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1 如图，矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm。点M从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动。若M，N分别从A、B同时出发，设移动时间为t s(0＜t＜6)，△DMN的面积为S cm²。
(1) 求S关于t的函数表达式，并求出S的最小值。
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积。
(1) 求S关于t的函数表达式，并求出S的最小值。
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积。
答案
(1) 依题意可得AM = t cm，BN = 2t cm，则BM = (6 - t)cm，CN = (12 - 2t)cm。因为$S_{△ DMN}=S_{矩形ABCD}-S_{△ AMD}-S_{△ BMN}-S_{△ DNC}$，即$S=AB· BC-\frac{1}{2}AD· AM-\frac{1}{2}BM· BN-\frac{1}{2}CN· CD=6×12-\frac{1}{2}·12t-\frac{1}{2}(6 - t)·2t-\frac{1}{2}(12 - 2t)·6$，所以$S=t^2 - 6t + 36$。当t=3时，S有最小值$S_{\min}=27$。
(2) 由$∠ MDN ＜ ∠ ADC$，可知$∠ MDN$不可能为直角，由此可进行以下分类讨论：
① 当$∠ DMN=90°$时，易得$△ AMD ∽ △ BNM$，则有$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{t}{2t}=\frac{12}{6 - t}$，整理即为$\frac{12}{6 - t}=\frac{1}{2}$，解得t = -18，不合题意，舍去；
② 当$∠ DNM=90°$时，易得$△ CDN ∽ △ BNM$，则有$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，即$\frac{6}{2t}=\frac{12 - 2t}{6 - t}$，解得$t=\frac{3}{2}$或6(舍)，所以$t=\frac{3}{2}$。
综上所述，当$t=\frac{3}{2}$时，$△ DMN$是直角三角形，此时$S=(\frac{3}{2})^2 - 6×\frac{3}{2} + 36=\frac{117}{4}$。
(2) 由$∠ MDN ＜ ∠ ADC$，可知$∠ MDN$不可能为直角，由此可进行以下分类讨论：
① 当$∠ DMN=90°$时，易得$△ AMD ∽ △ BNM$，则有$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{t}{2t}=\frac{12}{6 - t}$，整理即为$\frac{12}{6 - t}=\frac{1}{2}$，解得t = -18，不合题意，舍去；
② 当$∠ DNM=90°$时，易得$△ CDN ∽ △ BNM$，则有$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，即$\frac{6}{2t}=\frac{12 - 2t}{6 - t}$，解得$t=\frac{3}{2}$或6(舍)，所以$t=\frac{3}{2}$。
综上所述，当$t=\frac{3}{2}$时，$△ DMN$是直角三角形，此时$S=(\frac{3}{2})^2 - 6×\frac{3}{2} + 36=\frac{117}{4}$。
解析
【分析】
（1）直接计算△DMN的面积较为复杂，可采用割补法：用矩形ABCD的总面积减去周围3个小三角形（△AMD、△BMN、△DNC）的面积，即可得到S关于t的函数表达式，再结合二次函数的性质即可求出最小值。
（2）△DMN为直角三角形时需分类讨论直角的位置：首先∠MDN小于矩形内角∠ADC=90°，不可能为直角，仅需讨论∠DMN=90°和∠DNM=90°两种情况，利用相似三角形的判定证得对应三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解t，舍去不符合取值范围的解后代入面积表达式即可算出结果。
【解析】
(1) 由题意得：$AM = t\ \mathrm{cm}$，$BN = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $BM = AB - AM = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CN = BC - BN = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$，
根据割补法可得：
$S_{△ DMN}=S_{矩形ABCD}-S_{△ AMD}-S_{△ BMN}-S_{△ DNC}$
代入各图形面积公式：
$S=AB· BC-\frac{1}{2}·AD· AM-\frac{1}{2}·BM· BN-\frac{1}{2}·CN· CD$
将$AB=6$，$BC=AD=12$，$CD=6$代入得：
$S=6×12-\frac{1}{2}×12t-\frac{1}{2}(6 - t)·2t-\frac{1}{2}(12 - 2t)×6$
化简得：$S=t^2 - 6t + 36（0＜t＜6）$。
该二次函数开口向上，对称轴为$t=\frac{6}{2×1}=3$，
∴当$t=3$时，$S$取得最小值，$S_{\min}=3^2 -6×3 +36=27$。
(2)
∵$∠MDN ＜ ∠ADC=90°$，
∴$∠MDN$不可能为直角，分两种情况讨论：
① 当$∠DMN=90°$时，$∠AMD + ∠BMN=90°$，
又
∵$∠AMD + ∠ADM=90°$，
∴$∠ADM=∠BMN$，
又
∵$∠A=∠B=90°$，
∴$△ AMD ∽ △ BNM$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{t}{2t}=\frac{12}{6 - t}$，
解得$t=-18$，不符合$0＜t＜6$的范围，舍去；
② 当$∠DNM=90°$时，$∠CND + ∠BNM=90°$，
又
∵$∠CND + ∠CDN=90°$，
∴$∠CDN=∠BNM$，
又
∵$∠C=∠B=90°$，
∴$△ CDN ∽ △ BNM$，
∴$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，即$\frac{6}{2t}=\frac{12 - 2t}{6 - t}$，
解得$t=\frac{3}{2}$或$t=6$，$t=6$不符合$0＜t＜6$的范围，舍去，故$t=\frac{3}{2}$。
将$t=\frac{3}{2}$代入$S=t^2 -6t +36$得：
$S=(\frac{3}{2})^2 -6×\frac{3}{2} +36=\frac{117}{4}$。
【答案】
(1) $S=t^2 -6t +36（0＜t＜6）$，最小值为27；
(2) $△ DMN$的面积为$\frac{117}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 二次函数的最值
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是动点综合类问题，解题核心是灵活运用割补法表示不规则图形的面积，处理直角三角形存在性问题时要注意分类讨论，避免漏解，同时要结合动点的取值范围排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
（1）直接计算△DMN的面积较为复杂，可采用割补法：用矩形ABCD的总面积减去周围3个小三角形（△AMD、△BMN、△DNC）的面积，即可得到S关于t的函数表达式，再结合二次函数的性质即可求出最小值。
（2）△DMN为直角三角形时需分类讨论直角的位置：首先∠MDN小于矩形内角∠ADC=90°，不可能为直角，仅需讨论∠DMN=90°和∠DNM=90°两种情况，利用相似三角形的判定证得对应三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解t，舍去不符合取值范围的解后代入面积表达式即可算出结果。
【解析】
(1) 由题意得：$AM = t\ \mathrm{cm}$，$BN = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $BM = AB - AM = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CN = BC - BN = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$，
根据割补法可得：
$S_{△ DMN}=S_{矩形ABCD}-S_{△ AMD}-S_{△ BMN}-S_{△ DNC}$
代入各图形面积公式：
$S=AB· BC-\frac{1}{2}·AD· AM-\frac{1}{2}·BM· BN-\frac{1}{2}·CN· CD$
将$AB=6$，$BC=AD=12$，$CD=6$代入得：
$S=6×12-\frac{1}{2}×12t-\frac{1}{2}(6 - t)·2t-\frac{1}{2}(12 - 2t)×6$
化简得：$S=t^2 - 6t + 36（0＜t＜6）$。
该二次函数开口向上，对称轴为$t=\frac{6}{2×1}=3$，
∴当$t=3$时，$S$取得最小值，$S_{\min}=3^2 -6×3 +36=27$。
(2)
∵$∠MDN ＜ ∠ADC=90°$，
∴$∠MDN$不可能为直角，分两种情况讨论：
① 当$∠DMN=90°$时，$∠AMD + ∠BMN=90°$，
又
∵$∠AMD + ∠ADM=90°$，
∴$∠ADM=∠BMN$，
又
∵$∠A=∠B=90°$，
∴$△ AMD ∽ △ BNM$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{t}{2t}=\frac{12}{6 - t}$，
解得$t=-18$，不符合$0＜t＜6$的范围，舍去；
② 当$∠DNM=90°$时，$∠CND + ∠BNM=90°$，
又
∵$∠CND + ∠CDN=90°$，
∴$∠CDN=∠BNM$，
又
∵$∠C=∠B=90°$，
∴$△ CDN ∽ △ BNM$，
∴$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，即$\frac{6}{2t}=\frac{12 - 2t}{6 - t}$，
解得$t=\frac{3}{2}$或$t=6$，$t=6$不符合$0＜t＜6$的范围，舍去，故$t=\frac{3}{2}$。
将$t=\frac{3}{2}$代入$S=t^2 -6t +36$得：
$S=(\frac{3}{2})^2 -6×\frac{3}{2} +36=\frac{117}{4}$。
【答案】
(1) $S=t^2 -6t +36（0＜t＜6）$，最小值为27；
(2) $△ DMN$的面积为$\frac{117}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 二次函数的最值
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是动点综合类问题，解题核心是灵活运用割补法表示不规则图形的面积，处理直角三角形存在性问题时要注意分类讨论，避免漏解，同时要结合动点的取值范围排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
2 如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子$OA=2\ \mathrm{m}$，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离$OA$距离为$1\ \mathrm{m}$处达到距水面最大高度$2.25\ \mathrm{m}$。不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
答案
以O为坐标原点、OA方向为y轴正半轴、水平面向右为x轴正半轴建立平面直角坐标系。由题意得A(0,2)，顶点坐标为$(1,\frac{9}{4})$，则可设抛物线的表达式为$y=a(x - 1)^2 + \frac{9}{4}$。将点A(0,2)代入，解得$a=-\frac{1}{4}$，所以抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x - 1)^2 + \frac{9}{4}$。当y=0时，解得$x_1=-2$(舍)，$x_2=4$，所以水池半径至少为4米，才能使喷出的水流不落到池外。
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题核心是将水流轨迹转化为二次函数模型。首先建立合适的平面直角坐标系，把实际位置对应为坐标系内的点：已知抛物线的顶点坐标和经过的A点，因此选用二次函数顶点式设解析式，代入已知点求出解析式后，水流落到水面时高度为0，即求函数值y=0时对应的正的x值，该值就是水池需要的最小半径，能保证水流不会落到池外。
【解析】
解：以O为坐标原点，水平向右为x轴正半轴，OA所在直线为y轴正半轴建立平面直角坐标系。
由题意得：点A坐标为$(0,2)$，抛物线顶点坐标为$(1,\frac{9}{4})$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{9}{4}\ (a≠0)$，将$A(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-1)^2+\frac{9}{4}$
解得$a=-\frac{1}{4}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$
当水流落到水面时$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$
整理得$(x-1)^2=9$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）
即水流落到水面的位置距离O点水平距离为4m。
【答案】
水池的半径至少为4米，才能使喷出的水流不落到池外。
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数顶点式、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数建模的典型题型，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解，计算结束后要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用问题，解题核心是将水流轨迹转化为二次函数模型。首先建立合适的平面直角坐标系，把实际位置对应为坐标系内的点：已知抛物线的顶点坐标和经过的A点，因此选用二次函数顶点式设解析式，代入已知点求出解析式后，水流落到水面时高度为0，即求函数值y=0时对应的正的x值，该值就是水池需要的最小半径，能保证水流不会落到池外。
【解析】
解：以O为坐标原点，水平向右为x轴正半轴，OA所在直线为y轴正半轴建立平面直角坐标系。
由题意得：点A坐标为$(0,2)$，抛物线顶点坐标为$(1,\frac{9}{4})$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{9}{4}\ (a≠0)$，将$A(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-1)^2+\frac{9}{4}$
解得$a=-\frac{1}{4}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$
当水流落到水面时$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$
整理得$(x-1)^2=9$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）
即水流落到水面的位置距离O点水平距离为4m。
【答案】
水池的半径至少为4米，才能使喷出的水流不落到池外。
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数顶点式、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数建模的典型题型，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解，计算结束后要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
