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8 如图，CE交$△ ABC$的高AD于点O，交AB于点E，且$CO · BD = AB · OD$，$AB = 5$，$BD = 4$，$OD = 2$，则$CD =$
$\frac{3}{2}$
。答案
8.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先，由AD是△ABC的高可得∠ADB=∠CDO=90°，将题目给出的等积式转化为比例式后，可结合直角相等证明两个直角三角形相似；再用勾股定理求出Rt△ABD中AD的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠CDO=90°，
将$CO · BD = AB · OD$变形为比例式：$\frac{CO}{AB}=\frac{OD}{BD}$，
∴$Rt△ COD ∽ Rt△ BAD$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似），
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$BD=4$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{OD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
代入$OD=2$，$BD=4$，$AD=3$得：
$\frac{2}{4}=\frac{CD}{3}$，
解得$CD=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是将等积式转化为比例式，结合直角三角形的特征判定相似，再结合勾股定理和相似性质求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
首先，由AD是△ABC的高可得∠ADB=∠CDO=90°，将题目给出的等积式转化为比例式后，可结合直角相等证明两个直角三角形相似；再用勾股定理求出Rt△ABD中AD的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠CDO=90°，
将$CO · BD = AB · OD$变形为比例式：$\frac{CO}{AB}=\frac{OD}{BD}$，
∴$Rt△ COD ∽ Rt△ BAD$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似），
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$BD=4$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{OD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
代入$OD=2$，$BD=4$，$AD=3$得：
$\frac{2}{4}=\frac{CD}{3}$，
解得$CD=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是将等积式转化为比例式，结合直角三角形的特征判定相似，再结合勾股定理和相似性质求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
9 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在边$BC$上，过点$D$作$DE ⊥ AD$交$AB$于点$E$，且$DE=BE$，且$AD^2=AC · AE$，则$∠ B$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
9.30°
解析
【分析】
首先从已知的乘积式$AD^2=AC·AE$入手，结合图中的两个直角$∠ C$和$∠ ADE$，可将乘积式转化为比例式，利用直角三角形相似的判定定理证明$△ ACD ∽ △ ADE$，得到角的等量关系；再结合$DE=BE$的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理，推导角之间的倍数关系；最后利用直角三角形两锐角互余的性质建立方程，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
1. 证明$△ ACD ∽ △ ADE$：
$\because DE ⊥ AD$，$\therefore ∠ ADE = ∠ C = 90°$，即$△ ACD$和$△ ADE$都是直角三角形。
由$AD^2=AC·AE$，根据比例的基本性质可得：$\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{AE}$。
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ∽ \mathrm{Rt}△ ADE$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
$\therefore ∠ CAD = ∠ DAE$，$∠ ADC = ∠ AED$。
2. 推导角的倍数关系：
$\because DE=BE$，$\therefore ∠ EDB = ∠ B$（等边对等角）。
$\because ∠ AED$是$△ EDB$的外角，$\therefore ∠ AED = ∠ EDB + ∠ B = 2∠ B$。
结合$∠ ADC = ∠ AED$，可得$∠ ADC = 2∠ B$。
3. 求解$∠ B$：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ CAD + ∠ ADC = 90°$，代入得：$∠ CAD + 2∠ B = 90°$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ CAB + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ CAB = ∠ CAD + ∠ DAE = 2∠ CAD$（已证$∠ CAD=∠ DAE$），代入得：$2∠ CAD + ∠ B = 90°$ ②。
设$∠ B=x$，$∠ CAD=y$，联立①②得方程组：
$\begin{cases}y + 2x = 90° \\2y + x = 90°\end{cases}$
解得$x=30°$，即$∠ B=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何小综合题，核心是通过乘积式构造相似三角形得到角的等量关系，再结合等腰三角形、外角定理和直角三角形的角的性质建立关系求解，对几何角的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先从已知的乘积式$AD^2=AC·AE$入手，结合图中的两个直角$∠ C$和$∠ ADE$，可将乘积式转化为比例式，利用直角三角形相似的判定定理证明$△ ACD ∽ △ ADE$，得到角的等量关系；再结合$DE=BE$的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理，推导角之间的倍数关系；最后利用直角三角形两锐角互余的性质建立方程，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
1. 证明$△ ACD ∽ △ ADE$：
$\because DE ⊥ AD$，$\therefore ∠ ADE = ∠ C = 90°$，即$△ ACD$和$△ ADE$都是直角三角形。
由$AD^2=AC·AE$，根据比例的基本性质可得：$\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{AE}$。
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ∽ \mathrm{Rt}△ ADE$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
$\therefore ∠ CAD = ∠ DAE$，$∠ ADC = ∠ AED$。
2. 推导角的倍数关系：
$\because DE=BE$，$\therefore ∠ EDB = ∠ B$（等边对等角）。
$\because ∠ AED$是$△ EDB$的外角，$\therefore ∠ AED = ∠ EDB + ∠ B = 2∠ B$。
结合$∠ ADC = ∠ AED$，可得$∠ ADC = 2∠ B$。
3. 求解$∠ B$：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ CAD + ∠ ADC = 90°$，代入得：$∠ CAD + 2∠ B = 90°$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ CAB + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ CAB = ∠ CAD + ∠ DAE = 2∠ CAD$（已证$∠ CAD=∠ DAE$），代入得：$2∠ CAD + ∠ B = 90°$ ②。
设$∠ B=x$，$∠ CAD=y$，联立①②得方程组：
$\begin{cases}y + 2x = 90° \\2y + x = 90°\end{cases}$
解得$x=30°$，即$∠ B=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何小综合题，核心是通过乘积式构造相似三角形得到角的等量关系，再结合等腰三角形、外角定理和直角三角形的角的性质建立关系求解，对几何角的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，已知在四边形ABCD中，$∠ DAB=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=CB$，点E、F分别在线段AB、AD上。如果$CE ⊥ BF$，那么$\frac{CE}{BF}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
10.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ [提示:连接CA,则△ABC 为等边三角形,过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G。由∠CGE=∠BAF=90°,∠CEG=∠BFA,可得△GCE ∽△ABF,所以$\frac{CE}{BF}=\frac{CG}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。]
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件AB=CB、∠ABC=60°，可判定△ABC是等边三角形，由此得到等边三角形边长与高的数量关系。要求CE与BF的比值，结合CE⊥BF、∠DAB=90°的条件，考虑通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解：过点C作CG⊥AB于G，可得到两个直角三角形△CGE和△BAF，再通过角的互余关系推导对应角相等，证明两个三角形相似，即可通过相似比得到所求线段的比值。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB=CB，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
2. 过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠CGE=90°，
∵△ABC是等边三角形，CG是等边△ABC的高，可得$CG=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
3. 已知∠DAB=90°，
∴∠BAF=∠CGE=90°。
4.
∵CE⊥BF，
∴∠ABF + ∠CEB=90°，又
∵在Rt△CGE中，∠GCE + ∠CEB=90°，
∴∠GCE=∠ABF。
5. 在△CGE和△BAF中：$\{\begin{array}{l}∠CGE=∠BAF=90° \\ ∠GCE=∠ABF\end{array} $，
∴△CGE∽△BAF（两角分别相等的两个三角形相似）。
6. 根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CE}{BF}=\frac{CG}{AB}$，将$CG=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$代入，得$\frac{CE}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何线段比值计算类题目，解题核心是合理构造辅助线，通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形相似，将所求线段比转化为已知的等边三角形高与边长的比，考查了学生的几何辅助线构造能力和相似三角形的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知条件AB=CB、∠ABC=60°，可判定△ABC是等边三角形，由此得到等边三角形边长与高的数量关系。要求CE与BF的比值，结合CE⊥BF、∠DAB=90°的条件，考虑通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解：过点C作CG⊥AB于G，可得到两个直角三角形△CGE和△BAF，再通过角的互余关系推导对应角相等，证明两个三角形相似，即可通过相似比得到所求线段的比值。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB=CB，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
2. 过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠CGE=90°，
∵△ABC是等边三角形，CG是等边△ABC的高，可得$CG=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
3. 已知∠DAB=90°，
∴∠BAF=∠CGE=90°。
4.
∵CE⊥BF，
∴∠ABF + ∠CEB=90°，又
∵在Rt△CGE中，∠GCE + ∠CEB=90°，
∴∠GCE=∠ABF。
5. 在△CGE和△BAF中：$\{\begin{array}{l}∠CGE=∠BAF=90° \\ ∠GCE=∠ABF\end{array} $，
∴△CGE∽△BAF（两角分别相等的两个三角形相似）。
6. 根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CE}{BF}=\frac{CG}{AB}$，将$CG=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$代入，得$\frac{CE}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何线段比值计算类题目，解题核心是合理构造辅助线，通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形相似，将所求线段比转化为已知的等边三角形高与边长的比，考查了学生的几何辅助线构造能力和相似三角形的应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，AD=4，BD=6，BC=9。
求证：AD // BC。
11 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，AD=4，BD=6，BC=9。
求证：AD // BC。
答案
11 因为 AD = 4, BD = 6, BC = 9,所以$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{BD}$。因为∠A = 90°, BD ⊥ DC,所以Rt△ADB ∽ Rt△DBC,所以∠ADB = ∠DBC,所以 AD // BC。
解析
【分析】
要证明AD//BC，可先证两条直线被BD所截得的内错角∠ADB=∠DBC。观察两角分别在Rt△ADB和Rt△DBC中，已知两个三角形均为直角三角形，且给出了相关边长，可先计算两组边的比值，验证直角边是否对应成比例，若成比例即可判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到内错角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
已知AD=4，BD=6，BC=9，
计算比例得：$\frac{BD}{AD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{BD}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，因此$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$。
又
∵∠A=90°，BD⊥DC，
∴∠A=∠BDC=90°，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得Rt△ADB∽Rt△DBC，
由相似三角形对应角相等，得∠ADB=∠DBC，
根据内错角相等，两直线平行，可证得AD//BC。
【答案】
因为 AD = 4, BD = 6, BC = 9,所以$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{BD}$。因为∠A = 90°, BD ⊥ DC,所以Rt△ADB ∽ Rt△DBC,所以∠ADB = ∠DBC,所以 AD // BC。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的判定
【点评】
本题属于基础应用类题目，将相似三角形的判定与平行线的判定结合考查，解题的关键是通过边长比例关系推导三角形相似，进而得到角的等量关系，逻辑清晰，侧重对基础知识点融合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要证明AD//BC，可先证两条直线被BD所截得的内错角∠ADB=∠DBC。观察两角分别在Rt△ADB和Rt△DBC中，已知两个三角形均为直角三角形，且给出了相关边长，可先计算两组边的比值，验证直角边是否对应成比例，若成比例即可判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到内错角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
已知AD=4，BD=6，BC=9，
计算比例得：$\frac{BD}{AD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{BD}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，因此$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$。
又
∵∠A=90°，BD⊥DC，
∴∠A=∠BDC=90°，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得Rt△ADB∽Rt△DBC，
由相似三角形对应角相等，得∠ADB=∠DBC，
根据内错角相等，两直线平行，可证得AD//BC。
【答案】
因为 AD = 4, BD = 6, BC = 9,所以$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{BD}$。因为∠A = 90°, BD ⊥ DC,所以Rt△ADB ∽ Rt△DBC,所以∠ADB = ∠DBC,所以 AD // BC。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的判定
【点评】
本题属于基础应用类题目，将相似三角形的判定与平行线的判定结合考查，解题的关键是通过边长比例关系推导三角形相似，进而得到角的等量关系，逻辑清晰，侧重对基础知识点融合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12 如图,四边形ABCD中,AD//BC,E是CD的中点,AD⊥DC, $\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{BC}$。
求证:(1) $△ ADE ∽ △ ECB$。
(2) AE平分∠BAD。
求证:(1) $△ ADE ∽ △ ECB$。
(2) AE平分∠BAD。
答案
12 (1) 因为 AD // BC, AD ⊥ DC,所以 BC ⊥ DC。因为$\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{BC}$,所以 Rt△ADE ∽ Rt△ECB。
(2) 方法一:因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以∠AED = ∠EBC,所以∠EBC + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,所以∠AEB = 90°,所以∠AEB = ∠ADE = 90°。因为点 E 是CD 的中点,所以 DE = CE。因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{EC}$,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{ED}$,所以$\frac{AE}{AD} = \frac{BE}{ED}$,所以△AEB ∽△ADE,所以∠BAE = ∠EAD,所以 AE 平分∠BAD。(方法二:延长 AE 与 BC 相交;方法三:过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M。)
(2) 方法一:因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以∠AED = ∠EBC,所以∠EBC + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,所以∠AEB = 90°,所以∠AEB = ∠ADE = 90°。因为点 E 是CD 的中点,所以 DE = CE。因为 Rt△ADE ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{EC}$,所以$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{ED}$,所以$\frac{AE}{AD} = \frac{BE}{ED}$,所以△AEB ∽△ADE,所以∠BAE = ∠EAD,所以 AE 平分∠BAD。(方法二:延长 AE 与 BC 相交;方法三:过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M。)
解析
【分析】
先看第(1)问，要证△ADE∽△ECB：首先由AD//BC、AD⊥DC可推出两个三角形都是直角三角形，结合已知给出的边成比例条件，符合直角三角形相似的判定规则，直接可证相似。再看第(2)问，要证AE平分∠BAD，即证∠BAE=∠DAE：先利用第(1)问的相似结论推导角的关系，得到∠AEB为直角，再结合E是CD中点的条件，转化边的比例关系，证明△AEB和△ADE相似，即可得到对应角相等，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，AD⊥DC，
∴BC⊥DC，即∠D=∠C=90°，△ADE和△ECB均为直角三角形。
又
∵$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{BC}$，
∴Rt△ADE ∽ Rt△ECB。
(2) 证明：
∵Rt△ADE ∽ Rt△ECB，
∴∠AED = ∠EBC。
在Rt△ECB中，∠EBC + ∠BEC = 90°，
∴∠AED + ∠BEC = 90°，
∴∠AEB = 180°-(∠AED + ∠BEC)=90°，即∠AEB=∠ADE=90°。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE。
由Rt△ADE ∽ Rt△ECB得$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{EC}$，代入EC=DE可得$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{ED}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{ED}$。
在△AEB和△ADE中，$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{ED}$，∠AEB=∠ADE=90°，
∴△AEB ∽ △ADE，
∴∠BAE = ∠EAD，即AE平分∠BAD。
【答案】
(1) 已证△ADE ∽ △ECB；
(2) 已证AE平分∠BAD。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，第一问可直接利用直角三角形相似的判定定理证明，第二问需要结合第一问的结论推导边、角关系，再通过新的相似关系证明角相等，解题时要注意关联前后问题，灵活运用已证结论简化推导。
【难度系数】
0.7
先看第(1)问，要证△ADE∽△ECB：首先由AD//BC、AD⊥DC可推出两个三角形都是直角三角形，结合已知给出的边成比例条件，符合直角三角形相似的判定规则，直接可证相似。再看第(2)问，要证AE平分∠BAD，即证∠BAE=∠DAE：先利用第(1)问的相似结论推导角的关系，得到∠AEB为直角，再结合E是CD中点的条件，转化边的比例关系，证明△AEB和△ADE相似，即可得到对应角相等，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，AD⊥DC，
∴BC⊥DC，即∠D=∠C=90°，△ADE和△ECB均为直角三角形。
又
∵$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{BC}$，
∴Rt△ADE ∽ Rt△ECB。
(2) 证明：
∵Rt△ADE ∽ Rt△ECB，
∴∠AED = ∠EBC。
在Rt△ECB中，∠EBC + ∠BEC = 90°，
∴∠AED + ∠BEC = 90°，
∴∠AEB = 180°-(∠AED + ∠BEC)=90°，即∠AEB=∠ADE=90°。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE。
由Rt△ADE ∽ Rt△ECB得$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{EC}$，代入EC=DE可得$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{ED}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{ED}$。
在△AEB和△ADE中，$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{ED}$，∠AEB=∠ADE=90°，
∴△AEB ∽ △ADE，
∴∠BAE = ∠EAD，即AE平分∠BAD。
【答案】
(1) 已证△ADE ∽ △ECB；
(2) 已证AE平分∠BAD。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，第一问可直接利用直角三角形相似的判定定理证明，第二问需要结合第一问的结论推导边、角关系，再通过新的相似关系证明角相等，解题时要注意关联前后问题，灵活运用已证结论简化推导。
【难度系数】
0.7
