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⑧ 抛物线$y=x^2$上有点$P_1$、$P_2$、$P_3$，其横坐标分别为$t$、$t+1$、$t+3$，则$△ P_1P_2P_3$的面积为________。
答案
3
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据抛物线解析式，结合三个点的横坐标，写出三个点的坐标；②由于三角形面积和坐标系位置无关，可将三个点整体向左平移t个单位，消去参数t，简化计算，平移后三个点横坐标变为0、1、3，纵坐标不变；③利用割补法计算平移后的三角形面积，即为原三角形面积。
【解析】
解：
∵点$P_1$、$P_2$、$P_3$在抛物线$y=x^2$上，横坐标分别为$t$、$t+1$、$t+3$，
∴三点坐标分别为：$P_1(t, t^2)$，$P_2(t+1, (t+1)^2)$，$P_3(t+3, (t+3)^2)$。
将三个点整体向左平移$t$个单位（平移不改变图形面积），得到新的三点坐标为：$A(0, 0)$，$B(1, 1)$，$C(3, 9)$。
过点$B$、$C$分别作$x$轴的垂线，垂足分别为$D(1, 0)$、$E(3, 0)$。
则$S_{△ ABC} = S_{梯形BDEC} + S_{△ ABD} - S_{△ ACE}$
分别计算各部分面积：
$S_{梯形BDEC} = (1 + 9)×(3 - 1)÷2 = 10$
$S_{△ ABD} = 1×1÷2 = 0.5$
$S_{△ ACE} = 9×3÷2 = 13.5$
∴$S_{△ ABC} = 10 + 0.5 - 13.5 = |-3| = 3$，即原$△ P_1P_2P_3$的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 图形平移的性质
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数的性质，考查了割补法求坐标系内图形面积的方法，巧妙利用平移消去参数可以大幅简化计算，解题时要注意整式展开计算的准确性，面积结果取正值。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先根据抛物线解析式，结合三个点的横坐标，写出三个点的坐标；②由于三角形面积和坐标系位置无关，可将三个点整体向左平移t个单位，消去参数t，简化计算，平移后三个点横坐标变为0、1、3，纵坐标不变；③利用割补法计算平移后的三角形面积，即为原三角形面积。
【解析】
解：
∵点$P_1$、$P_2$、$P_3$在抛物线$y=x^2$上，横坐标分别为$t$、$t+1$、$t+3$，
∴三点坐标分别为：$P_1(t, t^2)$，$P_2(t+1, (t+1)^2)$，$P_3(t+3, (t+3)^2)$。
将三个点整体向左平移$t$个单位（平移不改变图形面积），得到新的三点坐标为：$A(0, 0)$，$B(1, 1)$，$C(3, 9)$。
过点$B$、$C$分别作$x$轴的垂线，垂足分别为$D(1, 0)$、$E(3, 0)$。
则$S_{△ ABC} = S_{梯形BDEC} + S_{△ ABD} - S_{△ ACE}$
分别计算各部分面积：
$S_{梯形BDEC} = (1 + 9)×(3 - 1)÷2 = 10$
$S_{△ ABD} = 1×1÷2 = 0.5$
$S_{△ ACE} = 9×3÷2 = 13.5$
∴$S_{△ ABC} = 10 + 0.5 - 13.5 = |-3| = 3$，即原$△ P_1P_2P_3$的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 图形平移的性质
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数的性质，考查了割补法求坐标系内图形面积的方法，巧妙利用平移消去参数可以大幅简化计算，解题时要注意整式展开计算的准确性，面积结果取正值。
【难度系数】
0.7
9 在“探索二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的系数$a$、$b$、$c$与图像的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：$A(0,1)$，$B(2,1)$，$C(4,1)$，$D(3,2)$，如图所示。同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，并得到对应的函数表达式$y=ax^2+bx+c$。
(1) 嘉嘉画出过点$A$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_1$，淇淇画出过点$B$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_2$，则$a_1$与$a_2$的大小关系是
(2) $a+b+c$的最大值为
(1) 嘉嘉画出过点$A$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_1$，淇淇画出过点$B$、$D$、$C$时的二次函数图像，对应的二次项系数记为$a_2$，则$a_1$与$a_2$的大小关系是
$a_1 ＞ a_2$
。(2) $a+b+c$的最大值为
2
。答案
(1) $a_1 ＞ a_2$ (2) 2 [提示:四个点中选3个共4种,分别如下:① 因为A、B、C三点共线,所以不可能画出抛物线;② 当过点A(0,1),D(3,2),C(4,1)时,可求出抛物线表达式为$y_1=-\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1$,$a_1=-\frac{1}{3}$;③ 当过点B(2,1),C(4,1),D(3,2)时,可求出抛物线表达式为$y_2=-x^2 + 6x -7$,$a_2=-1$;④ 当过点A(0,1),B(2,1),D(3,2)时,可求出抛物线表达式为$y_3=\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x + 1$。(1) 由前面分析可得,$a_1=-\frac{1}{3}$,$a_2=-1$,所以$a_1 ＞ a_2$。(2) 当x=1时,对应的y值为y=a+b+c。所以可得$y_1=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+1=2$;$y_2=-1+6-7=-2$;$y_3=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$。所以a+b+c的最大值为2。]
解析
【分析】
解题首先先分析四个点的特征：A、B、C三点纵坐标均为1，三点共线，无法构成抛物线，因此选三个点的有效组合共3种：过A、D、C；过B、D、C；过A、B、D。
(1) 要比较$a_1$和$a_2$的大小，只需分别求出过A、D、C的抛物线和过B、D、C的抛物线的二次项系数，再比较大小即可。
(2) 根据二次函数解析式的特征，当$x=1$时，$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，因此只需分别计算三种有效抛物线在$x=1$处的函数值，取最大值即为所求。
【解析】
首先判断：点$A(0,1)$、$B(2,1)$、$C(4,1)$都在直线$y=1$上，三点共线，不能构成抛物线，因此选三个点的有效情况共3种：
(1) 比较$a_1$和$a_2$的大小
① 求过$A(0,1)$、$D(3,2)$、$C(4,1)$的抛物线解析式：
将三点代入$y=ax^2+bx+c$，
代入$A(0,1)$得：$c=1$；
代入$C(4,1)$得：$16a+4b+1=1$，化简得$4a+b=0$ ①；
代入$D(3,2)$得：$9a+3b+1=2$，化简得$9a+3b=1$ ②；
将$b=-4a$代入②得：$9a+3×(-4a)=1$，解得$a_1=-\frac{1}{3}$。
② 求过$B(2,1)$、$D(3,2)$、$C(4,1)$的抛物线解析式：
B、C纵坐标相同，对称轴为$x=\frac{2+4}{2}=3$，$D(3,2)$为顶点，设顶点式$y=a(x-3)^2+2$，
代入$B(2,1)$得：$1=a×(2-3)^2+2$，解得$a_2=-1$。
因为$-\frac{1}{3} ＞ -1$，所以$a_1 ＞ a_2$。
(2) 求$a+b+c$的最大值
$a+b+c$是$x=1$代入二次函数解析式得到的$y$值，分别计算三种有效抛物线在$x=1$处的$y$值：
① 过A、D、C的抛物线：$y_1=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+1$，$x=1$时，$y_1=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+1=2$；
② 过B、D、C的抛物线：$y_2=-x^2+6x-7$，$x=1$时，$y_2=-1+6-7=-2$；
③ 求过$A(0,1)$、$B(2,1)$、$D(3,2)$的抛物线解析式：
代入A得$c=1$，代入B得$4a+2b+1=1\to2a+b=0$，代入D得$9a+3b+1=2\to9a+3b=1$，
联立解得$a=\frac{1}{3}$，$b=-\frac{2}{3}$，解析式为$y_3=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+1$，$x=1$时，$y_3=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$。
比较三个值：$2＞\frac{2}{3}＞-2$，因此$a+b+c$的最大值为2。
【答案】
(1) $a_1 ＞ a_2$
(2) $2$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的性质；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数系数与图像的关系，解题时需先排除共线的三点组合，再结合分类讨论思想分别计算不同情况的结果，其中理解$a+b+c$对应$x=1$时的函数值是解题的关键，能很好地考查学生对二次函数基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题首先先分析四个点的特征：A、B、C三点纵坐标均为1，三点共线，无法构成抛物线，因此选三个点的有效组合共3种：过A、D、C；过B、D、C；过A、B、D。
(1) 要比较$a_1$和$a_2$的大小，只需分别求出过A、D、C的抛物线和过B、D、C的抛物线的二次项系数，再比较大小即可。
(2) 根据二次函数解析式的特征，当$x=1$时，$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，因此只需分别计算三种有效抛物线在$x=1$处的函数值，取最大值即为所求。
【解析】
首先判断：点$A(0,1)$、$B(2,1)$、$C(4,1)$都在直线$y=1$上，三点共线，不能构成抛物线，因此选三个点的有效情况共3种：
(1) 比较$a_1$和$a_2$的大小
① 求过$A(0,1)$、$D(3,2)$、$C(4,1)$的抛物线解析式：
将三点代入$y=ax^2+bx+c$，
代入$A(0,1)$得：$c=1$；
代入$C(4,1)$得：$16a+4b+1=1$，化简得$4a+b=0$ ①；
代入$D(3,2)$得：$9a+3b+1=2$，化简得$9a+3b=1$ ②；
将$b=-4a$代入②得：$9a+3×(-4a)=1$，解得$a_1=-\frac{1}{3}$。
② 求过$B(2,1)$、$D(3,2)$、$C(4,1)$的抛物线解析式：
B、C纵坐标相同，对称轴为$x=\frac{2+4}{2}=3$，$D(3,2)$为顶点，设顶点式$y=a(x-3)^2+2$，
代入$B(2,1)$得：$1=a×(2-3)^2+2$，解得$a_2=-1$。
因为$-\frac{1}{3} ＞ -1$，所以$a_1 ＞ a_2$。
(2) 求$a+b+c$的最大值
$a+b+c$是$x=1$代入二次函数解析式得到的$y$值，分别计算三种有效抛物线在$x=1$处的$y$值：
① 过A、D、C的抛物线：$y_1=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+1$，$x=1$时，$y_1=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+1=2$；
② 过B、D、C的抛物线：$y_2=-x^2+6x-7$，$x=1$时，$y_2=-1+6-7=-2$；
③ 求过$A(0,1)$、$B(2,1)$、$D(3,2)$的抛物线解析式：
代入A得$c=1$，代入B得$4a+2b+1=1\to2a+b=0$，代入D得$9a+3b+1=2\to9a+3b=1$，
联立解得$a=\frac{1}{3}$，$b=-\frac{2}{3}$，解析式为$y_3=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+1$，$x=1$时，$y_3=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$。
比较三个值：$2＞\frac{2}{3}＞-2$，因此$a+b+c$的最大值为2。
【答案】
(1) $a_1 ＞ a_2$
(2) $2$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的性质；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数系数与图像的关系，解题时需先排除共线的三点组合，再结合分类讨论思想分别计算不同情况的结果，其中理解$a+b+c$对应$x=1$时的函数值是解题的关键，能很好地考查学生对二次函数基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
10 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 与x轴交于A、B两点，顶点为C。当$△ ABC$为等腰直角三角形时，$b^2 - 4ac$的值为
4
；当$△ ABC$为等边三角形时，$b^2 - 4ac$的值为12
。答案
4，12 [提示:设二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图像与x轴的交点坐标分别为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$,此时$b^2-4ac＞0$。当y=0时,$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;所以$AB=|x_1-x_2|=\left|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$。顶点C的坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$,过点C作$CD ⊥ x$轴,垂足为点D,所以$CD=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$。① 当$△ABC$为等腰直角三角形时,所以$CD=\frac{1}{2}AB$,所以$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{1}{2} · \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,解得$b^2-4ac=4$;② 当$△ABC$为等边三角形时,所以$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$,所以$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{\sqrt{3}}{2} · \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,解得$b^2-4ac=12$。]
解析
【分析】
解题时可从几何与代数的结合点切入：① 先通过求根公式表示出抛物线与x轴两交点A、B的横坐标，作差取绝对值得到底边AB的长度；② 再求出抛物线顶点C到x轴的垂直距离，即△ABC底边AB上的高CD；由于抛物线具有轴对称性，AC=BC，△ABC本身为等腰三角形，只需分别根据等腰直角三角形、等边三角形的高与底边的特殊等量关系列方程，将$b^2-4ac$看作整体求解即可，注意抛物线与x轴有两个交点，因此$b^2-4ac＞0$，可舍去无效的0解。
【解析】
设抛物线与x轴交点为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，由题意得$b^2-4ac＞0$。
当$y=0$时，根据求根公式得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
则$AB=|x_1-x_2|=\left|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
抛物线顶点C的坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，过C作$CD⊥ x$轴于D，CD为△ABC底边AB上的高：
$CD=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$
① 当△ABC为等腰直角三角形时，斜边上的高等于斜边的一半，即$CD=\frac{1}{2}AB$：
$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
两边同乘$4|a|$得：$b^2-4ac=2\sqrt{b^2-4ac}$
令$t=\sqrt{b^2-4ac}(t＞0)$，则$t^2=2t$，解得$t=2$（$t=0$舍去），故$b^2-4ac=t^2=4$。
② 当△ABC为等边三角形时，高等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，即$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$：
$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
两边同乘$4|a|$得：$b^2-4ac=2\sqrt{3}×\sqrt{b^2-4ac}$
令$t=\sqrt{b^2-4ac}(t＞0)$，则$t^2=2\sqrt{3}t$，解得$t=2\sqrt{3}$（$t=0$舍去），故$b^2-4ac=t^2=12$。
【答案】
4；12
【知识点】
二次函数的图像性质，等腰直角三角形性质，等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型题型，核心是将几何图形的特殊性质转化为代数等量关系，求解时采用整体换元思路，无需单独计算a、b、c的取值即可快速得到结果，较好地考察了数形结合和整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时可从几何与代数的结合点切入：① 先通过求根公式表示出抛物线与x轴两交点A、B的横坐标，作差取绝对值得到底边AB的长度；② 再求出抛物线顶点C到x轴的垂直距离，即△ABC底边AB上的高CD；由于抛物线具有轴对称性，AC=BC，△ABC本身为等腰三角形，只需分别根据等腰直角三角形、等边三角形的高与底边的特殊等量关系列方程，将$b^2-4ac$看作整体求解即可，注意抛物线与x轴有两个交点，因此$b^2-4ac＞0$，可舍去无效的0解。
【解析】
设抛物线与x轴交点为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，由题意得$b^2-4ac＞0$。
当$y=0$时，根据求根公式得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
则$AB=|x_1-x_2|=\left|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
抛物线顶点C的坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，过C作$CD⊥ x$轴于D，CD为△ABC底边AB上的高：
$CD=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$
① 当△ABC为等腰直角三角形时，斜边上的高等于斜边的一半，即$CD=\frac{1}{2}AB$：
$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
两边同乘$4|a|$得：$b^2-4ac=2\sqrt{b^2-4ac}$
令$t=\sqrt{b^2-4ac}(t＞0)$，则$t^2=2t$，解得$t=2$（$t=0$舍去），故$b^2-4ac=t^2=4$。
② 当△ABC为等边三角形时，高等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，即$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$：
$\frac{b^2-4ac}{4|a|}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
两边同乘$4|a|$得：$b^2-4ac=2\sqrt{3}×\sqrt{b^2-4ac}$
令$t=\sqrt{b^2-4ac}(t＞0)$，则$t^2=2\sqrt{3}t$，解得$t=2\sqrt{3}$（$t=0$舍去），故$b^2-4ac=t^2=12$。
【答案】
4；12
【知识点】
二次函数的图像性质，等腰直角三角形性质，等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型题型，核心是将几何图形的特殊性质转化为代数等量关系，求解时采用整体换元思路，无需单独计算a、b、c的取值即可快速得到结果，较好地考察了数形结合和整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
11 已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，与 $x$ 轴的正半轴交于 $B$、$C$ 两点，且 $BC=2$，$S_{△ ABC}=3$，求抛物线的表达式。
答案
因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · OC$,$BC=2$,$S_{△ ABC}=3$,所以OC=3。因为B、C在x轴正半轴,且a=1,所以抛物线开口向上,点C在y轴正半轴上,所以点C坐标为(0,3)。设点B坐标为(m,0),因为BC=2(不妨设点C在点B的右侧),则点C坐标为(m+2,0),则可设抛物线表达式为y=(x-m)(x-m-2)。再将点C(0,3)代入,可得3=-m(-m-2),整理得$m^2+2m-3=0$,解得$m_1=-3$,$m_2=1$,已知B、C在x轴正半轴,所以m=1,所以抛物线表达式为$y=x^2-4x+3$。
解析
【分析】
解题时先从已知的△ABC面积和BC长度入手，△ABC的底为BC=2，高是抛物线与y轴交点A到x轴的距离，因此可以先求出点A的纵坐标，得到c的值；接下来因为已知抛物线与x轴两个交点的距离为2，且都在x轴正半轴，适合用交点式设抛物线的表达式，再将点A的坐标代入求解参数，最后根据交点在正半轴的条件筛选出符合要求的参数，展开即可得到抛物线的表达式。
【解析】
1. 求点A的坐标
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与y轴交于点A，
∴ A点坐标为$(0,c)$，△ABC中BC边上的高为$|c|$。
已知$BC=2$，$S_{△ ABC}=3$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×2×|c|=3$，解得$|c|=3$。
∵ 抛物线与x轴正半轴交于B、C两点，且二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴ 抛物线与y轴交于正半轴，即$c＞0$，得$c=3$，A点坐标为$(0,3)$。
2. 设交点式求解参数
设点B坐标为$(m,0)$，因B、C在x轴正半轴且$BC=2$，不妨设C在B右侧，则C点坐标为$(m+2,0)$。
根据抛物线与x轴的交点，可设交点式为$y=(x-m)(x-m-2)$。
3. 代入点A坐标求m
将A$(0,3)$代入交点式得：
$3=(0-m)(0-m-2)$，整理得$m^2+2m-3=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
∵ B、C在x轴正半轴，
∴ $m＞0$，舍去$m=-3$，取$m=1$。
4. 整理得抛物线表达式
将$m=1$代入交点式展开：$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
【答案】
$y=x^2-4x+3$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数图象与坐标轴交点；三角形面积公式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是先通过三角形面积确定抛物线与y轴的交点坐标，再结合x轴两交点的距离选用交点式简化计算，求解参数后注意结合题目给出的交点位置条件舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的△ABC面积和BC长度入手，△ABC的底为BC=2，高是抛物线与y轴交点A到x轴的距离，因此可以先求出点A的纵坐标，得到c的值；接下来因为已知抛物线与x轴两个交点的距离为2，且都在x轴正半轴，适合用交点式设抛物线的表达式，再将点A的坐标代入求解参数，最后根据交点在正半轴的条件筛选出符合要求的参数，展开即可得到抛物线的表达式。
【解析】
1. 求点A的坐标
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与y轴交于点A，
∴ A点坐标为$(0,c)$，△ABC中BC边上的高为$|c|$。
已知$BC=2$，$S_{△ ABC}=3$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×2×|c|=3$，解得$|c|=3$。
∵ 抛物线与x轴正半轴交于B、C两点，且二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴ 抛物线与y轴交于正半轴，即$c＞0$，得$c=3$，A点坐标为$(0,3)$。
2. 设交点式求解参数
设点B坐标为$(m,0)$，因B、C在x轴正半轴且$BC=2$，不妨设C在B右侧，则C点坐标为$(m+2,0)$。
根据抛物线与x轴的交点，可设交点式为$y=(x-m)(x-m-2)$。
3. 代入点A坐标求m
将A$(0,3)$代入交点式得：
$3=(0-m)(0-m-2)$，整理得$m^2+2m-3=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
∵ B、C在x轴正半轴，
∴ $m＞0$，舍去$m=-3$，取$m=1$。
4. 整理得抛物线表达式
将$m=1$代入交点式展开：$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
【答案】
$y=x^2-4x+3$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数图象与坐标轴交点；三角形面积公式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是先通过三角形面积确定抛物线与y轴的交点坐标，再结合x轴两交点的距离选用交点式简化计算，求解参数后注意结合题目给出的交点位置条件舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
12 已知直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，它与抛物线$y=ax^2$在第一象限内相交于点$P$，又知$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求$a$的值。
答案
设直线l表达式为y=kx+b(k≠0),把A(4,0)和B(0,4)两点代入,得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$所以直线l的表达式为y=-x+4。因为A(4,0),所以OA=4,$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{9}{2}$,所以$y_P=\frac{9}{4}$,代入y=-x+4,得$x_P=\frac{7}{4}$,所以点$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。把点$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$,得$a=\frac{36}{49}$。
解析
【分析】
要求a的值，需先得到抛物线$y=ax^2$上交点P的坐标，解题思路如下：第一步先利用A、B两点坐标求出直线l的解析式；第二步结合$△ AOP$的面积，利用三角形面积公式求出点P的纵坐标；第三步将P的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，得到P点完整坐标；最后把P点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 求直线$l$的表达式：
设直线$l$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入表达式得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，因此直线$l$的表达式为$y=-x+4$。
2. 求点$P$的纵坐标：
已知点$A(4,0)$，则$OA=4$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}· OA· y_P=\frac{9}{2}$
代入$OA=4$得：$\frac{1}{2}×4× y_P=\frac{9}{2}$，解得$y_P=\frac{9}{4}$。
3. 求点$P$的横坐标：
将$y_P=\frac{9}{4}$代入直线$y=-x+4$，得：
$\frac{9}{4}=-x+4$，解得$x_P=\frac{7}{4}$，即点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
4. 求$a$的值：
将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入抛物线$y=ax^2$得：
$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^2$
计算得$a=\frac{9}{4}×\frac{16}{49}=\frac{36}{49}$。
【答案】
$a=\frac{36}{49}$
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，待定系数法求二次函数参数
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是通过三角形面积确定两个函数交点的坐标，再利用待定系数法求解未知参数，熟练掌握坐标与线段长度的转换是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要求a的值，需先得到抛物线$y=ax^2$上交点P的坐标，解题思路如下：第一步先利用A、B两点坐标求出直线l的解析式；第二步结合$△ AOP$的面积，利用三角形面积公式求出点P的纵坐标；第三步将P的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，得到P点完整坐标；最后把P点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 求直线$l$的表达式：
设直线$l$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入表达式得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，因此直线$l$的表达式为$y=-x+4$。
2. 求点$P$的纵坐标：
已知点$A(4,0)$，则$OA=4$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}· OA· y_P=\frac{9}{2}$
代入$OA=4$得：$\frac{1}{2}×4× y_P=\frac{9}{2}$，解得$y_P=\frac{9}{4}$。
3. 求点$P$的横坐标：
将$y_P=\frac{9}{4}$代入直线$y=-x+4$，得：
$\frac{9}{4}=-x+4$，解得$x_P=\frac{7}{4}$，即点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
4. 求$a$的值：
将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入抛物线$y=ax^2$得：
$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^2$
计算得$a=\frac{9}{4}×\frac{16}{49}=\frac{36}{49}$。
【答案】
$a=\frac{36}{49}$
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，待定系数法求二次函数参数
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是通过三角形面积确定两个函数交点的坐标，再利用待定系数法求解未知参数，熟练掌握坐标与线段长度的转换是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
