12 已知抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2(a≠0)$与x轴交于点$A(x_1,0)$和$B(x_2,0)(x_1≠x_2)$。
(1) 求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧。
(2) 若抛物线与y轴交于点C，且$OA+OB=OC-2$，求a的值。

12.(1) 因为$x_1≠x_2$，所以二次函数对应的一元二次方程$x^2+(1-2a)x+a^2=0$有两个不相等的实数根，分别为$x_1$、$x_2$。因为$\Delta=b^2-4ac=(1-2a)^2-4a^2=1-4a$，所以$1-4a＞0$，所以$a＜\dfrac{1}{4}$且$a≠0$。因为$a≠0$，由韦达定理得$x_1+x_2=2a-1$，$x_1· x_2=a^2＞0$，所以$x_1$、$x_2$同号。因为$a＜\dfrac{1}{4}$，所以$2a＜\dfrac{1}{2}$，所以$2a-1＜-\dfrac{1}{2}$，所以$x_1+x_2＜0$，所以$x_1$、$x_2$同为负数，所以A、B两点都在原点O的左侧。
(2) 当$x=0$时，$y=a^2$，所以$OC=a^2$。因为A、B在原点左侧，所以$OA+OB=|x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)$。由(1)知$x_1+x_2=2a-1$，所以$OA+OB=1-2a$。因为$OA+OB=OC-2$，所以$1-2a=a^2-2$，解得$a_1=-3$，$a_2=1$。因为$a＜\dfrac{1}{4}$，所以$a=-3$。

【分析】
(1) 解题第一步先明确抛物线与x轴有两个不同交点的本质是对应一元二次方程有两个不等实根，因此先通过判别式Δ＞0求出a的初步范围，再结合题目给出的a≠0确定最终取值范围。要证明A、B都在原点左侧，即证明两个根都是负数，根据韦达定理的性质，两根同号需要乘积大于0，两根均为负数还需要和小于0，因此计算两根之和、两根之积，结合a的范围判断符号即可完成证明。
(2) 先求抛物线与y轴交点C的坐标得到OC的长度，由于A、B在原点左侧，OA、OB的长度对应两根的相反数，因此OA+OB可转化为两根之和的相反数，将相关表达式代入已知等式OA+OB=OC-2，得到关于a的一元二次方程，求解后结合第一问的a的取值范围舍去不符合的解，即可得到最终a的值。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$与x轴交于两个不同点$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$
∴对应一元二次方程$x^2+(1-2a)x+a^2=0$有两个不相等的实数根
∴$\Delta = b^2-4ac = (1-2a)^2 - 4×1× a^2 = 1 - 4a ＞ 0$
解得$a ＜ \dfrac{1}{4}$
又
∵题目给出$a≠0$
∴a的取值范围是$a ＜ \dfrac{1}{4}$且$a≠0$
证明：由韦达定理得，$x_1+x_2 = -(1-2a) = 2a - 1$，$x_1·x_2 = a^2$
∵$a≠0$，
∴$x_1·x_2 = a^2 ＞ 0$，即$x_1$、$x_2$同号
又
∵$a ＜ \dfrac{1}{4}$，
∴$2a ＜ \dfrac{1}{2}$，
∴$x_1+x_2 = 2a - 1 ＜ \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2} ＜ 0$
∴$x_1$、$x_2$均为负数，即A、B两点都在原点O的左侧。
(2) 解：当$x=0$时，代入抛物线解析式得$y=a^2$，
∴点C坐标为$(0,a^2)$，$OC = a^2$
∵A、B在原点左侧，
∴$OA = |x_1| = -x_1$，$OB = |x_2| = -x_2$
∴$OA + OB = -x_1 -x_2 = -(x_1+x_2)$
由(1)知$x_1+x_2=2a-1$，
∴$OA+OB = -(2a-1) = 1 - 2a$
根据题意$OA+OB=OC-2$，代入得：
$1 - 2a = a^2 - 2$
整理得$a^2 + 2a - 3 = 0$
解得$a_1 = -3$，$a_2 = 1$
由(1)知$a ＜ \dfrac{1}{4}$且$a≠0$，故$a=1$不符合要求，舍去
∴$a = -3$
【答案】
(1) $a$的取值范围是$a＜\dfrac{1}{4}$且$a≠0$，A、B两点都在原点左侧证明成立；(2) $a=-3$
【知识点】
1. 二次函数根的判别式 2. 韦达定理 3. 二次函数的坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型常考题，解题核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的转化关系，需注意求解参数后要结合已知的参数取值范围验证，舍去不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

13 已知二次函数 $ y = x^2 - (m^2 + 8)x + 2(m^2 + 6) $，设抛物线顶点坐标为A。
（1）求证：不论m取什么值，抛物线与x轴总有两个交点。
（2）设抛物线与x轴交于B、C两点，是否存在实数m，使得△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

13.(1) 二次函数对应的一元二次方程为$x^2-(m^2+8)x+2(m^2+6)=0$，因式分解可得$(x-2)(x-m^2-6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=m^2+6$，因为$x_1=2$，$x_2=m^2+6≥6$，所以$x_1≠x_2$，所以抛物线与x轴的交点为$(2,0)$和$(m^2+6,0)$，所以不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点。
(2) 不存在。理由如下:抛物线与x轴交于B、C两点，不妨设$B(2,0)$，$C(m^2+6,0)$，$t=m^2+6≥6$，则$C(t,0)$，设抛物线的表达式为$y=(x-2)(x-t)$。过点A作$AD⊥x$轴，垂足为点D。因为A为顶点，所以$AB=AC$。因为$△ABC$为等腰直角三角形，所以$∠BAC=90°$，所以$DB=DA=DC=\dfrac{1}{2}BC$，所以$DA=\dfrac{t-2}{2}$，所以点A坐标为$(\dfrac{t+2}{2}, -\dfrac{t-2}{2})$，代入表达式$y=(x-2)(x-t)$，可得$-\dfrac{t-2}{2} = (\dfrac{t+2}{2} - 2)(\dfrac{t+2}{2} - t)$，整理得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$。因为$t≥6$，所以不存在符合题意的t值，所以也不存在符合题意的m值。

【分析】
（1）要证明抛物线与x轴总有两个交点，可转化为证明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，本题可直接通过因式分解求出方程的两个根，判断两根恒不相等即可完成证明。
（2）由抛物线的对称性可知顶点A在BC的垂直平分线上，故AB=AC，若△ABC为等腰直角三角形，则直角顶点为A，此时顶点A到x轴的距离等于BC长度的一半，据此列方程求解，再结合t=m²+6的取值范围判断解是否符合要求即可。
【解析】
（1）二次函数$y = x^2 - (m^2 + 8)x + 2(m^2 + 6)$对应的一元二次方程为：
$x^2-(m^2+8)x+2(m^2+6)=0$
因式分解得：$(x-2)(x-m^2-6)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=m^2+6$
$\because m^2≥0$，$\therefore x_2=m^2+6≥6$，显然$x_1≠ x_2$，即抛物线与x轴恒有两个不同交点$(2,0)$和$(m^2+6,0)$，故不论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点。
（2）不存在，理由如下：
设$B(2,0)$，$C(m^2+6,0)$，令$t=m^2+6$，则$t≥6$，$C(t,0)$，抛物线解析式可写为$y=(x-2)(x-t)$。
过顶点A作$AD⊥ x$轴，垂足为D。
$\because$A是抛物线顶点，对称轴垂直平分BC，$\therefore AB=AC$。
若$△ ABC$为等腰直角三角形，则$∠ BAC=90°$，AD为斜边BC上的高，故$DA=\frac{1}{2}BC$。
$BC=t-2$，$\therefore DA=\frac{t-2}{2}$，顶点A在x轴下方，故A的坐标为$(\frac{t+2}{2}, -\frac{t-2}{2})$。
将A点坐标代入$y=(x-2)(x-t)$得：
$-\frac{t-2}{2} = (\frac{t+2}{2} - 2)(\frac{t+2}{2} - t)$
整理得：$(t-2)(t-4)=0$
解得$t_1=2$，$t_2=4$，均不符合$t≥6$的要求，因此不存在符合题意的t值，即不存在符合条件的实数m。
【答案】
(1) 不论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点，证明成立；
(2) 不存在符合条件的实数m。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，抛物线的对称性，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查函数与方程的转化思想、几何性质在函数问题中的应用，解题关键是利用抛物线对称性和等腰直角三角形的性质建立等量关系，求解后要注意验证参数的隐含取值范围。
【难度系数】
0.6