第二步，设出合适的自变量，用含自变量的式子表示矩形的长、宽，进而写出面积的函数表达式；第三步，利用二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围，求出面积的最大值。注意矩形的长和宽均为正数，因此自变量的取值需要符合这个实际要求。
【解析】
设围成的矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，
因为矩形周长为$ 8 \, \mathrm{cm} $，所以矩形的宽为$ \frac{8}{2} - x = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，且满足$ 0 ＜ x ＜ 4 $。
设矩形的面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(4 - x) $
整理为二次函数一般形式：$ S = -x^2 + 4x $
对函数配方得：$ S = -(x - 2)^2 + 4 $
由于二次项系数$ -1 ＜ 0 $，该二次函数图象开口向下，
当$ x = 2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，此时矩形为边长2cm的正方形（正方形属于特殊矩形）。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 矩形的周长与面积计算
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题的核心是根据周长与面积的数量关系建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
2 点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（
A.当C是AB的中点时，S最小
B.当C是AB的中点时，S最大
C.当C为AB的三等分点时，S最小
D.当C为AB的三等分点时，S最大
A
）。A.当C是AB的中点时，S最小
B.当C是AB的中点时，S最大
C.当C为AB的三等分点时，S最小
D.当C为AB的三等分点时，S最大
答案
A
解析
【分析】
遇到这类几何动点求最值的问题，我们可以通过建立函数模型求解：首先设出表示动点位置的变量，将所求的面积和转化为关于该变量的函数，再结合函数性质判断最值对应的位置。具体到本题，先设AC的长度为x，用x表示出CB的长度，再根据正方形面积公式写出两个正方形的面积，求和得到S的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可确定C的位置。
【解析】
设线段AC的长为$ x $（$ 0＜x＜1 $），则线段CB的长为$ 1-x $。
根据正方形面积公式，两个正方形的面积之和：
$ S = x^2 + (1-x)^2 $
展开整理得：
$ S = x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 - 2x + 1 $
这是关于$ x $的二次函数，其中二次项系数$ a=2＞0 $，因此抛物线开口向上，函数存在最小值。
二次函数对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2×2} = \frac{1}{2} $，即当$ x=\frac{1}{2} $时，S取得最小值，此时$ AC=\frac{1}{2} $，说明C是AB的中点。
因此当C是AB的中点时，S最小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值应用；正方形面积计算；动点问题建模
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，通过设未知数将几何最值问题转化为二次函数最值问题求解，能有效考查学生建立函数模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类几何动点求最值的问题，我们可以通过建立函数模型求解：首先设出表示动点位置的变量，将所求的面积和转化为关于该变量的函数，再结合函数性质判断最值对应的位置。具体到本题，先设AC的长度为x，用x表示出CB的长度，再根据正方形面积公式写出两个正方形的面积，求和得到S的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可确定C的位置。
【解析】
设线段AC的长为$ x $（$ 0＜x＜1 $），则线段CB的长为$ 1-x $。
根据正方形面积公式，两个正方形的面积之和：
$ S = x^2 + (1-x)^2 $
展开整理得：
$ S = x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 - 2x + 1 $
这是关于$ x $的二次函数，其中二次项系数$ a=2＞0 $，因此抛物线开口向上，函数存在最小值。
二次函数对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2×2} = \frac{1}{2} $，即当$ x=\frac{1}{2} $时，S取得最小值，此时$ AC=\frac{1}{2} $，说明C是AB的中点。
因此当C是AB的中点时，S最小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值应用；正方形面积计算；动点问题建模
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，通过设未知数将几何最值问题转化为二次函数最值问题求解，能有效考查学生建立函数模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3 某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）。如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面$\frac{40}{3}$米，则水流落地点B离墙的距离OB是（
A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
B
）。A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先合理建立坐标系，确定已知点的坐标，由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式更简便，代入已知点求出解析式后，令y=0解一元二次方程，取符合实际意义的正根即可得到水流落地点离墙的距离。
【解析】
以墙根O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系：
由题意得，点A坐标为$(0, 10)$，抛物线顶点M坐标为$(1, \frac{40}{3})$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标代入得：
$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$
将$A(0,10)$代入上式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
水流落地时高度为0，令$y=0$，得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离不能为负，舍去）
所以水流落地点B离墙的距离OB为3米。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 二次函数实际应用 3. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是建立合适的坐标系将实际问题转化为函数问题，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先合理建立坐标系，确定已知点的坐标，由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式更简便，代入已知点求出解析式后，令y=0解一元二次方程，取符合实际意义的正根即可得到水流落地点离墙的距离。
【解析】
以墙根O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系：
由题意得，点A坐标为$(0, 10)$，抛物线顶点M坐标为$(1, \frac{40}{3})$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标代入得：
$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$
将$A(0,10)$代入上式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
水流落地时高度为0，令$y=0$，得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离不能为负，舍去）
所以水流落地点B离墙的距离OB为3米。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 二次函数实际应用 3. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是建立合适的坐标系将实际问题转化为函数问题，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
④ 在半径为4 cm的圆上，从中挖去一个半径为x cm的同心圆，剩下一个圆环的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，则y关于x的函数表达式为
$y=-π x^2 + 16π$
。答案
$y=-π x^2 + 16π$
解析
【分析】
解题时首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积=外圆面积-内圆面积。第一步先根据已知的外圆半径，用圆的面积公式算出外圆面积；第二步根据内圆半径x算出内圆面积；第三步将两个面积做差，整理化简就能得到y关于x的函数表达式，注意结合实际意义，x的取值范围为0＜x＜4。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 外圆半径为4 cm，外圆面积为$S_{\mathrm{外}}=π × 4^2=16π \ \mathrm{cm}^2$；
2. 内圆半径为x cm，内圆面积为$S_{\mathrm{内}}=π x^2 \ \mathrm{cm}^2$；
3. 圆环面积等于外圆面积减内圆面积，因此$y=S_{\mathrm{外}}-S_{\mathrm{内}}=16π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+16π$（$0＜x＜4$）。
【答案】
$y=-π x^2 + 16π$
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；列二次函数关系式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查几何面积公式与函数关系式的结合，只要掌握圆环面积的计算逻辑，熟练运用圆的面积公式就能快速解题，解题时要注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积=外圆面积-内圆面积。第一步先根据已知的外圆半径，用圆的面积公式算出外圆面积；第二步根据内圆半径x算出内圆面积；第三步将两个面积做差，整理化简就能得到y关于x的函数表达式，注意结合实际意义，x的取值范围为0＜x＜4。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 外圆半径为4 cm，外圆面积为$S_{\mathrm{外}}=π × 4^2=16π \ \mathrm{cm}^2$；
2. 内圆半径为x cm，内圆面积为$S_{\mathrm{内}}=π x^2 \ \mathrm{cm}^2$；
3. 圆环面积等于外圆面积减内圆面积，因此$y=S_{\mathrm{外}}-S_{\mathrm{内}}=16π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+16π$（$0＜x＜4$）。
【答案】
$y=-π x^2 + 16π$
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；列二次函数关系式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查几何面积公式与函数关系式的结合，只要掌握圆环面积的计算逻辑，熟练运用圆的面积公式就能快速解题，解题时要注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
5 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度$v_0$(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度$h$(m)与抛出的时间$t$(s)满足$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$(其中$g$是常数，取10 m/s²)，若$v_0 = 10$ m/s，则该物体在运动过程中，最高点距离地面
7
m。答案
7
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路如下：1. 先将已知的初速度$v_0$、重力加速度$g$代入上升高度$h$与时间$t$的关系式，得到$h$关于$t$的二次函数解析式；2. 由于二次函数二次项系数为负，开口向下，顶点对应的函数值就是上升高度的最大值，用配方法即可求出$h$的最大值；3. 题干要求的是最高点距离地面的高度，需要在抛出后上升最大高度的基础上，加上抛出点距离地面的初始高度2m，即可得到最终结果。
【解析】
解：将$v_0=10\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s}^2$代入$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$h = 10t - \frac{1}{2}×10t^2 = -5t^2 + 10t$
对二次函数配方变形：
$h = -5(t^2 - 2t) = -5(t^2 - 2t + 1 - 1) = -5(t-1)^2 + 5$
$\because a=-5＜0$，$\therefore$当$t=1\ \mathrm{s}$时，$h$取得最大值，最大值为$5\ \mathrm{m}$
已知抛出点距离地面$2\ \mathrm{m}$，因此最高点距离地面的高度为：$5 + 2 = 7\ \mathrm{m}$
【答案】
7
【知识点】
二次函数最值求解；二次函数实际应用；配方法
【点评】
本题结合竖直上抛运动的背景考查二次函数的实际应用，解题时需注意题干给出的$h$是相对于抛出点的上升高度，不要遗漏抛出点距离地面的初始高度，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路如下：1. 先将已知的初速度$v_0$、重力加速度$g$代入上升高度$h$与时间$t$的关系式，得到$h$关于$t$的二次函数解析式；2. 由于二次函数二次项系数为负，开口向下，顶点对应的函数值就是上升高度的最大值，用配方法即可求出$h$的最大值；3. 题干要求的是最高点距离地面的高度，需要在抛出后上升最大高度的基础上，加上抛出点距离地面的初始高度2m，即可得到最终结果。
【解析】
解：将$v_0=10\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s}^2$代入$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$h = 10t - \frac{1}{2}×10t^2 = -5t^2 + 10t$
对二次函数配方变形：
$h = -5(t^2 - 2t) = -5(t^2 - 2t + 1 - 1) = -5(t-1)^2 + 5$
$\because a=-5＜0$，$\therefore$当$t=1\ \mathrm{s}$时，$h$取得最大值，最大值为$5\ \mathrm{m}$
已知抛出点距离地面$2\ \mathrm{m}$，因此最高点距离地面的高度为：$5 + 2 = 7\ \mathrm{m}$
【答案】
7
【知识点】
二次函数最值求解；二次函数实际应用；配方法
【点评】
本题结合竖直上抛运动的背景考查二次函数的实际应用，解题时需注意题干给出的$h$是相对于抛出点的上升高度，不要遗漏抛出点距离地面的初始高度，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮。如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米，要使截得的矩形EFGD的边GF在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数表达式为
$y=-2x^2 + 20x$
，x的取值范围为$0 ＜ x ＜ 10$
。答案
$y=-2x^2 + 20x$，$0 ＜ x ＜ 10$
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰直角三角形和矩形的性质：等腰直角三角形的两个底角均为45°，矩形的对边相等、邻边垂直。首先由∠A=∠B=45°，EF、DG都垂直于AB，可推出左右两个小三角形△AEF、△BGD都是等腰直角三角形，得到AF=EF=x，BG=DG=x，进而求出矩形的另一边FG的长度；再根据矩形面积公式即可得到y关于x的函数表达式；最后结合边长为正的实际要求，求出x的取值范围。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=20cm，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形EFGD是矩形，
∴EF⊥AB，DG⊥AB，EF=DG=x，ED=FG，
∴△AEF和△BGD均为等腰直角三角形，
∴AF=EF=x，BG=DG=x，
∴FG=AB - AF - BG = 20 - x - x = 20 - 2x，
根据矩形面积公式可得：
$y = EF·FG = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$，
∵边长为正数，
∴$x ＞ 0$，且$FG=20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$，
∴x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
$y=-2x^2 + 20x$，$0 ＜ x ＜ 10$
【知识点】
等腰直角三角形性质，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础题型，解题的核心是利用等腰直角三角形的特征推导矩形的边长，解题时要注意结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等腰直角三角形和矩形的性质：等腰直角三角形的两个底角均为45°，矩形的对边相等、邻边垂直。首先由∠A=∠B=45°，EF、DG都垂直于AB，可推出左右两个小三角形△AEF、△BGD都是等腰直角三角形，得到AF=EF=x，BG=DG=x，进而求出矩形的另一边FG的长度；再根据矩形面积公式即可得到y关于x的函数表达式；最后结合边长为正的实际要求，求出x的取值范围。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=20cm，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形EFGD是矩形，
∴EF⊥AB，DG⊥AB，EF=DG=x，ED=FG，
∴△AEF和△BGD均为等腰直角三角形，
∴AF=EF=x，BG=DG=x，
∴FG=AB - AF - BG = 20 - x - x = 20 - 2x，
根据矩形面积公式可得：
$y = EF·FG = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$，
∵边长为正数，
∴$x ＞ 0$，且$FG=20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$，
∴x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
$y=-2x^2 + 20x$，$0 ＜ x ＜ 10$
【知识点】
等腰直角三角形性质，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础题型，解题的核心是利用等腰直角三角形的特征推导矩形的边长，解题时要注意结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
7 我国新能源汽车技术在多个领域实现了新突破。如图①是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分。
如图②是棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)的图像，其表达式为$y=-0.02x^2 + bx + c$，
支柱$AO=1.6\ \mathrm{m}$，最外端点$B$的坐标为$(6,2.68)$。若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长$CD=4\ \mathrm{m}$、高$DE=2.2\ \mathrm{m}$的矩形。
（1）该二次函数的表达式为：______。
（2）判断：此纯电货车________（填“能”或“不能”）完全停到车棚内。
（3）为确保在车棚内能容纳长$5\ \mathrm{m}$、高$2.5\ \mathrm{m}$的车辆进入充电，现对该车棚进行改造。受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱$OA$的方式进行改造，则点$A$升高的高度至少为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。
第7题图①
第7题图②
如图②是棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)的图像，其表达式为$y=-0.02x^2 + bx + c$，支柱$AO=1.6\ \mathrm{m}$，最外端点$B$的坐标为$(6,2.68)$。若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长$CD=4\ \mathrm{m}$、高$DE=2.2\ \mathrm{m}$的矩形。（1）该二次函数的表达式为：______。
（2）判断：此纯电货车________（填“能”或“不能”）完全停到车棚内。
（3）为确保在车棚内能容纳长$5\ \mathrm{m}$、高$2.5\ \mathrm{m}$的车辆进入充电，现对该车棚进行改造。受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱$OA$的方式进行改造，则点$A$升高的高度至少为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。
第7题图①
第7题图②
答案
(1) $y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$ (2) 不能 (3) 0.62
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式时，已知解析式含两个未知参数b、c，首先支柱AO对应x=0时y=1.6，代入可直接求出c的值，再将最外端点B(6,2.68)代入解析式即可求出b，得到完整表达式。
（2）判断货车能否停放时，先分析函数单调性：抛物线开口向下，对称轴在定义域0≤x≤6的右侧，因此该区间内y随x增大而增大。货车长4m，停放时水平覆盖范围为[x, x+4]，需满足x+4≤6即x≤2，区间内y的最小值在左端点x处，要货车高2.2m，需左端点y≥2.2，解不等式判断是否存在符合条件的x即可。
（3）抬高支柱OA即解析式的常数项增加抬高高度h，要容纳长5m的车，停放时水平覆盖范围为[x, x+5]，需满足x+5≤6即x≤1，区间内y最小值仍在左端点x处，取最大的x=1（此时左端点y值最大，最容易满足高度要求），令x=1时y≥2.5即可求出最小抬高高度。
【解析】
（1）由题意，当x=0时，y=AO=1.6m，代入$y=-0.02x^2 + bx + c$得$c=1.6$。
将$B(6,2.68)$、$c=1.6$代入解析式：
$\begin{aligned}2.68 &= -0.02×6^2 + 6b + 1.6\\2.68&=0.88+6b\\b&=0.3\end{aligned}$
因此二次函数表达式为$y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$。
（2）抛物线中$a=-0.02＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{0.3}{0.04}=7.5＞6$，因此在$0≤ x≤6$范围内，y随x的增大而增大。
设货车停放时左端点水平距离为x，则右端点为$x+4$，需满足$0≤ x≤2$，该区间内y的最小值为左端点的函数值，令$y≥2.2$：
$\begin{aligned}-0.02x^2+0.3x+1.6&≥2.2\\x^2-15x+30&≤0\end{aligned}$
解方程$x^2-15x+30=0$得较小根约为2.375＞2，因此$0≤ x≤2$范围内无符合条件的x，货车不能完全停入。
（3）设点A升高$h$m，改造后解析式为$y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6+h$。
停放长5m的车需满足$0≤ x≤1$，取最大的x=1时所需h最小，令$x=1$时$y≥2.5$：
$\begin{aligned}-0.02×1^2+0.3×1+1.6+h&≥2.5\\1.88+h&≥2.5\\h&≥0.62\end{aligned}$
因此至少升高0.62m。
【答案】
(1) $y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$ (2) 不能 (3) 0.62
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数单调性、二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际停放问题转化为二次函数的区间最值问题，需注意结合自变量的实际取值范围分析最值位置，难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.65
（1）求二次函数表达式时，已知解析式含两个未知参数b、c，首先支柱AO对应x=0时y=1.6，代入可直接求出c的值，再将最外端点B(6,2.68)代入解析式即可求出b，得到完整表达式。
（2）判断货车能否停放时，先分析函数单调性：抛物线开口向下，对称轴在定义域0≤x≤6的右侧，因此该区间内y随x增大而增大。货车长4m，停放时水平覆盖范围为[x, x+4]，需满足x+4≤6即x≤2，区间内y的最小值在左端点x处，要货车高2.2m，需左端点y≥2.2，解不等式判断是否存在符合条件的x即可。
（3）抬高支柱OA即解析式的常数项增加抬高高度h，要容纳长5m的车，停放时水平覆盖范围为[x, x+5]，需满足x+5≤6即x≤1，区间内y最小值仍在左端点x处，取最大的x=1（此时左端点y值最大，最容易满足高度要求），令x=1时y≥2.5即可求出最小抬高高度。
【解析】
（1）由题意，当x=0时，y=AO=1.6m，代入$y=-0.02x^2 + bx + c$得$c=1.6$。
将$B(6,2.68)$、$c=1.6$代入解析式：
$\begin{aligned}2.68 &= -0.02×6^2 + 6b + 1.6\\2.68&=0.88+6b\\b&=0.3\end{aligned}$
因此二次函数表达式为$y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$。
（2）抛物线中$a=-0.02＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{0.3}{0.04}=7.5＞6$，因此在$0≤ x≤6$范围内，y随x的增大而增大。
设货车停放时左端点水平距离为x，则右端点为$x+4$，需满足$0≤ x≤2$，该区间内y的最小值为左端点的函数值，令$y≥2.2$：
$\begin{aligned}-0.02x^2+0.3x+1.6&≥2.2\\x^2-15x+30&≤0\end{aligned}$
解方程$x^2-15x+30=0$得较小根约为2.375＞2，因此$0≤ x≤2$范围内无符合条件的x，货车不能完全停入。
（3）设点A升高$h$m，改造后解析式为$y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6+h$。
停放长5m的车需满足$0≤ x≤1$，取最大的x=1时所需h最小，令$x=1$时$y≥2.5$：
$\begin{aligned}-0.02×1^2+0.3×1+1.6+h&≥2.5\\1.88+h&≥2.5\\h&≥0.62\end{aligned}$
因此至少升高0.62m。
【答案】
(1) $y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$ (2) 不能 (3) 0.62
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数单调性、二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际停放问题转化为二次函数的区间最值问题，需注意结合自变量的实际取值范围分析最值位置，难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.65
