5 如图①，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米。以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系$xOy$，规定一个单位长度代表1米。$E(0,8)$是抛物线的顶点。
（1）求此抛物线对应的函数表达式。
（2）在隧道截面内（含边界）修建“$\sqcap$”型或“$\boxminus$”型栅栏，如图②、图③所示，点$P_1$、$P_4$在$x$轴上，$MN$与矩形$P_1P_2P_3P_4$的一边平行且相等。栅栏总长$l$为图中线段$P_1P_2$、$P_2P_3$、$P_3P_4$、$MN$的长度之和，请解决以下问题：
（i）修建一个“$\sqcap$”型栅栏，如图②，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上。设点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，求栅栏总长$l$与$m$之间的函数表达式和$l$的最大值。
（ii）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图③所示的“$\sqcap$”型和“$\boxminus$”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形$P_1P_2P_3P_4$面积的最大值，及取最大值时点$P_1$的横坐标的取值范围（$P_1$在$P_4$右侧）。

第5题图① 第5题图② 第5题图③（方案一） 第5题图③（方案二）

（1）由题意可得A(-6,2)，D(6,2)，又因为E(0,8)是抛物线的顶点，则可设抛物线的函数表达式为$y=ax^2 + 8$，将A(-6,2)代入，得36a + 8 = 2，解得$a=-\frac{1}{6}$，所以抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2 + 8$。
（2）(i) 因为点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，且四边形$P_1P_2P_3P_4$为矩形，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上，所以$P_2$的坐标为$(m,-\frac{1}{6}m^2 + 8)$，所以$P_1P_2=P_3P_4=MN=-\frac{1}{6}m^2 + 8$，$P_2P_3=2m$，所以$l=3(-\frac{1}{6}m^2 + 8)+2m=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24=-\frac{1}{2}(m - 2)^2 + 26$，因为$-\frac{1}{2} ＜ 0$，所以当m=2时，l有最大值26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为$l=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24$，l的最大值为26。
(ii) 方案一：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=18 - 3n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(18 - 3n)n=-3n^2 + 18n=-3(n - 3)^2 + 27$。因为-3 ＜ 0，所以当n=3时，矩形面积最大值为27，此时$P_2P_1=3$，$P_2P_3=9$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=3$，解得$x=\pm\sqrt{30}$，所以$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{30} + 9 ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{30}$。
方案二：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=9 - n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(9 - n)n=-n^2 + 9n=-(n - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4}$。因为-1 ＜ 0，所以当$n=\frac{9}{2}$时，矩形面积最大值为$\frac{81}{4}$，此时$P_2P_1=\frac{9}{2}$，$P_2P_3=\frac{9}{2}$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=\frac{9}{2}$，解得$x=\pm\sqrt{21}$，所以此时$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{21} + \frac{9}{2} ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{21}$。