13 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数且$a≠0$）经过$(c, 3a+1)$和$(0, -c+2)$两点。
(1) 若$b＜0$，求当$y$随$x$的增大而减小时，自变量$x$的取值范围。
(2) 已知直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$与抛物线$y=ax^2+bx+c$有且只有一个交点。
① 求$a$的值。
② 若点$(x_2, y_2)$在直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$上，点$(x_2+m, y_2+n)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上。求证：当$x_2=m+1$时，$n$的最小值是$\frac{9}{4}$。

将(c, 3a+1)和(0, -c+2)两点分别代入抛物线$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}c=1,\\b=2a,\end{cases}$所以抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$。(1) 因为b＜0,b=2a,所以a＜0,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$,所以当x＞-1时,y随x的增大而减小。(2) ① 因为抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$与直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$有且只有一个交点,所以对应的一元二次方程$ax^2+2ax+1=2a^2x -a^2 -a +1$有两个相等实数根,整理得$ax^2+(2a-2a^2)x+a^2+a=0$。因为a≠0,所以$x^2+(2-2a)x+a+1=0$。所以判别式$\Delta=(2-2a)^2-4(a+1)=0$,整理得$a^2-3a=0$。解得$a_1=0$(舍去),$a_2=3$。所以a值是3。② 已知a=3,所以直线$y_1=18x-11$,抛物线的表达式为$y=3x^2+6x+1$。因为点$(x_2,y_2)$在直线$y_1=18x-11$上,所以$y_2=18x_2-11$,当$x_2=m+1$时,$y_2=18(m+1)-11$。因为点$(x_2+m,y_2+n)$在抛物线$y=3x^2+6x+1$上,所以$y_2+n=3(x_2+m)^2+6(x_2+m)+1$。将$x_2=m+1$和$y_2=18(m+1)-11$代入,得$18(m+1)-11+n=3(2m+1)^2+6(2m+1)+1$,整理得$n=12m^2+6m+3$,配方后得$n=12(m+\frac{1}{4})^2+\frac{9}{4}$,n是m的二次函数,开口向上,当$m=-\frac{1}{4}$时,n取得最小值,最小值为$\frac{9}{4}$。