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8 如图，CE交$△ ABC$的高AD于点O，交AB于点E，且$CO · BD = AB · OD$，$AB = 5$，$BD = 4$，$OD = 2$，则$CD =$
$\frac{3}{2}$
。答案
8.$\frac{3}{2}$
9 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在边$BC$上，过点$D$作$DE ⊥ AD$交$AB$于点$E$，且$DE=BE$，且$AD^2=AC · AE$，则$∠ B$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
9.30°
⑩ 如图，已知在四边形ABCD中，$∠ DAB=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=CB$，点E、F分别在线段AB、AD上。如果$CE ⊥ BF$，那么$\frac{CE}{BF}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
10.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ [提示:连接CA,则△ABC 为等边三角形,过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G。由∠CGE=∠BAF=90°,∠CEG=∠BFA,可得△GCE ∽△ABF,所以$\frac{CE}{BF}=\frac{CG}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。]
三、解答题
11 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，AD=4，BD=6，BC=9。
求证：AD // BC。
11 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，AD=4，BD=6，BC=9。
求证：AD // BC。
答案
11 因为 AD = 4, BD = 6, BC = 9,所以$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{BD}$。因为∠A = 90°, BD ⊥ DC,所以Rt△ADB ∽ Rt△DBC,所以∠ADB = ∠DBC,所以 AD // BC。
12 如图,四边形ABCD中,AD//BC,E是CD的中点,AD⊥DC, $\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{BC}$。
求证:(1) $△ ADE ∽ △ ECB$。
(2) AE平分∠BAD。
求证:(1) $△ ADE ∽ △ ECB$。
(2) AE平分∠BAD。
答案
12 (1) 因为 AD // BC, AD ⊥ DC,所以 BC ⊥ DC。因为$\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{BC}$,所以 Rt△ADE ∽ Rt△ECB。
(2) 方法一:因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以∠AED = ∠EBC,所以∠EBC + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,所以∠AEB = 90°,所以∠AEB = ∠ADE = 90°。因为点 E 是CD 的中点,所以 DE = CE。因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{EC}$,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{ED}$,所以$\frac{AE}{AD} = \frac{BE}{ED}$,所以△AEB ∽△ADE,所以∠BAE = ∠EAD,所以 AE 平分∠BAD。(方法二:延长 AE 与 BC 相交;方法三:过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M。)
(2) 方法一:因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以∠AED = ∠EBC,所以∠EBC + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,所以∠AEB = 90°,所以∠AEB = ∠ADE = 90°。因为点 E 是CD 的中点,所以 DE = CE。因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{EC}$,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{ED}$,所以$\frac{AE}{AD} = \frac{BE}{ED}$,所以△AEB ∽△ADE,所以∠BAE = ∠EAD,所以 AE 平分∠BAD。(方法二:延长 AE 与 BC 相交;方法三:过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M。)
