登录
11 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于BA=x的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系。
（1）求抛物线的表达式。
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，且道路中心线平分两边道路，那么（2）中这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
（1）求抛物线的表达式。
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，且道路中心线平分两边道路，那么（2）中这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
答案
(1) 由题意得,点P为抛物线的顶点,坐标为P(4,6)。设抛物线表达式为$y=a(x-4)^2+6$,代入点A(0,2),得$a=-\dfrac{1}{4}$。所以$y=-\dfrac{1}{4}(x-4)^2+6$。
(2) 由题意得抛物线的对称轴为直线x=4,将x=4-1=3代入,得y=5.75,而车的高度为4米,该货车能从该隧道通过。
(3) 把x=4-2=2代入,得y=5,而车的高度为4 m,该货车能从该隧道通过。
(2) 由题意得抛物线的对称轴为直线x=4,将x=4-1=3代入,得y=5.75,而车的高度为4米,该货车能从该隧道通过。
(3) 把x=4-2=2代入,得y=5,而车的高度为4 m,该货车能从该隧道通过。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，首先根据题目给出的隧道结构确定抛物线的顶点坐标和经过的点，用顶点式求抛物线表达式；再根据货车的宽度和行驶位置，代入抛物线表达式计算对应位置的隧道高度，与货车高度比较判断能否通过。
【解析】
（1）求抛物线的表达式：
由题意，长方形长为8m，宽为2m，因此点A坐标为$(0,2)$；最高点P是BA的中点，距地面6m，故顶点P的坐标为$(4,6)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点$(h,k)=(4,6)$，即$y=a(x-4)^2+6$。
将点$A(0,2)$代入表达式：
$2=a(0-4)^2+6$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$。
（2）判断单行道时货车能否通过：
货车宽2m，单行道时沿隧道对称轴（直线$x=4$）居中行驶，对应x值为$4-1=3$。
将$x=3$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{4}(3-4)^2+6=5.75$。
因为$5.75＞4$，所以该货车能从隧道通过。
（3）判断双行道时货车能否通过：
双行道时道路中心线平分两边，货车宽2m，对应x值为$4-2=2$。
将$x=2$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{4}(2-4)^2+6=5$。
因为$5＞4$，所以该货车能顺利通过。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{4}(x-4)^2+6$；（2）能通过，理由见解析；（3）能通过，理由见解析。
【知识点】
二次函数应用；抛物线顶点式；二次函数求值
【点评】
本题结合隧道通行的实际问题，考查二次函数的表达式求解及实际应用，核心是利用抛物线的顶点式确定表达式，再代入对应x值计算高度并比较，属于基础的二次函数应用题型。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际问题中的应用，首先根据题目给出的隧道结构确定抛物线的顶点坐标和经过的点，用顶点式求抛物线表达式；再根据货车的宽度和行驶位置，代入抛物线表达式计算对应位置的隧道高度，与货车高度比较判断能否通过。
【解析】
（1）求抛物线的表达式：
由题意，长方形长为8m，宽为2m，因此点A坐标为$(0,2)$；最高点P是BA的中点，距地面6m，故顶点P的坐标为$(4,6)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点$(h,k)=(4,6)$，即$y=a(x-4)^2+6$。
将点$A(0,2)$代入表达式：
$2=a(0-4)^2+6$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$。
（2）判断单行道时货车能否通过：
货车宽2m，单行道时沿隧道对称轴（直线$x=4$）居中行驶，对应x值为$4-1=3$。
将$x=3$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{4}(3-4)^2+6=5.75$。
因为$5.75＞4$，所以该货车能从隧道通过。
（3）判断双行道时货车能否通过：
双行道时道路中心线平分两边，货车宽2m，对应x值为$4-2=2$。
将$x=2$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{4}(2-4)^2+6=5$。
因为$5＞4$，所以该货车能顺利通过。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{4}(x-4)^2+6$；（2）能通过，理由见解析；（3）能通过，理由见解析。
【知识点】
二次函数应用；抛物线顶点式；二次函数求值
【点评】
本题结合隧道通行的实际问题，考查二次函数的表达式求解及实际应用，核心是利用抛物线的顶点式确定表达式，再代入对应x值计算高度并比较，属于基础的二次函数应用题型。
【难度系数】
0.6
12 如图某跳水运动员进行10 m跳台训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是坐标系中经过原点O的一条抛物线（图中所标出的数为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处点A距水面$10\frac{2}{3}$m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的表达式。
（2）在某次试跳中，测得运动员路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为$3\frac{3}{5}$m，问：这次跳水会不会失误？通过计算说明理由。
（1）求这条抛物线的表达式。
（2）在某次试跳中，测得运动员路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为$3\frac{3}{5}$m，问：这次跳水会不会失误？通过计算说明理由。
答案
(1) 设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a ≠ 0)$,由题意得点B的坐标为(2,-10)。因为抛物线开口向下,所以a＜0。因为对称轴在y轴右侧,所以b＞0。因为点A为抛物线的最高点,即点A为抛物线的顶点,且纵坐标为$\dfrac{2}{3}$,又因为抛物线经过原点,所以
$\begin{cases}4a+2b=-10,\\\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{2}{3},\\c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{25}{6},\\b=\dfrac{10}{3},\\c=0,\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2},\\b=-2(舍),\\c=0,\end{cases}$ 所以表达式为$y=-\dfrac{25}{6}x^2+\dfrac{10}{3}x$。
(2) 这次跳水会出现失误。理由如下:当$x=3\dfrac{3}{5}-2=\dfrac{8}{5}$时,$y=-\dfrac{16}{3}$,此时距水面高度为$10-\dfrac{16}{3}=\dfrac{14}{3}＜5\ \mathrm{m}$。所以这次跳水会出现失误。
$\begin{cases}4a+2b=-10,\\\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{2}{3},\\c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{25}{6},\\b=\dfrac{10}{3},\\c=0,\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2},\\b=-2(舍),\\c=0,\end{cases}$ 所以表达式为$y=-\dfrac{25}{6}x^2+\dfrac{10}{3}x$。
(2) 这次跳水会出现失误。理由如下:当$x=3\dfrac{3}{5}-2=\dfrac{8}{5}$时,$y=-\dfrac{16}{3}$,此时距水面高度为$10-\dfrac{16}{3}=\dfrac{14}{3}＜5\ \mathrm{m}$。所以这次跳水会出现失误。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需结合图形确定抛物线经过的关键点坐标：原点O是起跳点，坐标为(0,0)；水面比O点低10m，入水处B的纵坐标为-10，结合“入水处距池边4m”及图形关系，得B点坐标为(2,-10)；最高处A是抛物线顶点，其纵坐标为最高处距水面的高度减去10m，即$\frac{2}{3}$。接着设抛物线一般式，代入已知点和顶点纵坐标条件，解方程组得到解析式；第二问中，先根据“距池边水平距离”算出对应x值，代入解析式求此时y值，再计算距水面高度，判断是否小于5m，确定是否失误。
【解析】
（1）设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
由题意：
① 抛物线过原点O(0,0)，故$c=0$；
② 入水处B(2,-10)，代入得$4a+2b=-10$；
③ 顶点纵坐标为$\frac{2}{3}$，由顶点公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$c=0$得$\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}$。
联立方程组：
$\begin{cases}4a+2b=-10\\\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}\\c=0\end{cases}$
化简第一个方程得$b=-5-2a$，代入第二个方程：
$\frac{-(-5-2a)^2}{4a}=\frac{2}{3}$，整理得$12a^2+68a+75=0$，解得$a=-\frac{25}{6}$（舍去$a=-\frac{3}{2}$，因对称轴在y轴左侧不符合题意），对应$b=\frac{10}{3}$。
故抛物线表达式为$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$。
（2）判断是否失误：
运动员调整姿势时距池边水平距离为$3\frac{3}{5}m$，对应x值为$3\frac{3}{5}-2=\frac{8}{5}$。
代入抛物线表达式：
$y=-\frac{25}{6}×(\frac{8}{5})^2+\frac{10}{3}×\frac{8}{5}=-\frac{16}{3}$，
距水面高度为$10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}＜5m$，故会失误。
【答案】
（1）$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$；（2）这次跳水会失误。
【知识点】
二次函数的应用、抛物线的顶点性质、坐标与图形
【点评】
本题结合实际跳水场景，考查二次函数解析式求解及实际应用，关键是确定关键点坐标，利用二次函数性质解决问题，需注意舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需结合图形确定抛物线经过的关键点坐标：原点O是起跳点，坐标为(0,0)；水面比O点低10m，入水处B的纵坐标为-10，结合“入水处距池边4m”及图形关系，得B点坐标为(2,-10)；最高处A是抛物线顶点，其纵坐标为最高处距水面的高度减去10m，即$\frac{2}{3}$。接着设抛物线一般式，代入已知点和顶点纵坐标条件，解方程组得到解析式；第二问中，先根据“距池边水平距离”算出对应x值，代入解析式求此时y值，再计算距水面高度，判断是否小于5m，确定是否失误。
【解析】
（1）设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
由题意：
① 抛物线过原点O(0,0)，故$c=0$；
② 入水处B(2,-10)，代入得$4a+2b=-10$；
③ 顶点纵坐标为$\frac{2}{3}$，由顶点公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$c=0$得$\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}$。
联立方程组：
$\begin{cases}4a+2b=-10\\\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}\\c=0\end{cases}$
化简第一个方程得$b=-5-2a$，代入第二个方程：
$\frac{-(-5-2a)^2}{4a}=\frac{2}{3}$，整理得$12a^2+68a+75=0$，解得$a=-\frac{25}{6}$（舍去$a=-\frac{3}{2}$，因对称轴在y轴左侧不符合题意），对应$b=\frac{10}{3}$。
故抛物线表达式为$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$。
（2）判断是否失误：
运动员调整姿势时距池边水平距离为$3\frac{3}{5}m$，对应x值为$3\frac{3}{5}-2=\frac{8}{5}$。
代入抛物线表达式：
$y=-\frac{25}{6}×(\frac{8}{5})^2+\frac{10}{3}×\frac{8}{5}=-\frac{16}{3}$，
距水面高度为$10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}＜5m$，故会失误。
【答案】
（1）$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$；（2）这次跳水会失误。
【知识点】
二次函数的应用、抛物线的顶点性质、坐标与图形
【点评】
本题结合实际跳水场景，考查二次函数解析式求解及实际应用，关键是确定关键点坐标，利用二次函数性质解决问题，需注意舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.5
