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1 函数$y=-ax^2 +k$与$y=a(x +k)^2$在同一直角坐标系中的大致图像正确的是(
(A) (B) (C) (D)
C
)。(A) (B) (C) (D)
答案
C
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式的图像性质：对于$y=a(x-h)^2+m$，顶点坐标为$(h,m)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
先区分两个函数的顶点特征：$y=a(x+k)^2$的顶点坐标为$(-k,0)$，顶点在x轴上；$y=-ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，顶点在y轴上。
解题时逐个分析选项：先根据顶点在x轴上的抛物线的开口方向、顶点横坐标判断$a$、$k$的符号，再验证顶点在y轴上的抛物线的开口方向、顶点纵坐标是否和$a$、$k$的符号一致，一致即为正确选项。
【解析】
先明确两个函数的图像特征：
1. 函数$y=a(x+k)^2$：顶点坐标为$(-k,0)$，在x轴上，开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
2. 函数$y=-ax^2+k$：顶点坐标为$(0,k)$，在y轴上，开口方向由$-a$决定：$-a＞0$即$a＜0$时开口向上，$-a＜0$即$a＞0$时开口向下。
逐个验证选项：
选项A：顶点在x轴的抛物线开口向上，得$a＞0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y负半轴，得$k＜0$，参数矛盾，A错误。
选项B：顶点在x轴的抛物线开口向下，得$a＜0$；顶点在x正半轴，得$-k＞0$即$k＜0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y正半轴，得$k＞0$，参数矛盾，B错误。
选项C：顶点在x轴的抛物线开口向上，得$a＞0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。顶点在y轴的抛物线开口向下，符合$-a＜0$（对应$a＞0$）；顶点在y正半轴，符合$k＞0$，所有参数一致，C正确。
选项D：顶点在x轴的抛物线开口向下，得$a＜0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y负半轴，得$k＜0$，参数矛盾，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图像类的典型考题，解题核心是先根据顶点位置区分两个函数，再通过开口方向和顶点坐标判断参数符号是否一致，掌握顶点式的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式的图像性质：对于$y=a(x-h)^2+m$，顶点坐标为$(h,m)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
先区分两个函数的顶点特征：$y=a(x+k)^2$的顶点坐标为$(-k,0)$，顶点在x轴上；$y=-ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，顶点在y轴上。
解题时逐个分析选项：先根据顶点在x轴上的抛物线的开口方向、顶点横坐标判断$a$、$k$的符号，再验证顶点在y轴上的抛物线的开口方向、顶点纵坐标是否和$a$、$k$的符号一致，一致即为正确选项。
【解析】
先明确两个函数的图像特征：
1. 函数$y=a(x+k)^2$：顶点坐标为$(-k,0)$，在x轴上，开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
2. 函数$y=-ax^2+k$：顶点坐标为$(0,k)$，在y轴上，开口方向由$-a$决定：$-a＞0$即$a＜0$时开口向上，$-a＜0$即$a＞0$时开口向下。
逐个验证选项：
选项A：顶点在x轴的抛物线开口向上，得$a＞0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y负半轴，得$k＜0$，参数矛盾，A错误。
选项B：顶点在x轴的抛物线开口向下，得$a＜0$；顶点在x正半轴，得$-k＞0$即$k＜0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y正半轴，得$k＞0$，参数矛盾，B错误。
选项C：顶点在x轴的抛物线开口向上，得$a＞0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。顶点在y轴的抛物线开口向下，符合$-a＜0$（对应$a＞0$）；顶点在y正半轴，符合$k＞0$，所有参数一致，C正确。
选项D：顶点在x轴的抛物线开口向下，得$a＜0$；顶点在x负半轴，得$-k＜0$即$k＞0$。但顶点在y轴的抛物线顶点在y负半轴，得$k＜0$，参数矛盾，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图像类的典型考题，解题核心是先根据顶点位置区分两个函数，再通过开口方向和顶点坐标判断参数符号是否一致，掌握顶点式的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(\dfrac{1}{2},0)$，$B(5,0)$两点，则该二次函数的表达式为（
A.$y=a(x+\dfrac{1}{2})(x+5)$
B.$y=a(x-\dfrac{1}{2})(x-5)$
C.$y=a(2x-1)(x-5)$
D.$y=a(2x+1)(x+5)$
B
）。A.$y=a(x+\dfrac{1}{2})(x+5)$
B.$y=a(x-\dfrac{1}{2})(x-5)$
C.$y=a(2x-1)(x-5)$
D.$y=a(2x+1)(x+5)$
答案
B
解析
【分析】
本题已知二次函数与x轴的两个交点坐标，解题时优先采用二次函数的交点式求解。首先回忆交点式的结构：若二次函数与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则函数可表示为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a\ne0$，$a$为二次项系数）。接下来将两个交点的横坐标代入交点式，再和选项对比即可得出答案，注意要准确区分符号，且保证二次项系数和题干一致。
【解析】
根据二次函数交点式的定义：当二次函数图象与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$时，函数表达式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a\ne0$）。
已知题干中二次函数与x轴交点为$A(\frac{1}{2},0)$、$B(5,0)$，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=5$，代入交点式得：
$y=a(x-\frac{1}{2})(x-5)$，对应选项B。
对其他选项逐一排除：
A选项对应交点为$(-\frac{1}{2},0)$、$(-5,0)$，不符合题意；
C选项展开后二次项系数为$2a$，和题干中二次项系数$a$不一致，错误；
D选项对应交点为$(-\frac{1}{2},0)$、$(-5,0)$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点式；二次函数表达式的确定
【点评】
本题是二次函数表达式确定的基础题型，核心考查交点式的应用，解题时注意交点式中是“减去交点横坐标”，不要写错符号，同时要注意参数的一致性。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数与x轴的两个交点坐标，解题时优先采用二次函数的交点式求解。首先回忆交点式的结构：若二次函数与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则函数可表示为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a\ne0$，$a$为二次项系数）。接下来将两个交点的横坐标代入交点式，再和选项对比即可得出答案，注意要准确区分符号，且保证二次项系数和题干一致。
【解析】
根据二次函数交点式的定义：当二次函数图象与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$时，函数表达式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a\ne0$）。
已知题干中二次函数与x轴交点为$A(\frac{1}{2},0)$、$B(5,0)$，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=5$，代入交点式得：
$y=a(x-\frac{1}{2})(x-5)$，对应选项B。
对其他选项逐一排除：
A选项对应交点为$(-\frac{1}{2},0)$、$(-5,0)$，不符合题意；
C选项展开后二次项系数为$2a$，和题干中二次项系数$a$不一致，错误；
D选项对应交点为$(-\frac{1}{2},0)$、$(-5,0)$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点式；二次函数表达式的确定
【点评】
本题是二次函数表达式确定的基础题型，核心考查交点式的应用，解题时注意交点式中是“减去交点横坐标”，不要写错符号，同时要注意参数的一致性。
【难度系数】
0.8
3 如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直。若小正方形的边长为x，且0 ＜ x ≤ 10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是(
(A) (B) (C) (D)
D
)。(A) (B) (C) (D)
答案
D
解析
【分析】
解题时首先分析阴影部分的面积构成：四个小正方形的对称中心在大正方形顶点，且边与大正方形平行，因此每个顶点处的阴影面积为小正方形面积的1/4，四个阴影面积之和恰好等于1个小正方形的面积，据此可列出y与x的函数关系式；再结合函数类型、自变量取值范围及特殊点的函数值，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ 小正方形的对称中心在正方形ABCD的顶点上，且各边与正方形ABCD的边平行或垂直，
∴ 每个顶点处的阴影部分面积为小正方形面积的$\frac{1}{4}$，
小正方形的面积为$x^2$，则4个阴影部分的总面积$y=4×\frac{1}{4}x^2=x^2$，其中$0＜x≤10$。
该函数是开口向上的二次函数，自变量取值范围为$0＜x≤10$：
选项A的图像包含x负半轴部分，不符合x的取值范围，排除；
选项B是一次函数的直线图像，不符合二次函数的特征，排除；
选项C存在y值不变的阶段，不符合$y=x^2$随x增大而增大的性质，排除；
选项D是开口向上的抛物线的一部分，$x=10$时$y=100$，符合函数特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象；函数关系式的建立；正方形的面积计算
【点评】
本题将几何面积计算与函数图像识别结合考查，解题的核心是结合图形特点简化阴影面积的计算，快速得到函数解析式，再结合函数性质和自变量范围判断对应图像，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先分析阴影部分的面积构成：四个小正方形的对称中心在大正方形顶点，且边与大正方形平行，因此每个顶点处的阴影面积为小正方形面积的1/4，四个阴影面积之和恰好等于1个小正方形的面积，据此可列出y与x的函数关系式；再结合函数类型、自变量取值范围及特殊点的函数值，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ 小正方形的对称中心在正方形ABCD的顶点上，且各边与正方形ABCD的边平行或垂直，
∴ 每个顶点处的阴影部分面积为小正方形面积的$\frac{1}{4}$，
小正方形的面积为$x^2$，则4个阴影部分的总面积$y=4×\frac{1}{4}x^2=x^2$，其中$0＜x≤10$。
该函数是开口向上的二次函数，自变量取值范围为$0＜x≤10$：
选项A的图像包含x负半轴部分，不符合x的取值范围，排除；
选项B是一次函数的直线图像，不符合二次函数的特征，排除；
选项C存在y值不变的阶段，不符合$y=x^2$随x增大而增大的性质，排除；
选项D是开口向上的抛物线的一部分，$x=10$时$y=100$，符合函数特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象；函数关系式的建立；正方形的面积计算
【点评】
本题将几何面积计算与函数图像识别结合考查，解题的核心是结合图形特点简化阴影面积的计算，快速得到函数解析式，再结合函数性质和自变量范围判断对应图像，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
④二次函数的图像过点A(1，0)，B(-2，0)，C(0，2)，则函数表达式是
$y=-x^2 -x +2$
。答案
$y=-x^2 -x +2$
解析
【分析】
已知二次函数图象与x轴交于A(1,0)、B(-2,0)两个点，可优先选用交点式设函数解析式以减少计算量。解题思路为：第一步，设二次函数交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$、$x_2$为图象与x轴交点的横坐标；第二步，将第三个已知点C(0,2)代入所设解析式，求出待定系数$a$的值；第三步，把$a$代回解析式，整理为一般式即可得到结果。也可设一般式代入三个点坐标解三元一次方程组求解，不过交点式计算更简便。
【解析】
∵ 二次函数图象与x轴交于点$A(1,0)$、$B(-2,0)$
∴ 设二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=a(x-1)(x+2)}$（$a≠0$）
将点$C(0,2)$代入解析式，得：
$2=a(0-1)(0+2)$
计算得：$2=-2a$
解得：$a=-1$
将$a=-1$代入所设解析式并化简：
$y=-(x-1)(x+2)$
$y=-(x^2+x-2)$
$y=-x^2 -x +2$
【答案】
$y=-x^2 -x +2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时可根据已知点的特征选择合适的解析式形式，已知与x轴的两个交点时优先选用交点式可大幅降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
已知二次函数图象与x轴交于A(1,0)、B(-2,0)两个点，可优先选用交点式设函数解析式以减少计算量。解题思路为：第一步，设二次函数交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$、$x_2$为图象与x轴交点的横坐标；第二步，将第三个已知点C(0,2)代入所设解析式，求出待定系数$a$的值；第三步，把$a$代回解析式，整理为一般式即可得到结果。也可设一般式代入三个点坐标解三元一次方程组求解，不过交点式计算更简便。
【解析】
∵ 二次函数图象与x轴交于点$A(1,0)$、$B(-2,0)$
∴ 设二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=a(x-1)(x+2)}$（$a≠0$）
将点$C(0,2)$代入解析式，得：
$2=a(0-1)(0+2)$
计算得：$2=-2a$
解得：$a=-1$
将$a=-1$代入所设解析式并化简：
$y=-(x-1)(x+2)$
$y=-(x^2+x-2)$
$y=-x^2 -x +2$
【答案】
$y=-x^2 -x +2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时可根据已知点的特征选择合适的解析式形式，已知与x轴的两个交点时优先选用交点式可大幅降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
5 二次函数$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x - \dfrac{3}{2}$，则当$0≤ x≤ 3$时，$y$的取值范围是
$-2 ≤ y ≤ 0$
。答案
$-2 ≤ y ≤ 0$
解析
【分析】
要确定二次函数在给定区间$0≤x≤3$内的$y$取值范围，解题思路如下：第一步先明确二次函数的开口方向、对称轴位置，二次函数的最值通常出现在顶点或区间端点处；第二步先求出顶点处的函数值，再计算区间两个端点的函数值，最后比较几个值的大小即可确定最大值和最小值，得到取值范围。
【解析】
首先将二次函数$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x - \dfrac{3}{2}$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{2}(x^2 - 2x) - \dfrac{3}{2}\\&=\dfrac{1}{2}[(x-1)^2 -1] - \dfrac{3}{2}\\&=\dfrac{1}{2}(x-1)^2 - 2\end{aligned}$
由此可知：二次项系数$\dfrac{1}{2}＞0$，函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
因为$x=1$在区间$0≤x≤3$内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$。
接下来计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=\dfrac{1}{2}×0^2 -0 -\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$y=\dfrac{1}{2}×3^2 -3 -\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}-3-\dfrac{3}{2}=0$。
比较两个端点的函数值，$0＞-\dfrac{3}{2}$，所以当$x=3$时，$y$取得最大值$0$。
综上，当$0≤x≤3$时，$y$的取值范围是$-2≤y≤0$。
【答案】
$-2 ≤ y ≤ 0$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；配方法
【点评】
本题是二次函数区间取值范围的基础题型，解题核心是先通过配方或公式确定对称轴与顶点坐标，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数大小，即可快速得出结果，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数在给定区间$0≤x≤3$内的$y$取值范围，解题思路如下：第一步先明确二次函数的开口方向、对称轴位置，二次函数的最值通常出现在顶点或区间端点处；第二步先求出顶点处的函数值，再计算区间两个端点的函数值，最后比较几个值的大小即可确定最大值和最小值，得到取值范围。
【解析】
首先将二次函数$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x - \dfrac{3}{2}$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{2}(x^2 - 2x) - \dfrac{3}{2}\\&=\dfrac{1}{2}[(x-1)^2 -1] - \dfrac{3}{2}\\&=\dfrac{1}{2}(x-1)^2 - 2\end{aligned}$
由此可知：二次项系数$\dfrac{1}{2}＞0$，函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
因为$x=1$在区间$0≤x≤3$内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$。
接下来计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=\dfrac{1}{2}×0^2 -0 -\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$y=\dfrac{1}{2}×3^2 -3 -\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}-3-\dfrac{3}{2}=0$。
比较两个端点的函数值，$0＞-\dfrac{3}{2}$，所以当$x=3$时，$y$取得最大值$0$。
综上，当$0≤x≤3$时，$y$的取值范围是$-2≤y≤0$。
【答案】
$-2 ≤ y ≤ 0$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；配方法
【点评】
本题是二次函数区间取值范围的基础题型，解题核心是先通过配方或公式确定对称轴与顶点坐标，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数大小，即可快速得出结果，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
6 函数$y=\frac{1}{2}x^2 - x$的图像是$C_1$，函数$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$的图像是$C_2$，有下列说法：①$C_1$与$C_2$有相同的对称轴；②$C_1$与$C_2$有相同的顶点；③$C_1$与$C_2$关于$x$轴对称；④$C_1$与$C_2$关于$y$轴对称。其中正确的序号是
①③
。答案
①③
解析
【分析】
要判断四个说法的正误，可按以下思路逐步推导：第一步，用配方法将两个二次函数化为顶点式，直接得到各自的对称轴和顶点，就能判断①②是否正确；第二步，根据关于x轴、y轴对称的函数变换规律，分别验证两个函数是否满足对称关系，就能判断③④是否正确。
【解析】
首先将两个二次函数化为顶点式：
1. 对$C_1$：$y=\frac{1}{2}x^2 - x$
配方得：$y=\frac{1}{2}(x^2 - 2x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x +1 -1) = \frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2}$
因此$C_1$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -\frac{1}{2})$。
2. 对$C_2$：$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$
配方得：$y=-\frac{1}{2}(x^2 - 2x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x +1 -1) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$
因此$C_2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, \frac{1}{2})$。
接下来逐一判断说法：
① 两个函数对称轴都是直线$x=1$，故①正确；
② 两个顶点的纵坐标不同，顶点不相同，故②错误；
③ 若两个函数关于x轴对称，则将其中一个函数的y替换为-y，应得到另一个函数的解析式：将$C_1$的y替换为-y，得$-y=\frac{1}{2}x^2 - x$，整理得$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$，恰好是$C_2$的解析式，故$C_1$与$C_2$关于x轴对称，③正确；
④ 若两个函数关于y轴对称，则将其中一个函数的x替换为-x，应得到另一个函数的解析式：将$C_1$的x替换为-x，得$y=\frac{1}{2}(-x)^2 - (-x)=\frac{1}{2}x^2 + x$，不是$C_2$的解析式，故④错误。
综上，正确的序号是①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质，函数的轴对称变换，配方法化顶点式
【点评】
本题主要考查二次函数的基本性质与对称变换规律，解题核心是熟练掌握配方法的应用，以及关于坐标轴对称的函数解析式的变化特征，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断四个说法的正误，可按以下思路逐步推导：第一步，用配方法将两个二次函数化为顶点式，直接得到各自的对称轴和顶点，就能判断①②是否正确；第二步，根据关于x轴、y轴对称的函数变换规律，分别验证两个函数是否满足对称关系，就能判断③④是否正确。
【解析】
首先将两个二次函数化为顶点式：
1. 对$C_1$：$y=\frac{1}{2}x^2 - x$
配方得：$y=\frac{1}{2}(x^2 - 2x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x +1 -1) = \frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2}$
因此$C_1$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -\frac{1}{2})$。
2. 对$C_2$：$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$
配方得：$y=-\frac{1}{2}(x^2 - 2x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x +1 -1) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$
因此$C_2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, \frac{1}{2})$。
接下来逐一判断说法：
① 两个函数对称轴都是直线$x=1$，故①正确；
② 两个顶点的纵坐标不同，顶点不相同，故②错误；
③ 若两个函数关于x轴对称，则将其中一个函数的y替换为-y，应得到另一个函数的解析式：将$C_1$的y替换为-y，得$-y=\frac{1}{2}x^2 - x$，整理得$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$，恰好是$C_2$的解析式，故$C_1$与$C_2$关于x轴对称，③正确；
④ 若两个函数关于y轴对称，则将其中一个函数的x替换为-x，应得到另一个函数的解析式：将$C_1$的x替换为-x，得$y=\frac{1}{2}(-x)^2 - (-x)=\frac{1}{2}x^2 + x$，不是$C_2$的解析式，故④错误。
综上，正确的序号是①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质，函数的轴对称变换，配方法化顶点式
【点评】
本题主要考查二次函数的基本性质与对称变换规律，解题核心是熟练掌握配方法的应用，以及关于坐标轴对称的函数解析式的变化特征，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
7 已知抛物线$y_1=-\dfrac{1}{3}(x-h)^2 +k$的顶点在抛物线$y_2=x^2$上，且抛物线$y_1$在$x$轴上截得的线段长是$4\sqrt{3}$，那么$h$和$k$的值分别为
2、4或-2、4
。答案
2、4或-2、4
解析
【分析】
解题时先从已知的抛物线顶点式入手：第一，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，结合顶点在$y_2=x^2$上，可直接得到$k$与$h$的第一个等量关系；第二，抛物线在x轴截得的线段长，就是$y_1=0$时两个根的差的绝对值，令$y_1=0$解方程求出两个根，根据线段长列等式即可求出$k$，最后代入第一个等量关系求出$h$即可。
【解析】
1. 求$h$与$k$的第一个关系：
抛物线$y_1=-\dfrac{1}{3}(x-h)^2 +k$的顶点坐标为$(h,k)$，
∵顶点在$y_2=x^2$上，将$(h,k)$代入$y_2=x^2$得：$k=h^2$。
2. 结合截线段长求$k$：
令$y_1=0$，得：$-\dfrac{1}{3}(x-h)^2 +k = 0$，
整理得：$(x-h)^2=3k$，开方得两根：$x_1=h+\sqrt{3k}$，$x_2=h-\sqrt{3k}$，
则x轴截得的线段长为$|x_1-x_2|=2\sqrt{3k}$，
由题意得$2\sqrt{3k}=4\sqrt{3}$，两边平方得$3k=12$，解得$k=4$。
3. 求$h$：
将$k=4$代入$k=h^2$，得$h^2=4$，解得$h=2$或$h=-2$。
【答案】
2、4或-2、4
【知识点】
二次函数顶点式性质；抛物线与x轴交点计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标规律，以及抛物线与x轴交点距离的计算方法，理清已知条件对应的等量关系即可顺利求解，是二次函数板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的抛物线顶点式入手：第一，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，结合顶点在$y_2=x^2$上，可直接得到$k$与$h$的第一个等量关系；第二，抛物线在x轴截得的线段长，就是$y_1=0$时两个根的差的绝对值，令$y_1=0$解方程求出两个根，根据线段长列等式即可求出$k$，最后代入第一个等量关系求出$h$即可。
【解析】
1. 求$h$与$k$的第一个关系：
抛物线$y_1=-\dfrac{1}{3}(x-h)^2 +k$的顶点坐标为$(h,k)$，
∵顶点在$y_2=x^2$上，将$(h,k)$代入$y_2=x^2$得：$k=h^2$。
2. 结合截线段长求$k$：
令$y_1=0$，得：$-\dfrac{1}{3}(x-h)^2 +k = 0$，
整理得：$(x-h)^2=3k$，开方得两根：$x_1=h+\sqrt{3k}$，$x_2=h-\sqrt{3k}$，
则x轴截得的线段长为$|x_1-x_2|=2\sqrt{3k}$，
由题意得$2\sqrt{3k}=4\sqrt{3}$，两边平方得$3k=12$，解得$k=4$。
3. 求$h$：
将$k=4$代入$k=h^2$，得$h^2=4$，解得$h=2$或$h=-2$。
【答案】
2、4或-2、4
【知识点】
二次函数顶点式性质；抛物线与x轴交点计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标规律，以及抛物线与x轴交点距离的计算方法，理清已知条件对应的等量关系即可顺利求解，是二次函数板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
