11 已知：$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}≠0$。
（1）求代数式$\frac{2a + 3b -5c}{a -2b +3c}$的值。
（2）当$2a + b + 3c =44$时，求$a$、$b$、$c$的值。

（1）设$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$，所以$\dfrac{2a + 3b -5c}{a -2b +3c}=\dfrac{2× 2k + 3× 3k -5× 5k}{2k -2× 3k +3× 5k}=-\dfrac{12}{11}$。
（2）由题意，得$2× 2k +3k +3× 5k =44$，解得$k=2$，所以$a=2× 2=4$，$b=3× 2=6$，$c=5× 2=10$。

【分析】
遇到连等的比例式时，常用设参数法简化计算，我们可以设这几个相等的比值为参数k（k≠0），即可将a、b、c都用含k的代数式表示。（1）将用k表示的a、b、c代入所求分式，分子分母的k可直接约去，即可算出分式的值；（2）将用k表示的a、b、c代入已知等式，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，再反推a、b、c的取值即可。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
（1）将$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$代入$\frac{2a + 3b -5c}{a -2b +3c}$得：
分子：$2×2k + 3×3k -5×5k =4k+9k-25k=-12k$
分母：$2k -2×3k +3×5k=2k-6k+15k=11k$
∵$k≠0$，
∴原式=$\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$
（2）将$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$代入$2a + b + 3c =44$得：
$2×2k +3k +3×5k=44$
整理得：$4k+3k+15k=44$，即$22k=44$
解得：$k=2$
∴$a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=5×2=10$
【答案】
（1）$-\dfrac{12}{11}$；（2）$a=4$，$b=6$，$c=10$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例运算的基础题型，核心考查连比式的参数处理技巧，通过设公共参数k可将多个未知量转化为单一参数计算，大幅降低运算难度，解题时需注意题目给出的比值不为0的前提，保证分式约分时的合法性，计算过程要仔细避免运算失误。
【难度系数】
0.8

12 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b)$。
（1）如果$a=1$，$b=2$，$c+d=6$，求$c$、$d$的值。
（2）求证：$\frac{b - a}{d - c}=\frac{b}{d}$。

（1）因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，所以$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{c + d}{d}$。因为$a=1$，$b=2$，$c + d=6$，所以$\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{d}$，所以$d=4$，$c=2$。
（2）设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k(k≠ 1)$，则$a=bk$，$c=dk$，所以$\dfrac{b - a}{d - c}=\dfrac{b - bk}{d - dk}=\dfrac{b(1 - k)}{d(1 - k)}=\dfrac{b}{d}$。

【分析】
（1）已知比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$、$a$和$b$的取值以及$c+d$的和，解题时可利用比例的合比性质，将已知值代入先求出$d$的取值，再结合$c+d=6$即可求出$c$，用合比性质求解更便捷。
（2）证明比例式可采用常用的设$k$法：设已知的两个相等比值为$k$，将$a$、$c$分别用含$b$、$d$、$k$的代数式表示，代入待证式左边化简，结合$a≠b$可知$k≠1$，约去公共因式后即可得到右边的式子，完成证明。
【解析】
（1）解：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据合比性质可得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，
将$a=1$，$b=2$，$c+d=6$代入上式得：
$\frac{1+2}{2}=\frac{6}{d}$，即$\frac{3}{2}=\frac{6}{d}$，
解得$d=4$，
$\therefore c=6-d=6-4=2$。
（2）证明：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，
$\because a≠b$，$\therefore k≠1$，
则$a=bk$，$c=dk$，
代入左边的式子得：
$\frac{b - a}{d - c}=\frac{b - bk}{d - dk}=\frac{b(1 - k)}{d(1 - k)}$，
$\because k≠1$，$\therefore 1-k≠0$，可约去分子分母的公因式$(1-k)$，
$\therefore \frac{b - a}{d - c}=\frac{b}{d}$，原式得证。
【答案】
（1）$c=2$，$d=4$；（2）证明成立，见上述解析。
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，设k法证明比例式
【点评】
本题是比例相关的基础题型，第一问考察比例性质的实际应用，第二问考察比例式的证明方法，熟练掌握合比性质、设k法是解决这类问题的关键，解题时注意比值k的取值范围，避免出现分母为0的情况。
【难度系数】
0.8

13 已知$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，求一次函数$y=2kx +k$的表达式。

因为$\dfrac{b + c}{a}=\dfrac{a + c}{b}=\dfrac{a + b}{c}=k$，所以$b + c = ak$，$a + c = bk$，$a + b = ck$。将上述三个等式相加，得$2(a + b + c)=k(a + b + c)$。当$a + b + c ≠ 0$时，$k=2$；当$a + b + c =0$时，$b + c = -a$，所以$k=\dfrac{b + c}{a}=-1$。所以一次函数的表达式为$y=4x + 2$或$y=-2x -1$。

【分析】
解题时先从已知的连等比例式入手，根据比例的基本性质将比例式转化为整式等式，再将三个整式等式相加整理，此时注意到整理后的等式含有因式(a+b+c)，需要分两种情况讨论求解k值：第一种是a+b+c≠0时，可直接约分求k；第二种是a+b+c=0时，不能直接约分，需将b+c=-a代入原比例式求k，最后将求出的k值代入一次函数表达式即可得到结果。
【解析】
已知$\dfrac{b + c}{a}=\dfrac{a + c}{b}=\dfrac{a + b}{c}=k$，根据比例的基本性质可得：
$b + c = ak$，$a + c = bk$，$a + b = ck$
将上述三个等式左右两边分别相加，得：
$2(a + b + c)=k(a + b + c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a + b + c ≠ 0$时，等式两边同时除以$(a+b+c)$，解得$k=2$，代入$y=2kx +k$得$y=4x+2$；
2. 当$a + b + c =0$时，可得$b + c = -a$，代入$k=\dfrac{b + c}{a}$得$k=\dfrac{-a}{a}=-1$，代入$y=2kx +k$得$y=-2x-1$。
【答案】
$y=4x + 2$或$y=-2x -1$
【知识点】
等比性质，一次函数解析式，分类讨论
【点评】
本题考查比例性质和一次函数解析式的确定，易错点是忽略等比性质的使用前提，遗漏a+b+c=0的情况导致漏解，解题时要注意全面考虑问题，合理运用分类讨论思想。
【难度系数】
0.6

14 已知P、Q是线段AB上的两个黄金分割点。
（1）请推导出线段PQ与线段AB的数量关系。
（2）若$PQ=2\sqrt{5}-4$，求AB的长。

（1）不妨设点P是离端点A更近的黄金分割点。因为$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\dfrac{AQ}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，两式相减得$\dfrac{PQ}{AB}=\sqrt{5}-2$，所以$PQ=(\sqrt{5}-2)AB$。
（2）$AB=2$。

【分析】
解题前先明确黄金分割的核心性质：若点C是线段AB的黄金分割点，且AC为较长线段，则$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，较短线段与AB的比为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
第（1）问思路：首先确定两个黄金分割点的位置，设P是靠近端点A的黄金分割点，Q是靠近端点B的黄金分割点。此时AQ是A到Q的较长段，符合黄金分割的较长段比例；AP是A到P的较短线段，符合较短线段的比例。再根据线段和差关系$PQ=AQ-AP$，将两个比例式相减即可推导PQ与AB的数量关系。
第（2）问思路：将已知的PQ长度代入第（1）问推导得到的数量关系式，通过代数化简求解AB的长度即可。
【解析】
（1）设AB的长度为$a$，点P为靠近端点A的黄金分割点，点Q为靠近端点B的黄金分割点。
根据黄金分割的定义：
较长线段与全线段的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此$AQ=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
则较短线段$AP=AB-BP=a-\frac{\sqrt{5}-1}{2}a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}a$。
由线段和差关系得：
$PQ=AQ-AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a-\frac{3-\sqrt{5}}{2}a=\frac{(\sqrt{5}-1)-(3-\sqrt{5})}{2}a=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}a=(\sqrt{5}-2)a$
即$PQ=(\sqrt{5}-2)AB$。
（2）将$PQ=2\sqrt{5}-4$代入$PQ=(\sqrt{5}-2)AB$得：
$2\sqrt{5}-4=(\sqrt{5}-2)AB$
对左边提取公因式得：$2(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5}-2)AB$
因为$\sqrt{5}-2≠0$，两边同时除以$\sqrt{5}-2$，得$AB=2$。
【答案】
（1）$PQ=(\sqrt{5}-2)AB$；（2）$AB=2$
【知识点】
黄金分割；线段和差计算；代数式化简
【点评】
本题核心是对黄金分割定义的理解与应用，解题的关键是准确判断两个黄金分割点对应的线段比例关系，理清各线段间的和差逻辑，计算难度较低，掌握黄金分割的比例公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.7