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13 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点D是AB边上一点,过点B作$BE ⊥ CD$交CD延长线于点E,已知$AD · BC = BE · CD$。
(1) 求证:$BE^2 = ED · EC$。
(2) 求证:$AB · BC = 2CE · BE$。
(1) 求证:$BE^2 = ED · EC$。
(2) 求证:$AB · BC = 2CE · BE$。
答案
13 (1) 因为 AD·BC = BE·CD,所以$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$。在Rt△ADC 与Rt△BEC 中,∠E=∠A=90°,$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$,所以△ADC ∽△EBC。所以∠ACD = ∠BCE,∠ADC = ∠EBC。又因为∠ADC = ∠EDB,所以∠EDB = ∠EBC。在△EBD 与△ECB 中,∠EDB = ∠EBC,∠E 是公共角,所以△EBD ∽△ECB,所以$\frac{ED}{BE} = \frac{BE}{EC}$,即 $BE^2 = ED · EC$。
(2) 延长 CA、BE 交于点 H。因为∠ACD = ∠BCE,∠BEC = 90°,由三角形内角和可得∠EBC = ∠H,所以 BC = CH。又因为∠ACD = ∠BCE,所以 BH = 2BE = 2EH。在Rt△ABH 与 Rt△BEC 中,∠BEC = ∠BAH = 90°,∠EBC = ∠H,所以 Rt△ABH ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AB}{CE} = \frac{BH}{BC}$,即 $AB · BC = 2BE · CE$。
(2) 延长 CA、BE 交于点 H。因为∠ACD = ∠BCE,∠BEC = 90°,由三角形内角和可得∠EBC = ∠H,所以 BC = CH。又因为∠ACD = ∠BCE,所以 BH = 2BE = 2EH。在Rt△ABH 与 Rt△BEC 中,∠BEC = ∠BAH = 90°,∠EBC = ∠H,所以 Rt△ABH ∽ Rt△ECB,所以$\frac{AB}{CE} = \frac{BH}{BC}$,即 $AB · BC = 2BE · CE$。
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$BE^2 = ED·EC$，可先将其转化为比例式$\frac{ED}{BE}=\frac{BE}{EC}$，只需证明$△ EBD ∽ △ ECB$即可。首先将已知条件$AD·BC = BE·CD$转化为比例式，结合$∠ A=∠ E=90°$，先证明$△ ADC ∽ △ EBC$，得到对应角相等，再通过对顶角相等进行角的代换，即可得到$△ EBD$和$△ ECB$的两组对应角相等，证得相似后即可推出待证等积式。
(2) 要证明含系数2的等积式$AB·BC = 2CE·BE$，可先构造倍长线段，因此延长$CA$、$BE$交于点$H$，利用第一问得到的等角关系证明$△ BCH$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到$BH=2BE$，再证明$△ ABH ∽ △ ECB$，得到对应比例式后代入$BH=2BE$即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD·BC = BE·CD$，$\therefore \frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$与$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ E=∠ A=90°$，$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$，
$\therefore △ ADC ∽ △ EBC$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCE$，$∠ ADC = ∠ EBC$。
又$\because ∠ ADC = ∠ EDB$，$\therefore ∠ EDB = ∠ EBC$。
在$△ EBD$与$△ ECB$中，$\begin{cases} ∠ EDB = ∠ EBC \\ ∠ E = ∠ E \end{cases}$，
$\therefore △ EBD ∽ △ ECB$，
$\therefore \frac{ED}{BE} = \frac{BE}{EC}$，即 $BE^2 = ED · EC$。
(2) 证明：
延长 $CA$、$BE$ 交于点 $H$。
$\because ∠ ACD = ∠ BCE$，$∠ BEC = 90°$，由三角形内角和可得$∠ EBC = ∠ H$，
$\therefore BC = CH$。
又$\because ∠ ACD = ∠ BCE$，即$CE$平分$∠ BCH$，且$CE⊥ BH$，
$\therefore BH = 2BE = 2EH$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$与 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中，$\begin{cases} ∠ BEC = ∠ BAH = 90° \\ ∠ EBC = ∠ H \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABH ∽ \mathrm{Rt}△ ECB$，
$\therefore \frac{AB}{CE} = \frac{BH}{BC}$，即 $AB · BC = BH·CE$，
将$BH=2BE$代入，得$AB · BC = 2BE · CE$。
【答案】
(1) 已证$BE^2 = ED · EC$；
(2) 已证$AB · BC = 2CE · BE$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等积式证明
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是掌握等积式与比例式的互化方法，学会通过角的等量代换寻找相似三角形，对于含系数的等积式要合理构造辅助线得到倍长线段，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明等积式$BE^2 = ED·EC$，可先将其转化为比例式$\frac{ED}{BE}=\frac{BE}{EC}$，只需证明$△ EBD ∽ △ ECB$即可。首先将已知条件$AD·BC = BE·CD$转化为比例式，结合$∠ A=∠ E=90°$，先证明$△ ADC ∽ △ EBC$，得到对应角相等，再通过对顶角相等进行角的代换，即可得到$△ EBD$和$△ ECB$的两组对应角相等，证得相似后即可推出待证等积式。
(2) 要证明含系数2的等积式$AB·BC = 2CE·BE$，可先构造倍长线段，因此延长$CA$、$BE$交于点$H$，利用第一问得到的等角关系证明$△ BCH$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到$BH=2BE$，再证明$△ ABH ∽ △ ECB$，得到对应比例式后代入$BH=2BE$即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD·BC = BE·CD$，$\therefore \frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$与$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ E=∠ A=90°$，$\frac{AD}{BE} = \frac{CD}{BC}$，
$\therefore △ ADC ∽ △ EBC$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCE$，$∠ ADC = ∠ EBC$。
又$\because ∠ ADC = ∠ EDB$，$\therefore ∠ EDB = ∠ EBC$。
在$△ EBD$与$△ ECB$中，$\begin{cases} ∠ EDB = ∠ EBC \\ ∠ E = ∠ E \end{cases}$，
$\therefore △ EBD ∽ △ ECB$，
$\therefore \frac{ED}{BE} = \frac{BE}{EC}$，即 $BE^2 = ED · EC$。
(2) 证明：
延长 $CA$、$BE$ 交于点 $H$。
$\because ∠ ACD = ∠ BCE$，$∠ BEC = 90°$，由三角形内角和可得$∠ EBC = ∠ H$，
$\therefore BC = CH$。
又$\because ∠ ACD = ∠ BCE$，即$CE$平分$∠ BCH$，且$CE⊥ BH$，
$\therefore BH = 2BE = 2EH$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$与 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中，$\begin{cases} ∠ BEC = ∠ BAH = 90° \\ ∠ EBC = ∠ H \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABH ∽ \mathrm{Rt}△ ECB$，
$\therefore \frac{AB}{CE} = \frac{BH}{BC}$，即 $AB · BC = BH·CE$，
将$BH=2BE$代入，得$AB · BC = 2BE · CE$。
【答案】
(1) 已证$BE^2 = ED · EC$；
(2) 已证$AB · BC = 2CE · BE$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等积式证明
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是掌握等积式与比例式的互化方法，学会通过角的等量代换寻找相似三角形，对于含系数的等积式要合理构造辅助线得到倍长线段，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14 如图,在正方形ABCD中,连接BD,E是边AB上一点,BF⊥DE,垂足为点F,且EF·BD=BE·BF。
(1) 求证:∠ADE=∠BDE。
(2) 延长DF,与CB的延长线交于点G。求证:BG=BC+AE。
(1) 求证:∠ADE=∠BDE。
(2) 延长DF,与CB的延长线交于点G。求证:BG=BC+AE。
答案
14 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形,所以∠A = 90°。因为 BF ⊥ DE,所以∠BFE = ∠A = 90°。因为 EF·BD = BE·BF,所以$\frac{EF}{BF} = \frac{BE}{BD}$,所以 Rt△FBE ∽ Rt△FDB,所以∠FBE = ∠BDE。因为∠AEF = ∠BFE + ∠FBE = ∠A + ∠ADE,所以∠FBE = ∠ADE。所以∠ADE = ∠BDE。
(2) 过点 E 作 EH ⊥ BD,垂足为点 H。因为∠A = ∠EHD = 90°,∠ADE = ∠BDE, DE = DE,所以△ADE ≌△HDE。所以 AE = HE, AD = HD。因为 AD = BC,所以 HD = BC。因为四边形 ABCD 是正方形,所以∠EBD = 45°。因为∠EHB = 90°,所以∠HEB = 45°,所以∠EBD = ∠HEB,所以 EH = BH,所以 AE = BH。因为 AD // GC,所以∠ADE = ∠BGE。因为∠ADE = ∠BDE,所以∠BGE = ∠BDE,所以 BG = BD。因为 BD = HD + BH,所以 BG = BC + AE。
(2) 过点 E 作 EH ⊥ BD,垂足为点 H。因为∠A = ∠EHD = 90°,∠ADE = ∠BDE, DE = DE,所以△ADE ≌△HDE。所以 AE = HE, AD = HD。因为 AD = BC,所以 HD = BC。因为四边形 ABCD 是正方形,所以∠EBD = 45°。因为∠EHB = 90°,所以∠HEB = 45°,所以∠EBD = ∠HEB,所以 EH = BH,所以 AE = BH。因为 AD // GC,所以∠ADE = ∠BGE。因为∠ADE = ∠BDE,所以∠BGE = ∠BDE,所以 BG = BD。因为 BD = HD + BH,所以 BG = BC + AE。
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADE=∠BDE，首先将已知乘积等式转化为比例式，结合垂直条件得到的直角，证明三角形相似得到一组角相等，再利用三角形外角的性质建立角的等量关系，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证明线段和的结论BG=BC+AE，采用截长补短思路，过点E作BD的垂线构造全等三角形，利用角平分线性质得到线段相等，再结合正方形的性质、等腰三角形判定，将BD拆分为两段进行等量代换，最终推导出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = 90°。
∵BF ⊥ DE，
∴∠BFE = ∠A = 90°。
已知$EF·BD = BE·BF$，整理得$\frac{EF}{BF} = \frac{BE}{BD}$，
∴$Rt△FBE ∽ Rt△FDB$，
∴∠FBE = ∠BDE。
∵∠AEF = ∠BFE + ∠FBE = ∠A + ∠ADE，且∠BFE=∠A=90°，
∴∠FBE = ∠ADE，
∴∠ADE = ∠BDE。
(2) 证明：过点E作$EH ⊥ BD$，垂足为点H。
∵∠A = ∠EHD = 90°，∠ADE = ∠BDE，$DE = DE$，
∴$△ADE ≌ △HDE$（AAS），
∴$AE = HE$，$AD = HD$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=BC$，∠EBD=45°，
∴$HD = BC$。
∵∠EHB = 90°，
∴∠HEB = 90°-45°=45°，
∴∠EBD = ∠HEB，
∴$EH = BH$，
∴$AE = BH$。
∵$AD // GC$，
∴∠ADE = ∠BGE，
又
∵∠ADE = ∠BDE，
∴∠BGE = ∠BDE，
∴$BG = BD$。
∵$BD = HD + BH$，代入$HD=BC$、$BH=AE$得：
$BG = BC + AE$。
【答案】
(1) ∠ADE=∠BDE成立；(2) BG=BC+AE成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题综合了特殊四边形、三角形相似、全等的核心考点，解题时需要灵活转化已知的乘积条件，合理构造辅助线完成角和线段的等量代换，对几何逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠ADE=∠BDE，首先将已知乘积等式转化为比例式，结合垂直条件得到的直角，证明三角形相似得到一组角相等，再利用三角形外角的性质建立角的等量关系，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证明线段和的结论BG=BC+AE，采用截长补短思路，过点E作BD的垂线构造全等三角形，利用角平分线性质得到线段相等，再结合正方形的性质、等腰三角形判定，将BD拆分为两段进行等量代换，最终推导出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = 90°。
∵BF ⊥ DE，
∴∠BFE = ∠A = 90°。
已知$EF·BD = BE·BF$，整理得$\frac{EF}{BF} = \frac{BE}{BD}$，
∴$Rt△FBE ∽ Rt△FDB$，
∴∠FBE = ∠BDE。
∵∠AEF = ∠BFE + ∠FBE = ∠A + ∠ADE，且∠BFE=∠A=90°，
∴∠FBE = ∠ADE，
∴∠ADE = ∠BDE。
(2) 证明：过点E作$EH ⊥ BD$，垂足为点H。
∵∠A = ∠EHD = 90°，∠ADE = ∠BDE，$DE = DE$，
∴$△ADE ≌ △HDE$（AAS），
∴$AE = HE$，$AD = HD$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=BC$，∠EBD=45°，
∴$HD = BC$。
∵∠EHB = 90°，
∴∠HEB = 90°-45°=45°，
∴∠EBD = ∠HEB，
∴$EH = BH$，
∴$AE = BH$。
∵$AD // GC$，
∴∠ADE = ∠BGE，
又
∵∠ADE = ∠BDE，
∴∠BGE = ∠BDE，
∴$BG = BD$。
∵$BD = HD + BH$，代入$HD=BC$、$BH=AE$得：
$BG = BC + AE$。
【答案】
(1) ∠ADE=∠BDE成立；(2) BG=BC+AE成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题综合了特殊四边形、三角形相似、全等的核心考点，解题时需要灵活转化已知的乘积条件，合理构造辅助线完成角和线段的等量代换，对几何逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
15 如图，$∠ ABC=90°$，$AD＜AB$，$AD// BC$，$P$为线段$BD$上的一点，$PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，垂足分别为点$E$、$F$。点$Q$在线段$AB$的延长线上，且满足$\frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$。
（1）求证：$PE· AB=PF· AD$。
（2）求$∠ QPC$的度数。
（1）求证：$PE· AB=PF· AD$。
（2）求$∠ QPC$的度数。
答案
15 (1) 因为 PE ⊥ AB, PF ⊥ BC,∠ABC = 90°,所以∠EBF = ∠PFB = ∠PEB = 90°,所以四边形 PEBF 为矩形,所以 PF = BE, PE // BC。因为 AD // BC,所以 PE // AD,所以△PEB ∽△DAB,所以$\frac{PE}{AD} = \frac{BE}{AB}$,所以 PE·AB = BE·AD,所以 PE·AB = PF·AD。
(2) 因为四边形 PEBF 为矩形,所以∠EPF = 90°。因为 PE·AB = PF·AD,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{AD}{AB}$,因为$\frac{PQ}{PC} = \frac{AD}{AB}$,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{PQ}{PC}$,所以 Rt△PEQ ∽ Rt△PFC,所以∠EPQ = ∠FPC,所以∠QPC = ∠QPF + ∠FPC = ∠QPF + ∠EPQ = 90°。
(2) 因为四边形 PEBF 为矩形,所以∠EPF = 90°。因为 PE·AB = PF·AD,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{AD}{AB}$,因为$\frac{PQ}{PC} = \frac{AD}{AB}$,所以$\frac{PE}{PF} = \frac{PQ}{PC}$,所以 Rt△PEQ ∽ Rt△PFC,所以∠EPQ = ∠FPC,所以∠QPC = ∠QPF + ∠FPC = ∠QPF + ∠EPQ = 90°。
解析
【分析】
（1）要证明$PE·AB=PF·AD$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{PE}{AD}=\frac{PF}{AB}$。由已知的垂直关系和$∠ABC=90°$可先判定四边形$PEBF$是矩形，得到$PF=BE$且$PE// BC$，结合$AD// BC$推出$PE// AD$，进而得到$△ PEB ∽ △ DAB$，将比例式中的$BE$替换为$PF$即可得证。
（2）求$∠QPC$的度数，可先利用（1）的结论得到$\frac{PE}{PF}=\frac{AD}{AB}$，结合题目给出的$\frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$，得到直角三角形的直角边对应成比例，证明$Rt△ PEQ ∽ Rt△ PFC$，得到对应角相等，再通过角的和差转化即可推出$∠QPC$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$∠ABC=90°$，
$\therefore ∠EBF=∠PFB=∠PEB=90°$，
$\therefore$ 四边形$PEBF$为矩形，
$\therefore PF=BE$，$PE// BC$，
又$\because AD// BC$，
$\therefore PE// AD$，
$\therefore △ PEB ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{PE}{AD}=\frac{BE}{AB}$，
将$BE=PF$代入得$\frac{PE}{AD}=\frac{PF}{AB}$，
交叉相乘得$PE·AB=PF·AD$，得证。
（2）解：$\because$ 四边形$PEBF$为矩形，
$\therefore ∠EPF=90°$，
由（1）的结论$PE·AB=PF·AD$变形得$\frac{PE}{PF}=\frac{AD}{AB}$，
又$\because \frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore \frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PC}$，
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，
$\therefore ∠PEQ=∠PFC=90°$，
$\therefore Rt△ PEQ ∽ Rt△ PFC$，
$\therefore ∠EPQ=∠FPC$，
$\therefore ∠QPC=∠QPF+∠FPC=∠QPF+∠EPQ=∠EPF=90°$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boxed{90°}$
【知识点】
矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考察了矩形、相似三角形的相关知识，第一问是基础的比例转化，第二问需要结合第一问的结论寻找相似三角形，通过导角得到角度，解题时要注意前后设问的关联性，学会灵活转化比例关系与角的关系。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$PE·AB=PF·AD$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{PE}{AD}=\frac{PF}{AB}$。由已知的垂直关系和$∠ABC=90°$可先判定四边形$PEBF$是矩形，得到$PF=BE$且$PE// BC$，结合$AD// BC$推出$PE// AD$，进而得到$△ PEB ∽ △ DAB$，将比例式中的$BE$替换为$PF$即可得证。
（2）求$∠QPC$的度数，可先利用（1）的结论得到$\frac{PE}{PF}=\frac{AD}{AB}$，结合题目给出的$\frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$，得到直角三角形的直角边对应成比例，证明$Rt△ PEQ ∽ Rt△ PFC$，得到对应角相等，再通过角的和差转化即可推出$∠QPC$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$∠ABC=90°$，
$\therefore ∠EBF=∠PFB=∠PEB=90°$，
$\therefore$ 四边形$PEBF$为矩形，
$\therefore PF=BE$，$PE// BC$，
又$\because AD// BC$，
$\therefore PE// AD$，
$\therefore △ PEB ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{PE}{AD}=\frac{BE}{AB}$，
将$BE=PF$代入得$\frac{PE}{AD}=\frac{PF}{AB}$，
交叉相乘得$PE·AB=PF·AD$，得证。
（2）解：$\because$ 四边形$PEBF$为矩形，
$\therefore ∠EPF=90°$，
由（1）的结论$PE·AB=PF·AD$变形得$\frac{PE}{PF}=\frac{AD}{AB}$，
又$\because \frac{PQ}{PC}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore \frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PC}$，
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，
$\therefore ∠PEQ=∠PFC=90°$，
$\therefore Rt△ PEQ ∽ Rt△ PFC$，
$\therefore ∠EPQ=∠FPC$，
$\therefore ∠QPC=∠QPF+∠FPC=∠QPF+∠EPQ=∠EPF=90°$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boxed{90°}$
【知识点】
矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考察了矩形、相似三角形的相关知识，第一问是基础的比例转化，第二问需要结合第一问的结论寻找相似三角形，通过导角得到角度，解题时要注意前后设问的关联性，学会灵活转化比例关系与角的关系。
【难度系数】
0.6
