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3 如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分。当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA=2.88 m，这时水平距离OB=7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②。
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）。并判断这次发球能否过网，是否出界，并说明理由。
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m），求OQ的长。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$）
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）。并判断这次发球能否过网，是否出界，并说明理由。
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m），求OQ的长。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$）
答案
（1）设抛物线的表达式为$y=a(x - 7)^2 + 2.88$，将(0,1.9)代入，解得$a=-\frac{1}{50}$，故抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88$。当x=9时，$y=-\frac{1}{50}×(9 - 7)^2 + 2.88=2.8 ＞ 2.24$，当x=18时，$y=-\frac{1}{50}×(18 - 7)^2 + 2.88=0.46 ＞ 0$，故这次发球能过网，但会出界。
（2）如图，过点P作底线的平行线，过点O作边线的平行线，两平行线交于点M，OM=18 - 1=17(m)。当y=0时，$-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88=0$，解得$x_1=19$，$x_2=-5$(舍去)，所以OP=19(m)。又因为OM=17(m)，所以$PM=\sqrt{19^2 - 17^2}=6\sqrt{2}(\mathrm{m})$，所以$OQ=9 - 6\sqrt{2} - 0.5 \approx 0.1(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线的最高点即顶点坐标为$(7,2.88)$，因此可设抛物线的顶点式，再将发球点$C(0,1.9)$代入即可求出函数表达式；判断是否过网，只需计算网所在位置$x=9\mathrm{m}$对应的$y$值，和网高$2.24\mathrm{m}$比较即可；判断是否出界，计算对方底线位置$x=18\mathrm{m}$对应的$y$值，若$y＞0$说明球到达底线时还未落地，即会出界。
（2）先令$y=0$求出球落地时的水平距离$OP$的长度；过$P$作底线的平行线、过$O$作边线的平行线交于$M$，由点$P$距底线$1\mathrm{m}$可得$OM$的长度，再用勾股定理求出$PM$的长度，结合排球场宽$9\mathrm{m}$、点$P$距边线$0.5\mathrm{m}$即可求出$OQ$的长度。
【解析】
（1）设抛物线的函数表达式为$y=a(x - 7)^2 + 2.88$，
将点$C(0,1.9)$代入表达式得：
$1.9=a(0 - 7)^2 + 2.88$，
解得$a=-\frac{1}{50}$，
因此函数表达式为$y=-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88$。
判断过网：将$x=9$代入表达式，得
$y=-\frac{1}{50}×(9 - 7)^2 + 2.88=2.8\mathrm{m}$，
$\because2.8＞2.24$，$\therefore$球能过网。
判断出界：将$x=18$代入表达式，得
$y=-\frac{1}{50}×(18 - 7)^2 + 2.88=0.46\mathrm{m}$，
$\because0.46＞0$，说明球到达对方底线时仍未落地，因此发球会出界。
（2）令$y=0$，则$-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88=0$，
解得$x_1=19$，$x_2=-5$（不符合实际舍去），即$OP=19\mathrm{m}$。
过点$P$作底线的平行线，过点$O$作边线的平行线，两线交于点$M$，
$\because$点$P$距底线$1\mathrm{m}$，$\therefore OM=18 - 1=17\mathrm{m}$，
在$Rt△ OPM$中，由勾股定理得：
$PM=\sqrt{OP^2 - OM^2}=\sqrt{19^2 - 17^2}=6\sqrt{2}\mathrm{m}$，
结合排球场宽$9\mathrm{m}$、点$P$距边线$0.5\mathrm{m}$，得：
$OQ=9 - 6\sqrt{2} - 0.5\approx9 - 6×1.4 - 0.5=0.1\mathrm{m}$。
【答案】
（1）函数表达式为$y=-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88$，这次发球能过网，但会出界；
（2）OQ的长约为$0.1\mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的应用，勾股定理，二次函数顶点式
【点评】
本题结合体育场景考查数学知识的实际应用，需要学生将实际问题转化为二次函数和几何计算的数学模型，既考查了二次函数的基本性质，也考查了勾股定理的应用，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）已知抛物线的最高点即顶点坐标为$(7,2.88)$，因此可设抛物线的顶点式，再将发球点$C(0,1.9)$代入即可求出函数表达式；判断是否过网，只需计算网所在位置$x=9\mathrm{m}$对应的$y$值，和网高$2.24\mathrm{m}$比较即可；判断是否出界，计算对方底线位置$x=18\mathrm{m}$对应的$y$值，若$y＞0$说明球到达底线时还未落地，即会出界。
（2）先令$y=0$求出球落地时的水平距离$OP$的长度；过$P$作底线的平行线、过$O$作边线的平行线交于$M$，由点$P$距底线$1\mathrm{m}$可得$OM$的长度，再用勾股定理求出$PM$的长度，结合排球场宽$9\mathrm{m}$、点$P$距边线$0.5\mathrm{m}$即可求出$OQ$的长度。
【解析】
（1）设抛物线的函数表达式为$y=a(x - 7)^2 + 2.88$，
将点$C(0,1.9)$代入表达式得：
$1.9=a(0 - 7)^2 + 2.88$，
解得$a=-\frac{1}{50}$，
因此函数表达式为$y=-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88$。
判断过网：将$x=9$代入表达式，得
$y=-\frac{1}{50}×(9 - 7)^2 + 2.88=2.8\mathrm{m}$，
$\because2.8＞2.24$，$\therefore$球能过网。
判断出界：将$x=18$代入表达式，得
$y=-\frac{1}{50}×(18 - 7)^2 + 2.88=0.46\mathrm{m}$，
$\because0.46＞0$，说明球到达对方底线时仍未落地，因此发球会出界。
（2）令$y=0$，则$-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88=0$，
解得$x_1=19$，$x_2=-5$（不符合实际舍去），即$OP=19\mathrm{m}$。
过点$P$作底线的平行线，过点$O$作边线的平行线，两线交于点$M$，
$\because$点$P$距底线$1\mathrm{m}$，$\therefore OM=18 - 1=17\mathrm{m}$，
在$Rt△ OPM$中，由勾股定理得：
$PM=\sqrt{OP^2 - OM^2}=\sqrt{19^2 - 17^2}=6\sqrt{2}\mathrm{m}$，
结合排球场宽$9\mathrm{m}$、点$P$距边线$0.5\mathrm{m}$，得：
$OQ=9 - 6\sqrt{2} - 0.5\approx9 - 6×1.4 - 0.5=0.1\mathrm{m}$。
【答案】
（1）函数表达式为$y=-\frac{1}{50}(x - 7)^2 + 2.88$，这次发球能过网，但会出界；
（2）OQ的长约为$0.1\mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的应用，勾股定理，二次函数顶点式
【点评】
本题结合体育场景考查数学知识的实际应用，需要学生将实际问题转化为二次函数和几何计算的数学模型，既考查了二次函数的基本性质，也考查了勾股定理的应用，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4 2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）。如图①，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分。如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米。若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点H'距地面多少米？
答案
设经过点A、B、H的抛物线的表达式为$y=ax^2 + c$，根据题意得H(0,20)，B(40,4)，代入$y=ax^2 + c$，得$c=20$，$a=-\frac{1}{100}$，所以经过点A、B、H的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}x^2 + 20$。因为经过点B'、H'的抛物线是由抛物线$y=-\frac{1}{100}x^2 + 20$向右平移10米得到的，所以经过点B'、H'的抛物线的顶点为(10,20)，所以经过点B'，H'的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}(x - 10)^2 + 20$。当x=0时，$y=-\frac{1}{100}×(0 - 10)^2 + 20=19$，所以消防车后退10米后两条水柱相遇点H'距地面19米。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，观察坐标系特征，两条原水柱的抛物线关于y轴对称，顶点在y轴上，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，简化计算；第二步，根据题中给出的顶点高度、喷水口高度和两车水平距离，确定顶点H和点B的坐标，用待定系数法求出原抛物线的解析式；第三步，消防车后退10米对应抛物线向外侧平移10个单位，根据“左加右减”的平移规律写出平移后右侧抛物线的解析式；第四步，两条平移后的抛物线交点仍在y轴上，将$x=0$代入平移后的解析式即可求出$H'$的高度。
【解析】
解：设经过A、B、H的抛物线的表达式为$y=ax^2 + c$，
由题意可知，顶点H的坐标为$(0,20)$，喷水口B到y轴的水平距离为$80÷2=40$米，因此B点坐标为$(40,4)$。
将$H(0,20)$代入解析式得：$c=20$，
将$B(40,4)$和$c=20$代入解析式得：$4=a×40^2 + 20$，
解得$a=-\frac{1}{100}$，
因此原抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}x^2 + 20$。
消防车后退10米后，右侧的抛物线向右平移10个单位，根据二次函数平移“左加右减”的规律，平移后右侧抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}(x-10)^2 + 20$。
两条平移后的水柱的相遇点$H'$在y轴上，即$x=0$，将$x=0$代入上式得：
$y=-\frac{1}{100}×(0-10)^2 + 20 = -1 + 20 = 19$
【答案】
19米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合“水门礼”的生活情境考查二次函数的相关知识，解题的关键是准确提取题干中的坐标信息，正确运用待定系数法和平移规律求解，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，观察坐标系特征，两条原水柱的抛物线关于y轴对称，顶点在y轴上，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，简化计算；第二步，根据题中给出的顶点高度、喷水口高度和两车水平距离，确定顶点H和点B的坐标，用待定系数法求出原抛物线的解析式；第三步，消防车后退10米对应抛物线向外侧平移10个单位，根据“左加右减”的平移规律写出平移后右侧抛物线的解析式；第四步，两条平移后的抛物线交点仍在y轴上，将$x=0$代入平移后的解析式即可求出$H'$的高度。
【解析】
解：设经过A、B、H的抛物线的表达式为$y=ax^2 + c$，
由题意可知，顶点H的坐标为$(0,20)$，喷水口B到y轴的水平距离为$80÷2=40$米，因此B点坐标为$(40,4)$。
将$H(0,20)$代入解析式得：$c=20$，
将$B(40,4)$和$c=20$代入解析式得：$4=a×40^2 + 20$，
解得$a=-\frac{1}{100}$，
因此原抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}x^2 + 20$。
消防车后退10米后，右侧的抛物线向右平移10个单位，根据二次函数平移“左加右减”的规律，平移后右侧抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{100}(x-10)^2 + 20$。
两条平移后的水柱的相遇点$H'$在y轴上，即$x=0$，将$x=0$代入上式得：
$y=-\frac{1}{100}×(0-10)^2 + 20 = -1 + 20 = 19$
【答案】
19米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合“水门礼”的生活情境考查二次函数的相关知识，解题的关键是准确提取题干中的坐标信息，正确运用待定系数法和平移规律求解，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
