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1 在形状与大小都确定的一个锐角三角形$ABC$中，点$D$是边$BC$上一点，下列条件不能唯一确定$△ ABD$与$△ ADC$面积的比值的是（
A.点$D$是边$BC$的黄金分割点
B.点$D$是边$BC$的中点
C.$AD$是边$BC$上的高
D.$AD$是$∠ BAC$的平分线
A
）。A.点$D$是边$BC$的黄金分割点
B.点$D$是边$BC$的中点
C.$AD$是边$BC$上的高
D.$AD$是$∠ BAC$的平分线
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是明确：$△ ABD$和$△ ADC$共高（高均为点$A$到$BC$边的垂线段长度），根据三角形面积公式，二者的面积比等于底边$BD$与$DC$的长度比，因此只需判断各选项能否唯一确定$BD:DC$的比值即可。分析时注意：黄金分割点在线段上有2个不同位置，中点、定三角形的高线垂足、角平分线与$BC$的交点位置均唯一。
【解析】
解：$\because △ ABD$和$△ ADC$的高均为点$A$到$BC$边的垂线段长度，即两个三角形同高
$\therefore$ 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 底× 高$，可得$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC$
对各选项逐一分析：
A. 线段$BC$的黄金分割点有2个，分别靠近端点$B$和端点$C$，此时$BD:DC$存在两个不同的比值，无法唯一确定面积比；
B. 若$D$是$BC$中点，则$BD=DC$，$BD:DC=1:1$，面积比为$1$，唯一确定；
C. 已知锐角三角形$ABC$形状、大小固定，$BC$边上的高的垂足$D$位置唯一，因此$BD$和$DC$长度固定，$BD:DC$为定值，面积比唯一确定；
D. 若$AD$是$∠ BAC$的平分线，由角平分线定理得$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，$△ ABC$形状、大小固定，$AB$、$AC$长度为定值，故$BD:DC$为定值，面积比唯一确定。
综上，只有A选项不能唯一确定面积比值。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，黄金分割，角平分线定理
【点评】
本题围绕同高三角形面积比的性质展开，易错点是容易忽略一条线段有两个黄金分割点，解题时需结合各特殊线段的性质逐一判断比值的唯一性。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确：$△ ABD$和$△ ADC$共高（高均为点$A$到$BC$边的垂线段长度），根据三角形面积公式，二者的面积比等于底边$BD$与$DC$的长度比，因此只需判断各选项能否唯一确定$BD:DC$的比值即可。分析时注意：黄金分割点在线段上有2个不同位置，中点、定三角形的高线垂足、角平分线与$BC$的交点位置均唯一。
【解析】
解：$\because △ ABD$和$△ ADC$的高均为点$A$到$BC$边的垂线段长度，即两个三角形同高
$\therefore$ 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 底× 高$，可得$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC$
对各选项逐一分析：
A. 线段$BC$的黄金分割点有2个，分别靠近端点$B$和端点$C$，此时$BD:DC$存在两个不同的比值，无法唯一确定面积比；
B. 若$D$是$BC$中点，则$BD=DC$，$BD:DC=1:1$，面积比为$1$，唯一确定；
C. 已知锐角三角形$ABC$形状、大小固定，$BC$边上的高的垂足$D$位置唯一，因此$BD$和$DC$长度固定，$BD:DC$为定值，面积比唯一确定；
D. 若$AD$是$∠ BAC$的平分线，由角平分线定理得$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，$△ ABC$形状、大小固定，$AB$、$AC$长度为定值，故$BD:DC$为定值，面积比唯一确定。
综上，只有A选项不能唯一确定面积比值。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，黄金分割，角平分线定理
【点评】
本题围绕同高三角形面积比的性质展开，易错点是容易忽略一条线段有两个黄金分割点，解题时需结合各特殊线段的性质逐一判断比值的唯一性。
【难度系数】
0.7
2 已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，那么下列各式中，成立的是（
A.$2a=3b$
B.$\frac{a+1}{b+1}=\frac{3}{4}$
C.$\frac{a+b}{b}=\frac{5}{3}$
D.$\frac{a-b}{b}=\frac{1}{3}$
C
）。A.$2a=3b$
B.$\frac{a+1}{b+1}=\frac{3}{4}$
C.$\frac{a+b}{b}=\frac{5}{3}$
D.$\frac{a-b}{b}=\frac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
这道题已知a与b的比值，判断各选项比例式是否成立，可通过两种思路解题：一是利用比例的基本性质、合比性质直接对原式变形，逐个验证选项；二是采用参数法，设a=2k、b=3k（k≠0），代入每个选项计算判断是否恒成立，两种方法都能快速排除错误选项。
【解析】
方法一：利用比例性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
选项A：根据比例的基本性质，交叉相乘得$3a=2b$，与$2a=3b$不符，A错误；
选项B：比例没有“分子分母同时加同一个数比值不变”的性质，可举反例：若a=4、b=6，则$\frac{a+1}{b+1}=\frac{5}{7}≠\frac{3}{4}$，式子不恒成立，B错误；
选项C：根据合比性质，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，式子成立，C正确；
选项D：$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，D错误。
方法二：参数法验证
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
选项A：$2a=4k$，$3b=9k$，$4k≠9k$，错误；
选项B：$\frac{a+1}{b+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，k取不同值时结果不一定等于$\frac{3}{4}$，错误；
选项C：$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，正确；
选项D：$\frac{a-b}{b}=\frac{2k-3k}{3k}=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，合比性质
【点评】
本题考查比例性质的基础应用，无论是直接用比例性质变形还是设参数代入验证，都能快速得出结果，解题时注意不要随意给比例的分子分母加相同数字推导比值，这类变形是不成立的。
【难度系数】
0.8
这道题已知a与b的比值，判断各选项比例式是否成立，可通过两种思路解题：一是利用比例的基本性质、合比性质直接对原式变形，逐个验证选项；二是采用参数法，设a=2k、b=3k（k≠0），代入每个选项计算判断是否恒成立，两种方法都能快速排除错误选项。
【解析】
方法一：利用比例性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
选项A：根据比例的基本性质，交叉相乘得$3a=2b$，与$2a=3b$不符，A错误；
选项B：比例没有“分子分母同时加同一个数比值不变”的性质，可举反例：若a=4、b=6，则$\frac{a+1}{b+1}=\frac{5}{7}≠\frac{3}{4}$，式子不恒成立，B错误；
选项C：根据合比性质，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，式子成立，C正确；
选项D：$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，D错误。
方法二：参数法验证
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
选项A：$2a=4k$，$3b=9k$，$4k≠9k$，错误；
选项B：$\frac{a+1}{b+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，k取不同值时结果不一定等于$\frac{3}{4}$，错误；
选项C：$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，正确；
选项D：$\frac{a-b}{b}=\frac{2k-3k}{3k}=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，合比性质
【点评】
本题考查比例性质的基础应用，无论是直接用比例性质变形还是设参数代入验证，都能快速得出结果，解题时注意不要随意给比例的分子分母加相同数字推导比值，这类变形是不成立的。
【难度系数】
0.8
3 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC,延长AC至点D,使AD=AB,以CD为边作正方形CDEF,连接BD、BE,BD交EF于点G。某同学得到以下两个结论：
①F是线段BC的黄金分割点；②G是线段EF的黄金分割点。
关于结论①和②,下列说法正确的是(
A.①正确,②错误
B.①错误,②正确
C.①和②都错误
D.①和②都正确
①F是线段BC的黄金分割点；②G是线段EF的黄金分割点。
关于结论①和②,下列说法正确的是(
D
)。A.①正确,②错误
B.①错误,②正确
C.①和②都错误
D.①和②都正确
答案
D
解析
【分析】
要判断两个结论是否正确，核心依据是黄金分割的定义：若点分线段所得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点是这条线段的黄金分割点。我们可以通过设参数的方法，结合勾股定理、正方形性质、相似三角形的性质，分别计算对应线段的比值，验证是否符合黄金分割比即可。首先设$AC=a$，根据$BC=2a$求出$AB、AD、CD$的长度验证结论①；再通过相似三角形求出$EG$的长度，验证结论②。
【解析】
设$AC=a$，则$BC=2a$。
1. 验证结论①：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$
$\because AD=AB$，$\therefore AD=\sqrt{5}a$
$\therefore CD=AD-AC=\sqrt{5}a-a=(\sqrt{5}-1)a$
$\because$四边形$CDEF$是正方形，$\therefore CF=CD=(\sqrt{5}-1)a$
则$\frac{CF}{BC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比，故$F$是线段$BC$的黄金分割点，①正确。
2. 验证结论②：
$\because$四边形$CDEF$是正方形，$\therefore EF=CD=(\sqrt{5}-1)a$，且$EF// CD$，即$FG// CD$
$\therefore △ BFG ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）
又$BF=BC-CF=2a-(\sqrt{5}-1)a=(3-\sqrt{5})a$，相似比为$\frac{BF}{BC}=\frac{(3-\sqrt{5})a}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{BF}{BC}$，即$FG=CD×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=(\sqrt{5}-1)a×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=(2\sqrt{5}-4)a$
$\therefore EG=EF-FG=(\sqrt{5}-1)a-(2\sqrt{5}-4)a=(3-\sqrt{5})a$
计算$\frac{EG}{EF}=\frac{(3-\sqrt{5})a}{(\sqrt{5}-1)a}$，分母有理化得：
$\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比，故$G$是线段$EF$的黄金分割点，②正确。
综上，①②都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合正方形、直角三角形的性质考查黄金分割的判定，解题的关键是合理设参数，通过计算线段长度的比值验证是否符合黄金分割比，同时需要熟练运用相似三角形的性质求解未知线段长度。
【难度系数】
0.6
要判断两个结论是否正确，核心依据是黄金分割的定义：若点分线段所得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点是这条线段的黄金分割点。我们可以通过设参数的方法，结合勾股定理、正方形性质、相似三角形的性质，分别计算对应线段的比值，验证是否符合黄金分割比即可。首先设$AC=a$，根据$BC=2a$求出$AB、AD、CD$的长度验证结论①；再通过相似三角形求出$EG$的长度，验证结论②。
【解析】
设$AC=a$，则$BC=2a$。
1. 验证结论①：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$
$\because AD=AB$，$\therefore AD=\sqrt{5}a$
$\therefore CD=AD-AC=\sqrt{5}a-a=(\sqrt{5}-1)a$
$\because$四边形$CDEF$是正方形，$\therefore CF=CD=(\sqrt{5}-1)a$
则$\frac{CF}{BC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比，故$F$是线段$BC$的黄金分割点，①正确。
2. 验证结论②：
$\because$四边形$CDEF$是正方形，$\therefore EF=CD=(\sqrt{5}-1)a$，且$EF// CD$，即$FG// CD$
$\therefore △ BFG ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）
又$BF=BC-CF=2a-(\sqrt{5}-1)a=(3-\sqrt{5})a$，相似比为$\frac{BF}{BC}=\frac{(3-\sqrt{5})a}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{BF}{BC}$，即$FG=CD×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=(\sqrt{5}-1)a×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=(2\sqrt{5}-4)a$
$\therefore EG=EF-FG=(\sqrt{5}-1)a-(2\sqrt{5}-4)a=(3-\sqrt{5})a$
计算$\frac{EG}{EF}=\frac{(3-\sqrt{5})a}{(\sqrt{5}-1)a}$，分母有理化得：
$\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比，故$G$是线段$EF$的黄金分割点，②正确。
综上，①②都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合正方形、直角三角形的性质考查黄金分割的判定，解题的关键是合理设参数，通过计算线段长度的比值验证是否符合黄金分割比，同时需要熟练运用相似三角形的性质求解未知线段长度。
【难度系数】
0.6
4 如果$\frac{x}{y}=3$，那么$\frac{x-y}{y}$的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
解题思路：已知x与y的比值，求分式的值，有两种常用思路：①利用分式的加减法法则，将所求分式拆分为两个同分母分式相减的形式，直接代入已知比值计算；②根据已知的比例关系，用含y的式子表示x（或设参数k，令x=3k，y=k，k≠0），再代入所求分式约分计算，两种方法均能快速得到结果，拆分法相对更简便。
【解析】
方法一：分式拆分法
根据同分母分式减法的逆运算可得：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
将已知$\frac{x}{y}=3$代入上式：
原式$=3-1=2$
方法二：代入消元法
由$\frac{x}{y}=3$可得$x=3y$（$y≠0$），将$x=3y$代入$\frac{x-y}{y}$得：
$\frac{x-y}{y}=\frac{3y-y}{y}=\frac{2y}{y}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值、比例的基本性质
【点评】
本题是分式与比例相关内容的基础考查题型，解题方法灵活，核心是灵活运用分式运算规则或比例代换关系求解，掌握基础运算规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题思路：已知x与y的比值，求分式的值，有两种常用思路：①利用分式的加减法法则，将所求分式拆分为两个同分母分式相减的形式，直接代入已知比值计算；②根据已知的比例关系，用含y的式子表示x（或设参数k，令x=3k，y=k，k≠0），再代入所求分式约分计算，两种方法均能快速得到结果，拆分法相对更简便。
【解析】
方法一：分式拆分法
根据同分母分式减法的逆运算可得：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
将已知$\frac{x}{y}=3$代入上式：
原式$=3-1=2$
方法二：代入消元法
由$\frac{x}{y}=3$可得$x=3y$（$y≠0$），将$x=3y$代入$\frac{x-y}{y}$得：
$\frac{x-y}{y}=\frac{3y-y}{y}=\frac{2y}{y}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值、比例的基本性质
【点评】
本题是分式与比例相关内容的基础考查题型，解题方法灵活，核心是灵活运用分式运算规则或比例代换关系求解，掌握基础运算规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
5 已知线段a是线段b、c的比例中项，$b=2\mathrm{cm}$，$c=8\mathrm{cm}$，那么$a=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
4
解析
【分析】
本题考查比例中项的应用，解题思路如下：第一步，回忆比例中项的定义，若线段a是线段b、c的比例中项，则满足关系$a^2 = b· c$；第二步，将已知的b、c长度代入关系式，计算得到$a^2$的值；第三步，结合线段长度为正数的隐含条件，对$a^2$开平方后取正的结果，即可得到a的长度。
【解析】
解：
∵ 线段a是线段b、c的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$a^2 = b· c$，
将$b=2\mathrm{cm}$，$c=8\mathrm{cm}$代入上式得：
$a^2 = 2 × 8 = 16$，
又
∵ 线段的长度为正数，
∴ $a = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$（不符合实际意义的负根舍去）。
【答案】
4
【知识点】
1.比例中项的性质
2.算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查比例中项的基本概念，解题的易错点是忽略线段长度的非负性，开平方后未舍去负根，只要牢记相关概念和隐含限制条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查比例中项的应用，解题思路如下：第一步，回忆比例中项的定义，若线段a是线段b、c的比例中项，则满足关系$a^2 = b· c$；第二步，将已知的b、c长度代入关系式，计算得到$a^2$的值；第三步，结合线段长度为正数的隐含条件，对$a^2$开平方后取正的结果，即可得到a的长度。
【解析】
解：
∵ 线段a是线段b、c的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$a^2 = b· c$，
将$b=2\mathrm{cm}$，$c=8\mathrm{cm}$代入上式得：
$a^2 = 2 × 8 = 16$，
又
∵ 线段的长度为正数，
∴ $a = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$（不符合实际意义的负根舍去）。
【答案】
4
【知识点】
1.比例中项的性质
2.算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查比例中项的基本概念，解题的易错点是忽略线段长度的非负性，开平方后未舍去负根，只要牢记相关概念和隐含限制条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6 已知$\frac{2a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{3c}{5}≠0$，那么$\frac{2a + b}{c}$的值是
$\frac{21}{5}$
。答案
$\frac{21}{5}$
解析
【分析】
遇到多个比值相等的连等比例式时，常用设参数法解题：先设这个相等的比值为非零常数$k$，将$a$、$b$、$c$分别用含$k$的代数式表示，再代入待求的代数式中，通过约分化简即可求出结果，题目给出的比值不为$0$的条件保证了约分的合法性。
【解析】
设$\frac{2a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{3c}{5}=k$（$k≠0$），分别化简得：
$2a=3k$，$b=4k$，$c=\frac{5k}{3}$。
将上述结果代入$\frac{2a + b}{c}$计算：
$\begin{aligned}\frac{2a + b}{c}&=\frac{3k + 4k}{\frac{5k}{3}}\\&=7k×\frac{3}{5k}\\&=\frac{21}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{21}{5}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，参数法解题
【点评】
本题是比例相关的基础计算题，核心解题方法是设参数法，该方法是处理连比、等比类问题的常用技巧，计算时注意约分即可快速得到结果，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到多个比值相等的连等比例式时，常用设参数法解题：先设这个相等的比值为非零常数$k$，将$a$、$b$、$c$分别用含$k$的代数式表示，再代入待求的代数式中，通过约分化简即可求出结果，题目给出的比值不为$0$的条件保证了约分的合法性。
【解析】
设$\frac{2a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{3c}{5}=k$（$k≠0$），分别化简得：
$2a=3k$，$b=4k$，$c=\frac{5k}{3}$。
将上述结果代入$\frac{2a + b}{c}$计算：
$\begin{aligned}\frac{2a + b}{c}&=\frac{3k + 4k}{\frac{5k}{3}}\\&=7k×\frac{3}{5k}\\&=\frac{21}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{21}{5}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，参数法解题
【点评】
本题是比例相关的基础计算题，核心解题方法是设参数法，该方法是处理连比、等比类问题的常用技巧，计算时注意约分即可快速得到结果，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
7 已知$a=3$，$b=6$，$c$是$a$、$b$的比例中项，那么$c=$
$\pm3\sqrt{2}$
。答案
$\pm3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。本题未说明c是线段长度，因此c可以取正负值，接下来代入a、b的数值计算ab的结果，再开平方化简即可得到c的取值。
【解析】
解：根据比例中项的定义可得：
$c^2 = ab$
将$a=3$，$b=6$代入上式：
$c^2 = 3×6 = 18$
对等式两边开平方并化简二次根式：
$c = \pm\sqrt{18} = \pm3\sqrt{2}$
【答案】
$\pm3\sqrt{2}$
【知识点】
比例中项，平方根运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略非线段场景下比例中项有正负两个取值，导致漏写负的结果，解题时要注意题干是否对取值范围有约束。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。本题未说明c是线段长度，因此c可以取正负值，接下来代入a、b的数值计算ab的结果，再开平方化简即可得到c的取值。
【解析】
解：根据比例中项的定义可得：
$c^2 = ab$
将$a=3$，$b=6$代入上式：
$c^2 = 3×6 = 18$
对等式两边开平方并化简二次根式：
$c = \pm\sqrt{18} = \pm3\sqrt{2}$
【答案】
$\pm3\sqrt{2}$
【知识点】
比例中项，平方根运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略非线段场景下比例中项有正负两个取值，导致漏写负的结果，解题时要注意题干是否对取值范围有约束。
【难度系数】
0.7
⑧已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段AP＝
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
。答案
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题未明确说明AP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算：①当AP为较长线段时，直接用线段AB长度乘黄金比得到AP的长；②当AP为较短线段时，先求出较长线段的长度，再用AB的长度减去较长线段的长度得到AP的长。
【解析】
已知线段$AB=2$，点P是AB的黄金分割点，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况讨论：
1. 若AP为较长线段，则：
$AP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$
2. 若AP为较短线段，则较长线段为BP：
$BP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$
$AP = AB - BP = 2 - (\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 黄金分割的概念
2. 线段长度计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查黄金分割的相关计算，解题时要注意黄金分割点分线段存在两种情况，避免因忽略AP为较短线段的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题未明确说明AP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算：①当AP为较长线段时，直接用线段AB长度乘黄金比得到AP的长；②当AP为较短线段时，先求出较长线段的长度，再用AB的长度减去较长线段的长度得到AP的长。
【解析】
已知线段$AB=2$，点P是AB的黄金分割点，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况讨论：
1. 若AP为较长线段，则：
$AP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$
2. 若AP为较短线段，则较长线段为BP：
$BP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$
$AP = AB - BP = 2 - (\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 黄金分割的概念
2. 线段长度计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查黄金分割的相关计算，解题时要注意黄金分割点分线段存在两种情况，避免因忽略AP为较短线段的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9 线段a与线段c、b、d组成了比例线段，其中$b=1\ \mathrm{cm}$，$c=12\ \mathrm{cm}$，$d=4\ \mathrm{cm}$，则$a=$
$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$
。答案
$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题考查成比例线段的相关计算，解题关键是明确未指定顺序的比例线段需要分情况讨论。首先回忆比例的基本性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积，由于题目仅说明a与b、c、d组成比例线段，未给出四条线段的排列顺序，因此a可分别与b、c、d中的任意一条作为比例的同项（外项或内项），对应三种不同的乘积关系，分别列式求解即可得到a的所有可能值。
【解析】
∵线段a与b、c、d组成比例线段，且未指定比例顺序，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，分三种情况讨论：
1. 当a与b为比例外项（或内项）时，有$a · b = c · d$，代入$b=1\ \mathrm{cm}$，$c=12\ \mathrm{cm}$，$d=4\ \mathrm{cm}$，得：
$a × 1 = 12 × 4$，解得$a=48\ \mathrm{cm}$；
2. 当a与c为比例外项（或内项）时，有$a · c = b · d$，代入数值得：
$a × 12 = 1 × 4$，解得$a=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}$；
3. 当a与d为比例外项（或内项）时，有$a · d = b · c$，代入数值得：
$a × 4 = 1 × 12$，解得$a=3\ \mathrm{cm}$。
综上，a的取值为$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略比例线段未指定排列顺序，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时要注意全面考虑所有可能的比例对应关系，结合比例的基本性质准确计算即可。
【难度系数】
0.6
本题考查成比例线段的相关计算，解题关键是明确未指定顺序的比例线段需要分情况讨论。首先回忆比例的基本性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积，由于题目仅说明a与b、c、d组成比例线段，未给出四条线段的排列顺序，因此a可分别与b、c、d中的任意一条作为比例的同项（外项或内项），对应三种不同的乘积关系，分别列式求解即可得到a的所有可能值。
【解析】
∵线段a与b、c、d组成比例线段，且未指定比例顺序，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，分三种情况讨论：
1. 当a与b为比例外项（或内项）时，有$a · b = c · d$，代入$b=1\ \mathrm{cm}$，$c=12\ \mathrm{cm}$，$d=4\ \mathrm{cm}$，得：
$a × 1 = 12 × 4$，解得$a=48\ \mathrm{cm}$；
2. 当a与c为比例外项（或内项）时，有$a · c = b · d$，代入数值得：
$a × 12 = 1 × 4$，解得$a=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}$；
3. 当a与d为比例外项（或内项）时，有$a · d = b · c$，代入数值得：
$a × 4 = 1 × 12$，解得$a=3\ \mathrm{cm}$。
综上，a的取值为$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$3\mathrm{cm}$或$48\mathrm{cm}$或$\frac{1}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略比例线段未指定排列顺序，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时要注意全面考虑所有可能的比例对应关系，结合比例的基本性质准确计算即可。
【难度系数】
0.6
10 如图，线段AB=a，点P₁是线段AB的黄金分割点(AP₁ ＜ BP₁)，点P₂是线段AP₁的黄金分割点(AP₂ ＜ P₁P₂)，点P₃是线段AP₂的黄金分割点(AP₃ ＜ P₂P₃)，…，以此类推，APₙ的长度是
$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^n a$
。(用字母a和n表示)答案
$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^n a$ [提示：$AP_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}AB=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}a$，$AP_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}AP_1=(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^2 a$，$AP_3=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}AP_2=(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^3 a$，…，$AP_n=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}AP_{n-1}=(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^n a$。]
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：黄金分割点将线段分为较长线段和较短线段，较短线段与整条线段的比值为$1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。第一步先根据黄金分割的比例求出$AP_1$的长度；第二步同理求出$AP_2$、$AP_3$的长度，观察表达式的规律；最后通过归纳推理得到$AP_n$的通用表达式。
【解析】
已知线段$AB=a$，
1. 求$AP_1$的长度：
∵点$P_1$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP_1 ＜ BP_1$，
∴较短线段$AP_1$与$AB$的比值为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
即$AP_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}a$；
2. 求$AP_2$的长度：
∵点$P_2$是线段$AP_1$的黄金分割点，且$AP_2 ＜ P_1P_2$，
同理可得$AP_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AP_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2} × \frac{3-\sqrt{5}}{2}a=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 a$；
3. 求$AP_3$的长度：
∵点$P_3$是线段$AP_2$的黄金分割点，且$AP_3 ＜ P_2P_3$，
同理可得$AP_3=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AP_2=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 a$；
……
以此类推，可归纳得$AP_n=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n a$。
【答案】
$\boxed{(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^n a}$
【知识点】
黄金分割、图形规律探究、线段长度计算
【点评】
本题是规律探究类典型题，解题核心是熟练掌握黄金分割的比例关系，通过计算前几段线段的长度找到变化规律，再通过归纳推理得到通用表达式，既考查基础概念的掌握，也考查归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆黄金分割的定义：黄金分割点将线段分为较长线段和较短线段，较短线段与整条线段的比值为$1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。第一步先根据黄金分割的比例求出$AP_1$的长度；第二步同理求出$AP_2$、$AP_3$的长度，观察表达式的规律；最后通过归纳推理得到$AP_n$的通用表达式。
【解析】
已知线段$AB=a$，
1. 求$AP_1$的长度：
∵点$P_1$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP_1 ＜ BP_1$，
∴较短线段$AP_1$与$AB$的比值为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
即$AP_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}a$；
2. 求$AP_2$的长度：
∵点$P_2$是线段$AP_1$的黄金分割点，且$AP_2 ＜ P_1P_2$，
同理可得$AP_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AP_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2} × \frac{3-\sqrt{5}}{2}a=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 a$；
3. 求$AP_3$的长度：
∵点$P_3$是线段$AP_2$的黄金分割点，且$AP_3 ＜ P_2P_3$，
同理可得$AP_3=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AP_2=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 a$；
……
以此类推，可归纳得$AP_n=(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n a$。
【答案】
$\boxed{(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})^n a}$
【知识点】
黄金分割、图形规律探究、线段长度计算
【点评】
本题是规律探究类典型题，解题核心是熟练掌握黄金分割的比例关系，通过计算前几段线段的长度找到变化规律，再通过归纳推理得到通用表达式，既考查基础概念的掌握，也考查归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
