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13 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数且$a≠0$）经过$(c, 3a+1)$和$(0, -c+2)$两点。
(1) 若$b＜0$，求当$y$随$x$的增大而减小时，自变量$x$的取值范围。
(2) 已知直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$与抛物线$y=ax^2+bx+c$有且只有一个交点。
① 求$a$的值。
② 若点$(x_2, y_2)$在直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$上，点$(x_2+m, y_2+n)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上。求证：当$x_2=m+1$时，$n$的最小值是$\frac{9}{4}$。
(1) 若$b＜0$，求当$y$随$x$的增大而减小时，自变量$x$的取值范围。
(2) 已知直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$与抛物线$y=ax^2+bx+c$有且只有一个交点。
① 求$a$的值。
② 若点$(x_2, y_2)$在直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$上，点$(x_2+m, y_2+n)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上。求证：当$x_2=m+1$时，$n$的最小值是$\frac{9}{4}$。
答案
将(c, 3a+1)和(0, -c+2)两点分别代入抛物线$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}c=1,\\b=2a,\end{cases}$所以抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$。(1) 因为b＜0,b=2a,所以a＜0,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$,所以当x＞-1时,y随x的增大而减小。(2) ① 因为抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$与直线$y_1=2a^2x -a^2 -a +1$有且只有一个交点,所以对应的一元二次方程$ax^2+2ax+1=2a^2x -a^2 -a +1$有两个相等实数根,整理得$ax^2+(2a-2a^2)x+a^2+a=0$。因为a≠0,所以$x^2+(2-2a)x+a+1=0$。所以判别式$\Delta=(2-2a)^2-4(a+1)=0$,整理得$a^2-3a=0$。解得$a_1=0$(舍去),$a_2=3$。所以a值是3。② 已知a=3,所以直线$y_1=18x-11$,抛物线的表达式为$y=3x^2+6x+1$。因为点$(x_2,y_2)$在直线$y_1=18x-11$上,所以$y_2=18x_2-11$,当$x_2=m+1$时,$y_2=18(m+1)-11$。因为点$(x_2+m,y_2+n)$在抛物线$y=3x^2+6x+1$上,所以$y_2+n=3(x_2+m)^2+6(x_2+m)+1$。将$x_2=m+1$和$y_2=18(m+1)-11$代入,得$18(m+1)-11+n=3(2m+1)^2+6(2m+1)+1$,整理得$n=12m^2+6m+3$,配方后得$n=12(m+\frac{1}{4})^2+\frac{9}{4}$,n是m的二次函数,开口向上,当$m=-\frac{1}{4}$时,n取得最小值,最小值为$\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
解题前先利用抛物线上已知点的坐标求出抛物线解析式中参数的关系，再逐步求解各小问：
1. 先代入与y轴交点(0, -c+2)求出c的值，再代入另一个点(c, 3a+1)得到b与a的关系，即可写出用a表示的抛物线解析式；
2. 第(1)问：根据b＜0判断a的正负确定抛物线开口方向，求出对称轴后结合开口方向即可得到y随x增大而减小的x取值范围；
3. 第(2)①问：直线与抛物线只有一个交点，说明联立解析式得到的一元二次方程判别式Δ=0，解方程即可求出a的值，注意舍去a=0的情况；
4. 第(2)②问：将求出的a代入直线和抛物线解析式，把两个点分别代入对应函数式，再代入x₂=m+1整理得到n关于m的二次函数，通过配方法即可求出n的最小值，验证结论。
【解析】
将两点代入抛物线$y=ax^2+bx+c$：
① 代入$(0, -c+2)$，得$c=-c+2$，解得$c=1$；
② 代入$(1, 3a+1)$，得$a+b+1=3a+1$，化简得$b=2a$，
因此抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$。
(1) 由$b＜0$、$b=2a$得$a＜0$，抛物线开口向下；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，
开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x增大而减小，故x的取值范围为$x＞-1$。
(2) ① 联立直线与抛物线解析式：
$ax^2+2ax+1=2a^2x -a^2 -a +1$
整理得$ax^2+(2a-2a^2)x+a^2+a=0$，
由$a≠0$，两边同除以a得$x^2+(2-2a)x+a+1=0$，
因直线与抛物线只有一个交点，故该方程判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-2a)^2-4(a+1)=0$
化简得$a^2-3a=0$，解得$a_1=0$（舍去），$a_2=3$，即$a=3$。
② 证明：将$a=3$代入得，直线解析式为$y_1=18x-11$，抛物线解析式为$y=3x^2+6x+1$，
点$(x_2,y_2)$在直线上，故$y_2=18x_2-11$，当$x_2=m+1$时，$y_2=18(m+1)-11=18m+7$；
点$(x_2+m,y_2+n)=(2m+1,18m+7+n)$在抛物线上，代入得：
$18m+7+n=3(2m+1)^2+6(2m+1)+1$
展开整理得$n=12m^2+6m+3$，
配方得$n=12(m+\frac{1}{4})^2+\frac{9}{4}$，
因$12＞0$，二次函数开口向上，当$m=-\frac{1}{4}$时，n取得最小值$\frac{9}{4}$，结论得证。
【答案】
(1) $x＞-1$
(2) ① $a=3$；② 证明成立，n的最小值为$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数的性质，函数交点与判别式，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数章节的典型综合题，考查了代入法求参数关系、二次函数增减性、一次函数与二次函数交点判定、配方法求最值，要求熟练掌握基础知识点，计算过程需注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
解题前先利用抛物线上已知点的坐标求出抛物线解析式中参数的关系，再逐步求解各小问：
1. 先代入与y轴交点(0, -c+2)求出c的值，再代入另一个点(c, 3a+1)得到b与a的关系，即可写出用a表示的抛物线解析式；
2. 第(1)问：根据b＜0判断a的正负确定抛物线开口方向，求出对称轴后结合开口方向即可得到y随x增大而减小的x取值范围；
3. 第(2)①问：直线与抛物线只有一个交点，说明联立解析式得到的一元二次方程判别式Δ=0，解方程即可求出a的值，注意舍去a=0的情况；
4. 第(2)②问：将求出的a代入直线和抛物线解析式，把两个点分别代入对应函数式，再代入x₂=m+1整理得到n关于m的二次函数，通过配方法即可求出n的最小值，验证结论。
【解析】
将两点代入抛物线$y=ax^2+bx+c$：
① 代入$(0, -c+2)$，得$c=-c+2$，解得$c=1$；
② 代入$(1, 3a+1)$，得$a+b+1=3a+1$，化简得$b=2a$，
因此抛物线表达式为$y=ax^2+2ax+1$。
(1) 由$b＜0$、$b=2a$得$a＜0$，抛物线开口向下；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，
开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x增大而减小，故x的取值范围为$x＞-1$。
(2) ① 联立直线与抛物线解析式：
$ax^2+2ax+1=2a^2x -a^2 -a +1$
整理得$ax^2+(2a-2a^2)x+a^2+a=0$，
由$a≠0$，两边同除以a得$x^2+(2-2a)x+a+1=0$，
因直线与抛物线只有一个交点，故该方程判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-2a)^2-4(a+1)=0$
化简得$a^2-3a=0$，解得$a_1=0$（舍去），$a_2=3$，即$a=3$。
② 证明：将$a=3$代入得，直线解析式为$y_1=18x-11$，抛物线解析式为$y=3x^2+6x+1$，
点$(x_2,y_2)$在直线上，故$y_2=18x_2-11$，当$x_2=m+1$时，$y_2=18(m+1)-11=18m+7$；
点$(x_2+m,y_2+n)=(2m+1,18m+7+n)$在抛物线上，代入得：
$18m+7+n=3(2m+1)^2+6(2m+1)+1$
展开整理得$n=12m^2+6m+3$，
配方得$n=12(m+\frac{1}{4})^2+\frac{9}{4}$，
因$12＞0$，二次函数开口向上，当$m=-\frac{1}{4}$时，n取得最小值$\frac{9}{4}$，结论得证。
【答案】
(1) $x＞-1$
(2) ① $a=3$；② 证明成立，n的最小值为$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数的性质，函数交点与判别式，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数章节的典型综合题，考查了代入法求参数关系、二次函数增减性、一次函数与二次函数交点判定、配方法求最值，要求熟练掌握基础知识点，计算过程需注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
