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⑧ △ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(a，4)。将△ABC进行平移，平移后的△ABC的三个顶点都在抛物线$y=x^2$上，则a的值是
0或4
。答案
0或4 [提示:因为AB=2,且AB // x轴,所以A、B平移后的两点关于y轴对称且距离等于2,所以平移后的两点为(-1,1)和(1,1),所以△ABC向左平移了2个单位。当y=4时,代入$y=x^2$,解得$x_1=2$,$x_2=-2$,所以可得a=0或4。]
解析
【分析】
解题时先从已知的A、B两点坐标入手，先明确AB的位置和长度特征：AB平行于x轴，长度为2，两点纵坐标均为1。平移不改变图形的形状、大小和方向，因此平移后A、B的对应点纵坐标仍为1，两点距离仍为2，且都在抛物线$y=x^2$上。结合抛物线$y=x^2$关于y轴对称的性质，纵坐标相等的两个点横坐标互为相反数，可先求出平移后A、B对应点的坐标，得到平移规律，再将平移后C的对应点代入抛物线解析式，即可求出a的值。
【解析】
1. 分析AB的特征：
已知A(1,1)，B(3,1)，可得AB//x轴，AB的长度为$3-1=2$，A、B两点纵坐标均为1。
2. 求平移后$A'$、$B'$的坐标：
平移前后图形的形状、大小不变，因此平移后A、B的对应点$A'$、$B'$的纵坐标仍为1，且$A'B'=2$。
将$y=1$代入抛物线解析式$y=x^2$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$，因此$A'$、$B'$的坐标为$(-1,1)$和$(1,1)$。
3. 确定平移规律：
对比原坐标和平移后坐标，可知平移规律为：所有点的横坐标减2，纵坐标不变，即图形整体向左平移2个单位。
4. 计算a的值：
点$C(a,4)$平移后的坐标为$(a-2, 4)$，该点在抛物线$y=x^2$上，将$y=4$代入解析式得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因此有$a-2=2$或$a-2=-2$，解得$a=4$或$a=0$。
【答案】
0或4
【知识点】
平移的性质，二次函数图象性质，抛物线的对称性
【点评】
本题将平移变换和二次函数的图象性质结合考查，解题的突破口是抓住平移前后A、B两点纵坐标不变的特点，结合抛物线的对称性快速确定平移规律，进而求解未知参数，解题时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的A、B两点坐标入手，先明确AB的位置和长度特征：AB平行于x轴，长度为2，两点纵坐标均为1。平移不改变图形的形状、大小和方向，因此平移后A、B的对应点纵坐标仍为1，两点距离仍为2，且都在抛物线$y=x^2$上。结合抛物线$y=x^2$关于y轴对称的性质，纵坐标相等的两个点横坐标互为相反数，可先求出平移后A、B对应点的坐标，得到平移规律，再将平移后C的对应点代入抛物线解析式，即可求出a的值。
【解析】
1. 分析AB的特征：
已知A(1,1)，B(3,1)，可得AB//x轴，AB的长度为$3-1=2$，A、B两点纵坐标均为1。
2. 求平移后$A'$、$B'$的坐标：
平移前后图形的形状、大小不变，因此平移后A、B的对应点$A'$、$B'$的纵坐标仍为1，且$A'B'=2$。
将$y=1$代入抛物线解析式$y=x^2$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$，因此$A'$、$B'$的坐标为$(-1,1)$和$(1,1)$。
3. 确定平移规律：
对比原坐标和平移后坐标，可知平移规律为：所有点的横坐标减2，纵坐标不变，即图形整体向左平移2个单位。
4. 计算a的值：
点$C(a,4)$平移后的坐标为$(a-2, 4)$，该点在抛物线$y=x^2$上，将$y=4$代入解析式得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因此有$a-2=2$或$a-2=-2$，解得$a=4$或$a=0$。
【答案】
0或4
【知识点】
平移的性质，二次函数图象性质，抛物线的对称性
【点评】
本题将平移变换和二次函数的图象性质结合考查，解题的突破口是抓住平移前后A、B两点纵坐标不变的特点，结合抛物线的对称性快速确定平移规律，进而求解未知参数，解题时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
9 如图是一个运动员投掷铅球的抛物线图，表达式为 $y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$（单位：米），其中A点为出手点，C点为铅球运行中的最高点，B点为铅球落地点，求：
（1）出手点A离地面的高度。
（2）最高点C离地面的高度。
（3）该运动员的成绩。
（1）出手点A离地面的高度。
（2）最高点C离地面的高度。
（3）该运动员的成绩。
答案
(1) 当$x=0$时,$y=\dfrac{5}{3}$,所以出手点A离地面的高度为$\dfrac{5}{3}$米。
(2) 配方后得,$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$,所以最高点C离地面的高度为3米。
(3) 当$y=0$时,$-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=10$,所以该运动员的成绩是10米。
(2) 配方后得,$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$,所以最高点C离地面的高度为3米。
(3) 当$y=0$时,$-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=10$,所以该运动员的成绩是10米。
解析
【分析】
解题时需将实际问题与二次函数的性质对应起来：
(1) 出手点A是抛物线与y轴的交点，对应自变量x=0，将x=0代入函数表达式计算y值，即可得到A点离地面的高度；
(2) 最高点C是抛物线的顶点，求顶点的纵坐标即可得到最高点高度，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标；
(3) 运动员的成绩是铅球落地点B的横坐标，即抛物线与x轴正半轴的交点，对应函数值y=0，代入求解x的正根，舍去不符合实际意义的负根即可得到成绩。
【解析】
(1) 出手点A在y轴上，此时$x=0$，将$x=0$代入$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$，得：
$y=-\dfrac{1}{12}×0+\dfrac{2}{3}×0+\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}$
因此出手点A离地面的高度为$\dfrac{5}{3}$米。
(2) 将函数表达式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x^2-8x)+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3\end{aligned}$
抛物线顶点的纵坐标为3，因此最高点C离地面的高度为3米。
(3) 铅球落地时$y=0$，将$y=0$代入顶点式得：
$-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3=0$
整理得$(x-4)^2=36$，开方得$x-4=\pm6$，
解得$x_1=-2$，$x_2=10$。
由于距离不能为负，舍去$x_1=-2$，因此该运动员的成绩是10米。
【答案】
(1) $\dfrac{5}{3}$米；(2) 3米；(3) 10米
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的顶点式、二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，核心是找准实际位置与二次函数图像特殊点的对应关系，解题时注意结合实际意义舍去不符合要求的解，整体考查内容基础，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时需将实际问题与二次函数的性质对应起来：
(1) 出手点A是抛物线与y轴的交点，对应自变量x=0，将x=0代入函数表达式计算y值，即可得到A点离地面的高度；
(2) 最高点C是抛物线的顶点，求顶点的纵坐标即可得到最高点高度，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标；
(3) 运动员的成绩是铅球落地点B的横坐标，即抛物线与x轴正半轴的交点，对应函数值y=0，代入求解x的正根，舍去不符合实际意义的负根即可得到成绩。
【解析】
(1) 出手点A在y轴上，此时$x=0$，将$x=0$代入$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$，得：
$y=-\dfrac{1}{12}×0+\dfrac{2}{3}×0+\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}$
因此出手点A离地面的高度为$\dfrac{5}{3}$米。
(2) 将函数表达式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x^2-8x)+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{3}\\&=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3\end{aligned}$
抛物线顶点的纵坐标为3，因此最高点C离地面的高度为3米。
(3) 铅球落地时$y=0$，将$y=0$代入顶点式得：
$-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3=0$
整理得$(x-4)^2=36$，开方得$x-4=\pm6$，
解得$x_1=-2$，$x_2=10$。
由于距离不能为负，舍去$x_1=-2$，因此该运动员的成绩是10米。
【答案】
(1) $\dfrac{5}{3}$米；(2) 3米；(3) 10米
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的顶点式、二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，核心是找准实际位置与二次函数图像特殊点的对应关系，解题时注意结合实际意义舍去不符合要求的解，整体考查内容基础，计算难度低。
【难度系数】
0.8
10 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围。
（2）写出该抛物线顶点坐标，并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
（1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围。
（2）写出该抛物线顶点坐标，并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
答案
(1) 若销售单价为x元,则每千克降低(70-x)元,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元。所以$y=(x-30)[60+2(70-x)]-500$,整理可得$y=-2x^2+260x-6500(30 ≤ x ≤ 70)$。
(2) 配方可得$y=-2(x-65)^2+1950$。当x=65时,y取得最大值,所以单价定为65元时,日均获利最多,最多为1950元。
(2) 配方可得$y=-2(x-65)^2+1950$。当x=65时,y取得最大值,所以单价定为65元时,日均获利最多,最多为1950元。
解析
【分析】
（1）求解日均获利y与单价x的函数关系，首先要明确“日均获利=每千克利润×日均销售量-每日固定支出”的等量关系：首先确定每千克利润为售价x减去进价30元；再根据单价与销量的变化规律，单价从70元降到x元共降低$(70-x)$元，每降1元多售2kg，因此日均销量为基础销量60kg加上多售出的$2(70-x)$kg；最后减去每日固定支出500元即可列出函数式，同时结合题目给定的售价限制写出x的取值范围。
（2）求日均获利的最大值本质是求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到顶点坐标，同时验证顶点横坐标是否在x的取值范围内，若在则对应的值就是最大值。
【解析】
（1）若销售单价为x元，则每千克利润为$(x-30)$元，单价比70元降低了$(70-x)$元，因此日均销售量为$[60+2(70-x)]$千克。
根据日均获利的计算方法列函数式：
$y=(x-30)[60+2(70-x)]-500$
展开整理得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(200-2x)-500\\&=-2x^2+260x-6000-500\\&=-2x^2+260x-6500\end{aligned}$
结合物价部门的售价规定，x的取值范围为$30≤ x≤70$。
（2）对函数$y=-2x^2+260x-6500$进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-130x)-6500\\&=-2(x^2-130x+65^2-65^2)-6500\\&=-2(x-65)^2+2×4225-6500\\&=-2(x-65)^2+1950\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(65,1950)$，由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=65$在$30≤ x≤70$的范围内，因此当$x=65$时，y取得最大值1950元。
【答案】
(1) $y=-2x^2+260x-6500(30≤ x≤70)$
(2) 顶点坐标为$(65,1950)$，单价定为65元时日均获利最多，最多为1950元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的典型二次函数应用题，解题核心是理清利润、销量、成本之间的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际限制，避免求出的最值无实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）求解日均获利y与单价x的函数关系，首先要明确“日均获利=每千克利润×日均销售量-每日固定支出”的等量关系：首先确定每千克利润为售价x减去进价30元；再根据单价与销量的变化规律，单价从70元降到x元共降低$(70-x)$元，每降1元多售2kg，因此日均销量为基础销量60kg加上多售出的$2(70-x)$kg；最后减去每日固定支出500元即可列出函数式，同时结合题目给定的售价限制写出x的取值范围。
（2）求日均获利的最大值本质是求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到顶点坐标，同时验证顶点横坐标是否在x的取值范围内，若在则对应的值就是最大值。
【解析】
（1）若销售单价为x元，则每千克利润为$(x-30)$元，单价比70元降低了$(70-x)$元，因此日均销售量为$[60+2(70-x)]$千克。
根据日均获利的计算方法列函数式：
$y=(x-30)[60+2(70-x)]-500$
展开整理得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(200-2x)-500\\&=-2x^2+260x-6000-500\\&=-2x^2+260x-6500\end{aligned}$
结合物价部门的售价规定，x的取值范围为$30≤ x≤70$。
（2）对函数$y=-2x^2+260x-6500$进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-130x)-6500\\&=-2(x^2-130x+65^2-65^2)-6500\\&=-2(x-65)^2+2×4225-6500\\&=-2(x-65)^2+1950\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(65,1950)$，由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=65$在$30≤ x≤70$的范围内，因此当$x=65$时，y取得最大值1950元。
【答案】
(1) $y=-2x^2+260x-6500(30≤ x≤70)$
(2) 顶点坐标为$(65,1950)$，单价定为65元时日均获利最多，最多为1950元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的典型二次函数应用题，解题核心是理清利润、销量、成本之间的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际限制，避免求出的最值无实际意义。
【难度系数】
0.7
