13 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点D是AB边上一点,过点B作$BE ⊥ CD$交CD延长线于点E,已知$AD · BC = BE · CD$。
(1) 求证:$BE^2 = ED · EC$。
(2) 求证:$AB · BC = 2CE · BE$。

13 (1) 因为 AD·BC = BE·CD,所以$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$。在Rt△ADC 与Rt△BEC 中,∠E=∠A=90°,$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$,所以△ADC ∽△EBC。所以∠ACD = ∠BCE,∠ADC = ∠EBC。又因为∠ADC = ∠EDB,所以∠EDB = ∠EBC。在△EBD 与△ECB 中,∠EDB = ∠EBC,∠E 是公共角,所以△EBD ∽△ECB,所以$\frac{ED}{BE} = \frac{BE}{EC}$,即 $BE^2 = ED · EC$。
(2) 延长 CA、BE 交于点 H。因为∠ACD = ∠BCE,∠BEC = 90°,由三角形内角和可得∠EBC = ∠H,所以 BC = CH。又因为∠ACD = ∠BCE,所以 BH = 2BE = 2EH。在Rt△ABH 与 Rt△BEC 中,∠BEC = ∠BAH = 90°,∠EBC = ∠H,所以 Rt△ABH ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AB}{CE} = \frac{BH}{BC}$,即 $AB · BC = 2BE · CE$。

14 如图,在正方形ABCD中,连接BD,E是边AB上一点,BF⊥DE,垂足为点F,且EF·BD=BE·BF。
(1) 求证:∠ADE=∠BDE。
(2) 延长DF,与CB的延长线交于点G。求证:BG=BC+AE。

14 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形,所以∠A = 90°。因为 BF ⊥ DE,所以∠BFE = ∠A = 90°。因为 EF·BD = BE·BF,所以$\frac{EF}{BF} = \frac{BE}{BD}$,所以 Rt△FBE ∽ Rt△FDB,所以∠FBE = ∠BDE。因为∠AEF = ∠BFE + ∠FBE = ∠A + ∠ADE,所以∠FBE = ∠ADE。所以∠ADE = ∠BDE。
(2) 过点 E 作 EH ⊥ BD,垂足为点 H。因为∠A = ∠EHD = 90°,∠ADE = ∠BDE, DE = DE,所以△ADE ≌△HDE。所以 AE = HE, AD = HD。因为 AD = BC,所以 HD = BC。因为四边形 ABCD 是正方形,所以∠EBD = 45°。因为∠EHB = 90°,所以∠HEB = 45°,所以∠EBD = ∠HEB,所以 EH = BH,所以 AE = BH。因为 AD // GC,所以∠ADE = ∠BGE。因为∠ADE = ∠BDE,所以∠BGE = ∠BDE,所以 BG = BD。因为 BD = HD + BH,所以 BG = BC + AE。

15 如图，$∠ ABC=90°$，$AD＜AB$，$AD// BC$，$P$为线段$BD$上的一点，$PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，垂足分别为点$E$、$F$。点$Q$在线段$AB$的延长线上，且满足$\frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$。
（1）求证：$PE· AB=PF· AD$。
（2）求$∠ QPC$的度数。

15 (1) 因为 PE ⊥ AB, PF ⊥ BC,∠ABC = 90°,所以∠EBF = ∠PFB = ∠PEB = 90°,所以四边形 PEBF 为矩形,所以 PF = BE, PE // BC。因为 AD // BC,所以 PE // AD,所以△PEB ∽△DAB,所以$\frac{PE}{AD} = \frac{BE}{AB}$,所以 PE·AB = BE·AD,所以 PE·AB = PF·AD。
(2) 因为四边形 PEBF 为矩形,所以∠EPF = 90°。因为 PE·AB = PF·AD,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{AD}{AB}$,因为$\frac{PQ}{PC} = \frac{AD}{AB}$,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{PQ}{PC}$,所以 Rt△PEQ ∽ Rt△PFC,所以∠EPQ = ∠FPC,所以∠QPC = ∠QPF + ∠FPC = ∠QPF + ∠EPQ = 90°。