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5 如图①，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米。以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系$xOy$，规定一个单位长度代表1米。$E(0,8)$是抛物线的顶点。
（1）求此抛物线对应的函数表达式。
（2）在隧道截面内（含边界）修建“$\sqcap$”型或“$\boxminus$”型栅栏，如图②、图③所示，点$P_1$、$P_4$在$x$轴上，$MN$与矩形$P_1P_2P_3P_4$的一边平行且相等。栅栏总长$l$为图中线段$P_1P_2$、$P_2P_3$、$P_3P_4$、$MN$的长度之和，请解决以下问题：
（i）修建一个“$\sqcap$”型栅栏，如图②，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上。设点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，求栅栏总长$l$与$m$之间的函数表达式和$l$的最大值。
（ii）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图③所示的“$\sqcap$”型和“$\boxminus$”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形$P_1P_2P_3P_4$面积的最大值，及取最大值时点$P_1$的横坐标的取值范围（$P_1$在$P_4$右侧）。
第5题图① 第5题图② 第5题图③（方案一） 第5题图③（方案二）
（1）求此抛物线对应的函数表达式。
（2）在隧道截面内（含边界）修建“$\sqcap$”型或“$\boxminus$”型栅栏，如图②、图③所示，点$P_1$、$P_4$在$x$轴上，$MN$与矩形$P_1P_2P_3P_4$的一边平行且相等。栅栏总长$l$为图中线段$P_1P_2$、$P_2P_3$、$P_3P_4$、$MN$的长度之和，请解决以下问题：
（i）修建一个“$\sqcap$”型栅栏，如图②，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上。设点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，求栅栏总长$l$与$m$之间的函数表达式和$l$的最大值。
（ii）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图③所示的“$\sqcap$”型和“$\boxminus$”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形$P_1P_2P_3P_4$面积的最大值，及取最大值时点$P_1$的横坐标的取值范围（$P_1$在$P_4$右侧）。
第5题图① 第5题图② 第5题图③（方案一） 第5题图③（方案二）
答案
（1）由题意可得A(-6,2)，D(6,2)，又因为E(0,8)是抛物线的顶点，则可设抛物线的函数表达式为$y=ax^2 + 8$，将A(-6,2)代入，得36a + 8 = 2，解得$a=-\frac{1}{6}$，所以抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2 + 8$。
（2）(i) 因为点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，且四边形$P_1P_2P_3P_4$为矩形，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上，所以$P_2$的坐标为$(m,-\frac{1}{6}m^2 + 8)$，所以$P_1P_2=P_3P_4=MN=-\frac{1}{6}m^2 + 8$，$P_2P_3=2m$，所以$l=3(-\frac{1}{6}m^2 + 8)+2m=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24=-\frac{1}{2}(m - 2)^2 + 26$，因为$-\frac{1}{2} ＜ 0$，所以当m=2时，l有最大值26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为$l=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24$，l的最大值为26。
(ii) 方案一：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=18 - 3n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(18 - 3n)n=-3n^2 + 18n=-3(n - 3)^2 + 27$。因为-3 ＜ 0，所以当n=3时，矩形面积最大值为27，此时$P_2P_1=3$，$P_2P_3=9$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=3$，解得$x=\pm\sqrt{30}$，所以$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{30} + 9 ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{30}$。
方案二：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=9 - n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(9 - n)n=-n^2 + 9n=-(n - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4}$。因为-1 ＜ 0，所以当$n=\frac{9}{2}$时，矩形面积最大值为$\frac{81}{4}$，此时$P_2P_1=\frac{9}{2}$，$P_2P_3=\frac{9}{2}$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=\frac{9}{2}$，解得$x=\pm\sqrt{21}$，所以此时$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{21} + \frac{9}{2} ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{21}$。
（2）(i) 因为点$P_1$的横坐标为$m(0 ＜ m ≤ 6)$，且四边形$P_1P_2P_3P_4$为矩形，点$P_2$、$P_3$在抛物线AED上，所以$P_2$的坐标为$(m,-\frac{1}{6}m^2 + 8)$，所以$P_1P_2=P_3P_4=MN=-\frac{1}{6}m^2 + 8$，$P_2P_3=2m$，所以$l=3(-\frac{1}{6}m^2 + 8)+2m=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24=-\frac{1}{2}(m - 2)^2 + 26$，因为$-\frac{1}{2} ＜ 0$，所以当m=2时，l有最大值26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为$l=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24$，l的最大值为26。
(ii) 方案一：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=18 - 3n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(18 - 3n)n=-3n^2 + 18n=-3(n - 3)^2 + 27$。因为-3 ＜ 0，所以当n=3时，矩形面积最大值为27，此时$P_2P_1=3$，$P_2P_3=9$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=3$，解得$x=\pm\sqrt{30}$，所以$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{30} + 9 ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{30}$。
方案二：设$P_2P_1=n$，则$P_2P_3=9 - n$，所以矩形$P_1P_2P_3P_4$面积为$(9 - n)n=-n^2 + 9n=-(n - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4}$。因为-1 ＜ 0，所以当$n=\frac{9}{2}$时，矩形面积最大值为$\frac{81}{4}$，此时$P_2P_1=\frac{9}{2}$，$P_2P_3=\frac{9}{2}$。令$-\frac{1}{6}x^2 + 8=\frac{9}{2}$，解得$x=\pm\sqrt{21}$，所以此时$P_1$的横坐标的取值范围为$-\sqrt{21} + \frac{9}{2} ≤ x_{P_1} ≤ \sqrt{21}$。
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知顶点E(0,8)，可优先设顶点式$y=ax^2+8$，再根据矩形边长确定抛物线上点A的坐标，代入解析式即可求出a的值。
（2）(i) 已知$P_1$横坐标为m，可得$P_2$横坐标也为m，纵坐标可直接代入抛物线解析式得到，据此分别表示出栅栏各段的长度，相加即可得到l关于m的函数表达式，再通过配方结合二次函数的开口方向求最大值。
(ii) 任选一种方案，设竖直边的长度为n，根据栅栏总长18表示出水平边的长度，即可得到矩形面积关于n的二次函数，求最值后，令抛物线纵坐标等于n的最值，求出对应x的取值，即可得到$P_1$横坐标的取值范围。
【解析】
（1）由题意可知，BC=12米，y轴是BC的垂直平分线，因此$B(-6,0)$，$C(6,0)$，又AB=2米，故$A(-6,2)$。
因为$E(0,8)$是抛物线的顶点，设抛物线解析式为$y=ax^2+8$，将$A(-6,2)$代入得：
$36a+8=2$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+8$（$-6≤ x≤6$）。
（2）(i) 已知$P_1$的横坐标为$m(0＜m≤6)$，$P_2$在抛物线上且横坐标为m，因此$P_2(m,-\frac{1}{6}m^2+8)$，
则$P_1P_2=P_3P_4=MN=-\frac{1}{6}m^2+8$，$P_2P_3=2m$，
栅栏总长$l=P_1P_2+P_2P_3+P_3P_4+MN=3×(-\frac{1}{6}m^2+8)+2m$，
整理得$l=-\frac{1}{2}m^2+2m+24$，
配方得$l=-\frac{1}{2}(m-2)^2+26$，
因为$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$0＜m≤6$，
因此当$m=2$时，l取得最大值26。
(ii) 选方案一：
设$P_1P_2=n$，即竖直边长为n，则三条竖直边总长为3n，水平边$P_2P_3=18-3n$，
矩形面积$S=n·(18-3n)=-3n^2+18n=-3(n-3)^2+27$，
因为$-3＜0$，因此当$n=3$时，S取得最大值27，此时$P_2P_1=3$，$P_2P_3=9$。
令抛物线上纵坐标为3，即$-\frac{1}{6}x^2+8=3$，解得$x=\pm\sqrt{30}$，
因此$P_1$的横坐标取值范围是$9-\sqrt{30}≤ x_{P_1}≤\sqrt{30}$。
若选方案二：
设$P_1P_2=n$，栅栏共有4条竖直边、2条水平边，总长为18，因此$2P_2P_3+4n=18$，得$P_2P_3=9-n$，
矩形面积$S=n(9-n)=-n^2+9n=-(n-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{4}$，
因为$-1＜0$，因此当$n=\frac{9}{2}$时，S取得最大值$\frac{81}{4}$，此时$P_2P_1=\frac{9}{2}$，$P_2P_3=\frac{9}{2}$。
令$-\frac{1}{6}x^2+8=\frac{9}{2}$，解得$x=\pm\sqrt{21}$，
因此$P_1$的横坐标取值范围是$\frac{9}{2}-\sqrt{21}≤ x_{P_1}≤\sqrt{21}$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{6}x^2 + 8$（$-6≤ x≤6$）
（2）(i) $l=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24$（$0＜m≤6$），$l$的最大值为26；
(ii) 方案一：矩形面积最大值为27，$P_1$横坐标的取值范围是$9-\sqrt{30}≤ x_{P_1}≤\sqrt{30}$；
或方案二：矩形面积最大值为$\frac{81}{4}$，$P_1$横坐标的取值范围是$\frac{9}{2}-\sqrt{21}≤ x_{P_1}≤\sqrt{21}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体，将几何图形的边长关系与二次函数知识结合，考查学生的建模能力和二次函数性质的应用能力，解题时需准确梳理各线段的数量关系，同时注意自变量的取值限制。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线解析式时，已知顶点E(0,8)，可优先设顶点式$y=ax^2+8$，再根据矩形边长确定抛物线上点A的坐标，代入解析式即可求出a的值。
（2）(i) 已知$P_1$横坐标为m，可得$P_2$横坐标也为m，纵坐标可直接代入抛物线解析式得到，据此分别表示出栅栏各段的长度，相加即可得到l关于m的函数表达式，再通过配方结合二次函数的开口方向求最大值。
(ii) 任选一种方案，设竖直边的长度为n，根据栅栏总长18表示出水平边的长度，即可得到矩形面积关于n的二次函数，求最值后，令抛物线纵坐标等于n的最值，求出对应x的取值，即可得到$P_1$横坐标的取值范围。
【解析】
（1）由题意可知，BC=12米，y轴是BC的垂直平分线，因此$B(-6,0)$，$C(6,0)$，又AB=2米，故$A(-6,2)$。
因为$E(0,8)$是抛物线的顶点，设抛物线解析式为$y=ax^2+8$，将$A(-6,2)$代入得：
$36a+8=2$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+8$（$-6≤ x≤6$）。
（2）(i) 已知$P_1$的横坐标为$m(0＜m≤6)$，$P_2$在抛物线上且横坐标为m，因此$P_2(m,-\frac{1}{6}m^2+8)$，
则$P_1P_2=P_3P_4=MN=-\frac{1}{6}m^2+8$，$P_2P_3=2m$，
栅栏总长$l=P_1P_2+P_2P_3+P_3P_4+MN=3×(-\frac{1}{6}m^2+8)+2m$，
整理得$l=-\frac{1}{2}m^2+2m+24$，
配方得$l=-\frac{1}{2}(m-2)^2+26$，
因为$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$0＜m≤6$，
因此当$m=2$时，l取得最大值26。
(ii) 选方案一：
设$P_1P_2=n$，即竖直边长为n，则三条竖直边总长为3n，水平边$P_2P_3=18-3n$，
矩形面积$S=n·(18-3n)=-3n^2+18n=-3(n-3)^2+27$，
因为$-3＜0$，因此当$n=3$时，S取得最大值27，此时$P_2P_1=3$，$P_2P_3=9$。
令抛物线上纵坐标为3，即$-\frac{1}{6}x^2+8=3$，解得$x=\pm\sqrt{30}$，
因此$P_1$的横坐标取值范围是$9-\sqrt{30}≤ x_{P_1}≤\sqrt{30}$。
若选方案二：
设$P_1P_2=n$，栅栏共有4条竖直边、2条水平边，总长为18，因此$2P_2P_3+4n=18$，得$P_2P_3=9-n$，
矩形面积$S=n(9-n)=-n^2+9n=-(n-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{4}$，
因为$-1＜0$，因此当$n=\frac{9}{2}$时，S取得最大值$\frac{81}{4}$，此时$P_2P_1=\frac{9}{2}$，$P_2P_3=\frac{9}{2}$。
令$-\frac{1}{6}x^2+8=\frac{9}{2}$，解得$x=\pm\sqrt{21}$，
因此$P_1$的横坐标取值范围是$\frac{9}{2}-\sqrt{21}≤ x_{P_1}≤\sqrt{21}$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{6}x^2 + 8$（$-6≤ x≤6$）
（2）(i) $l=-\frac{1}{2}m^2 + 2m + 24$（$0＜m≤6$），$l$的最大值为26；
(ii) 方案一：矩形面积最大值为27，$P_1$横坐标的取值范围是$9-\sqrt{30}≤ x_{P_1}≤\sqrt{30}$；
或方案二：矩形面积最大值为$\frac{81}{4}$，$P_1$横坐标的取值范围是$\frac{9}{2}-\sqrt{21}≤ x_{P_1}≤\sqrt{21}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体，将几何图形的边长关系与二次函数知识结合，考查学生的建模能力和二次函数性质的应用能力，解题时需准确梳理各线段的数量关系，同时注意自变量的取值限制。
【难度系数】
0.6
