⑧ 抛物线$y=x^2$上有点$P_1$、$P_2$、$P_3$，其横坐标分别为$t$、$t+1$、$t+3$，则$△ P_1P_2P_3$的面积为________。

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9 在“探索二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的系数$a$、$b$、$c$与图像的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：$A(0,1)$，$B(2,1)$，$C(4,1)$，$D(3,2)$，如图所示。同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，并得到对应的函数表达式$y=ax^2+bx+c$。
(1) 嘉嘉画出过点$A$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_1$，淇淇画出过点$B$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_2$，则$a_1$与$a_2$的大小关系是。
(2) $a+b+c$的最大值为。

(1) $a_1 ＞ a_2$ (2) 2 [提示:四个点中选3个共4种,分别如下:① 因为A、B、C三点共线,所以不可能画出抛物线;② 当过点A(0,1),D(3,2),C(4,1)时,可求出抛物线表达式为$y_1=-\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1$,$a_1=-\frac{1}{3}$;③ 当过点B(2,1),C(4,1),D(3,2)时,可求出抛物线表达式为$y_2=-x^2 + 6x -7$,$a_2=-1$;④ 当过点A(0,1),B(2,1),D(3,2)时,可求出抛物线表达式为$y_3=\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x + 1$。(1) 由前面分析可得,$a_1=-\frac{1}{3}$,$a_2=-1$,所以$a_1 ＞ a_2$。(2) 当x=1时,对应的y值为y=a+b+c。所以可得$y_1=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+1=2$;$y_2=-1+6-7=-2$;$y_3=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$。所以a+b+c的最大值为2。]

10 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 与x轴交于A、B两点，顶点为C。当$△ ABC$为等腰直角三角形时，$b^2 - 4ac$的值为；当$△ ABC$为等边三角形时，$b^2 - 4ac$的值为。

4，12 [提示:设二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图像与x轴的交点坐标分别为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$,此时$b^2-4ac＞0$。当y=0时,$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;所以$AB=|x_1-x_2|=\left|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$。顶点C的坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$,过点C作$CD ⊥ x$轴,垂足为点D,所以$CD=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$。① 当$△ABC$为等腰直角三角形时,所以$CD=\frac{1}{2}AB$,所以$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{1}{2} · \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,解得$b^2-4ac=4$;② 当$△ABC$为等边三角形时,所以$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$,所以$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{\sqrt{3}}{2} · \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,解得$b^2-4ac=12$。]

11 已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，与 $x$ 轴的正半轴交于 $B$、$C$ 两点，且 $BC=2$，$S_{△ ABC}=3$，求抛物线的表达式。

因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · OC$,$BC=2$,$S_{△ ABC}=3$,所以OC=3。因为B、C在x轴正半轴,且a=1,所以抛物线开口向上,点C在y轴正半轴上,所以点C坐标为(0,3)。设点B坐标为(m,0),因为BC=2(不妨设点C在点B的右侧),则点C坐标为(m+2,0),则可设抛物线表达式为y=(x-m)(x-m-2)。再将点C(0,3)代入,可得3=-m(-m-2),整理得$m^2+2m-3=0$,解得$m_1=-3$,$m_2=1$,已知B、C在x轴正半轴,所以m=1,所以抛物线表达式为$y=x^2-4x+3$。

12 已知直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，它与抛物线$y=ax^2$在第一象限内相交于点$P$，又知$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求$a$的值。

设直线l表达式为y=kx+b(k≠0),把A(4,0)和B(0,4)两点代入,得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$所以直线l的表达式为y=-x+4。因为A(4,0),所以OA=4,$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{9}{2}$,所以$y_P=\frac{9}{4}$,代入y=-x+4,得$x_P=\frac{7}{4}$,所以点$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。把点$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$,得$a=\frac{36}{49}$。