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1 Rt△ABC 和 Rt△MNP 中，∠B=∠P=90°，依据下列各组条件不能判定这两个三角形相似的是（
A.∠A=47°, ∠M=43°
B.AB=4, BC=6, MP=6, PN=9
C.AB=4, AC=6, PN=6, MN=9
D.AB=4, BC=6, MP=6, MN=9
D
）。A.∠A=47°, ∠M=43°
B.AB=4, BC=6, MP=6, PN=9
C.AB=4, AC=6, PN=6, MN=9
D.AB=4, BC=6, MP=6, MN=9
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形相似的判定，解题思路如下：首先明确两个三角形均为直角三角形，∠B=∠P=90°，可依据相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS，以及直角三角形特有的斜边直角边成比例判定）逐个分析选项：①若有一组锐角相等，可通过AA判定相似；②若两条直角边对应成比例，可通过SAS判定相似；③若斜边和一条直角边对应成比例，可判定两个直角三角形相似。逐一验证各选项后即可找到不能判定相似的选项。
【解析】
已知Rt△ABC和Rt△MNP中，∠B=∠P=90°，逐个分析选项：
选项A：在Rt△ABC中，∠C=90°-∠A=90°-47°=43°，则∠C=∠M=43°，有两组角对应相等，由AA可判定两三角形相似，不符合题意。
选项B：计算边的比例：$\frac{AB}{MP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{PN}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即两组直角边对应成比例，且夹角∠B=∠P=90°，由SAS可判定两三角形相似，不符合题意。
选项C：Rt△ABC中AC为斜边，Rt△MNP中MN为斜边，计算比例：$\frac{AC}{MN}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{PN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，即斜边和一条直角边对应成比例，可判定两直角三角形相似，不符合题意。
选项D：Rt△MNP中MN为斜边，MP为直角边，Rt△ABC中AB、BC均为直角边：若尝试对应边成比例，$\frac{AB}{MP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，计算Rt△MNP的另一条直角边$PN=\sqrt{MN^2-MP^2}=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5}$，$\frac{BC}{PN}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}≠\frac{2}{3}$；斜边比例$\frac{AC}{MN}=\frac{\sqrt{4^2+6^2}}{9}=\frac{2\sqrt{13}}{9}≠\frac{2}{3}$，无对应成比例的边，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题易错点是混淆直角三角形的直角边和斜边、弄错对应边的对应关系，解题时需先明确直角所对的边是斜边，再结合判定定理验证边的比例或角的相等关系。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形相似的判定，解题思路如下：首先明确两个三角形均为直角三角形，∠B=∠P=90°，可依据相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS，以及直角三角形特有的斜边直角边成比例判定）逐个分析选项：①若有一组锐角相等，可通过AA判定相似；②若两条直角边对应成比例，可通过SAS判定相似；③若斜边和一条直角边对应成比例，可判定两个直角三角形相似。逐一验证各选项后即可找到不能判定相似的选项。
【解析】
已知Rt△ABC和Rt△MNP中，∠B=∠P=90°，逐个分析选项：
选项A：在Rt△ABC中，∠C=90°-∠A=90°-47°=43°，则∠C=∠M=43°，有两组角对应相等，由AA可判定两三角形相似，不符合题意。
选项B：计算边的比例：$\frac{AB}{MP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{PN}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即两组直角边对应成比例，且夹角∠B=∠P=90°，由SAS可判定两三角形相似，不符合题意。
选项C：Rt△ABC中AC为斜边，Rt△MNP中MN为斜边，计算比例：$\frac{AC}{MN}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{PN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，即斜边和一条直角边对应成比例，可判定两直角三角形相似，不符合题意。
选项D：Rt△MNP中MN为斜边，MP为直角边，Rt△ABC中AB、BC均为直角边：若尝试对应边成比例，$\frac{AB}{MP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，计算Rt△MNP的另一条直角边$PN=\sqrt{MN^2-MP^2}=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5}$，$\frac{BC}{PN}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}≠\frac{2}{3}$；斜边比例$\frac{AC}{MN}=\frac{\sqrt{4^2+6^2}}{9}=\frac{2\sqrt{13}}{9}≠\frac{2}{3}$，无对应成比例的边，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题易错点是混淆直角三角形的直角边和斜边、弄错对应边的对应关系，解题时需先明确直角所对的边是斜边，再结合判定定理验证边的比例或角的相等关系。
【难度系数】
0.7
2 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为点$D$,以下条件中不能推出$△ ABC$为直角三角形的是(
A.$∠ A = ∠ BCD$
B.$\frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}$
C.$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{BD}$
D.$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}$
D
)。A.$∠ A = ∠ BCD$
B.$\frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}$
C.$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{BD}$
D.$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是证明∠ACB=90°。我们可以结合CD⊥AB的已知条件，利用直角三角形两锐角互余的性质、相似三角形的判定与性质，逐个验证选项能否推导出∠ACB=90°，无法推导的选项即为答案。
【解析】
已知CD⊥AB，因此∠ADC=∠CDB=90°，在Rt△ACD中可得∠A+∠ACD=90°，逐个分析选项：
A. 若∠A=∠BCD，代入∠A+∠ACD=90°，可得∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
B. 若$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，结合∠ADC=∠CDB=90°，可证△ACD∽△CBD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），得∠A=∠BCD，同选项A推导可得∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
C. 若$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}$，结合∠ADC=∠CDB=90°，可证Rt△ACD∽Rt△BCD，得∠A=∠BCD，同选项A推导可得∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
D. 若$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}$，根据三角形内角平分线定理的逆定理，仅能证明CD是∠ACB的角平分线，无法推出∠ACB=90°，不能判定△ABC为直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角平分线定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，结合垂直条件推导角的数量关系，逐一验证选项即可，解题时要注意对应比例线段所属的三角形是否匹配。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是证明∠ACB=90°。我们可以结合CD⊥AB的已知条件，利用直角三角形两锐角互余的性质、相似三角形的判定与性质，逐个验证选项能否推导出∠ACB=90°，无法推导的选项即为答案。
【解析】
已知CD⊥AB，因此∠ADC=∠CDB=90°，在Rt△ACD中可得∠A+∠ACD=90°，逐个分析选项：
A. 若∠A=∠BCD，代入∠A+∠ACD=90°，可得∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
B. 若$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，结合∠ADC=∠CDB=90°，可证△ACD∽△CBD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），得∠A=∠BCD，同选项A推导可得∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
C. 若$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}$，结合∠ADC=∠CDB=90°，可证Rt△ACD∽Rt△BCD，得∠A=∠BCD，同选项A推导可得∠ACB=90°，能推出△ABC是直角三角形，不符合题意；
D. 若$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}$，根据三角形内角平分线定理的逆定理，仅能证明CD是∠ACB的角平分线，无法推出∠ACB=90°，不能判定△ABC为直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角平分线定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，结合垂直条件推导角的数量关系，逐一验证选项即可，解题时要注意对应比例线段所属的三角形是否匹配。
【难度系数】
0.7
3 如图，在$△ ABC$中，点$P$、$D$分别在边$BC$、$AC$上，$AB=3$，$DC=2$，$PA ⊥ AB$，垂足为点$A$，$DP ⊥ BC$，垂足为点$P$，$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$。则$AP$的长为（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{3}{2}$
B
）。A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{3}{2}$
答案
3.B [提示:先证明Rt△ABP ∽ Rt△PCD,再证明△APD ∽△ACP。]
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直条件入手，得到两个直角三角形，结合给出的边的比例关系，利用直角三角形相似的判定定理证明$Rt△ ABP∽ Rt△ PCD$，得到对应角、对应边的关系；再通过角的等量代换找到公共角外的另一组等角，证明$△ APD∽ △ ACP$，最后利用相似三角形对应边成比例的性质计算AP的长度。
【解析】
解：
1. 证明$Rt△ ABP∽ Rt△ PCD$：
∵ $PA ⊥ AB$，$DP ⊥ BC$，
∴ $∠ BAP = ∠ DPC = 90°$，即$△ ABP$和$△ PCD$均为直角三角形。
又
∵ $\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，满足直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，
∴ $Rt△ ABP ∽ Rt△ PCD$，
∴ 可得$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，且$∠ APB = ∠ C$。
2. 推导角的等量关系：
∵ $∠ BPD = 90°$，
∴ $∠ APB + ∠ APD = 90°$，
在$Rt△ ABP$中，$∠ B + ∠ APB = 90°$，
∴ $∠ B = ∠ APD$。
结合已证的$∠ APB = ∠ C$，可推得$∠ APD = ∠ C$，进一步可得$∠ B=∠ C$，因此$AC=AB=3$。
3. 证明$△ APD ∽ △ ACP$并求解：
在$△ APD$和$△ ACP$中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAD = ∠ CAP \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ APD = ∠ C \quad (\mathrm{已证})\end{array} $
∴ $△ APD ∽ △ ACP$，
∴ $\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP}$，即$AP^2 = AD · AC$。
∵ $AC=3$，$DC=2$，
∴ $AD = AC - DC = 3 - 2 = 1$，
代入得$AP^2 = 1 × 3 = 3$，
∵ $AP ＞ 0$，
∴ $AP = \sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形相似判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形的综合应用问题，核心是两次相似的证明，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，通过角的等量代换找到相似条件，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的垂直条件入手，得到两个直角三角形，结合给出的边的比例关系，利用直角三角形相似的判定定理证明$Rt△ ABP∽ Rt△ PCD$，得到对应角、对应边的关系；再通过角的等量代换找到公共角外的另一组等角，证明$△ APD∽ △ ACP$，最后利用相似三角形对应边成比例的性质计算AP的长度。
【解析】
解：
1. 证明$Rt△ ABP∽ Rt△ PCD$：
∵ $PA ⊥ AB$，$DP ⊥ BC$，
∴ $∠ BAP = ∠ DPC = 90°$，即$△ ABP$和$△ PCD$均为直角三角形。
又
∵ $\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，满足直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，
∴ $Rt△ ABP ∽ Rt△ PCD$，
∴ 可得$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，且$∠ APB = ∠ C$。
2. 推导角的等量关系：
∵ $∠ BPD = 90°$，
∴ $∠ APB + ∠ APD = 90°$，
在$Rt△ ABP$中，$∠ B + ∠ APB = 90°$，
∴ $∠ B = ∠ APD$。
结合已证的$∠ APB = ∠ C$，可推得$∠ APD = ∠ C$，进一步可得$∠ B=∠ C$，因此$AC=AB=3$。
3. 证明$△ APD ∽ △ ACP$并求解：
在$△ APD$和$△ ACP$中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAD = ∠ CAP \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ APD = ∠ C \quad (\mathrm{已证})\end{array} $
∴ $△ APD ∽ △ ACP$，
∴ $\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP}$，即$AP^2 = AD · AC$。
∵ $AC=3$，$DC=2$，
∴ $AD = AC - DC = 3 - 2 = 1$，
代入得$AP^2 = 1 × 3 = 3$，
∵ $AP ＞ 0$，
∴ $AP = \sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形相似判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形的综合应用问题，核心是两次相似的证明，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，通过角的等量代换找到相似条件，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
④ 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，点$D$在$BC$上，且$\dfrac{AB}{DA} = \dfrac{BC}{AC}$，$∠ B = 35°$，则$∠ ADC =$
55°
。答案
4.55°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知△ABC和△DAC均为直角三角形，且有公共直角∠C，同时给出两组边的比例关系，优先考虑用直角三角形相似的判定定理证明两三角形相似，得到对应角相等；再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，即可得到∠ADC的度数。具体思路：第一步先求Rt△ABC中∠BAC的度数；第二步利用已知边的比例和公共直角，判定两个直角三角形相似；第三步利用相似三角形对应角相等得到∠ADC=∠BAC，得出结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=35°$，
由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90° - ∠ B=90° - 35°=55°$。
已知$\dfrac{AB}{DA}=\dfrac{BC}{AC}$，且$∠ C=∠ C=90°$，
根据“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可证$\mathrm{Rt}△ABC ∽ \mathrm{Rt}△DAC$。
由相似三角形对应角相等可得：
$∠ ADC=∠ BAC=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
直角三角形相似的判定，相似三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时要注意结合已知条件找准对应边和对应角，熟练掌握直角三角形相似的特殊判定方法可以快速简化解题步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知△ABC和△DAC均为直角三角形，且有公共直角∠C，同时给出两组边的比例关系，优先考虑用直角三角形相似的判定定理证明两三角形相似，得到对应角相等；再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，即可得到∠ADC的度数。具体思路：第一步先求Rt△ABC中∠BAC的度数；第二步利用已知边的比例和公共直角，判定两个直角三角形相似；第三步利用相似三角形对应角相等得到∠ADC=∠BAC，得出结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=35°$，
由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90° - ∠ B=90° - 35°=55°$。
已知$\dfrac{AB}{DA}=\dfrac{BC}{AC}$，且$∠ C=∠ C=90°$，
根据“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可证$\mathrm{Rt}△ABC ∽ \mathrm{Rt}△DAC$。
由相似三角形对应角相等可得：
$∠ ADC=∠ BAC=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
直角三角形相似的判定，相似三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时要注意结合已知条件找准对应边和对应角，熟练掌握直角三角形相似的特殊判定方法可以快速简化解题步骤。
【难度系数】
0.7
5 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=∠ ACD=90°$，$AD=3AC$，$CD=3BC$，则$AD:AB$的比值为
9
。答案
5.9
解析
【分析】
本题已知两个直角三角形的两组边的倍数关系，要求两条线段的比值，解题思路如下：首先观察到△ABC和△ACD均为直角三角形，先整理已知边的关系：由AD=3AC、CD=3BC可得两个直角三角形的斜边、一组直角边对应成比例，可判定两个直角三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，推导AC与AB的关系，结合AD与AC的倍数关系，最终求出AD与AB的比值。
【解析】
解：
∵ ∠ABC=∠ACD=90°，
∴ △ABC和△ACD均为直角三角形。
∵ AD=3AC，CD=3BC，
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{3}$，
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可得Rt△ABC ∽ Rt△DCA。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$AC^2=AB· AD$。
将$AC=\frac{1}{3}AD$代入上式，得：
$(\frac{1}{3}AD)^2=AB· AD$
$\frac{AD^2}{9}=AB· AD$
∵ AD为三角形边长，AD≠0，等式两边同时除以AD，得：
$\frac{AD}{9}=AB$
∴ $AD:AB=9:1=9$
【答案】
9
【知识点】
直角三角形相似的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是准确找到两个直角三角形对应成比例的边，正确判定相似，再结合相似性质推导线段比例关系，注意对应边不要混淆即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题已知两个直角三角形的两组边的倍数关系，要求两条线段的比值，解题思路如下：首先观察到△ABC和△ACD均为直角三角形，先整理已知边的关系：由AD=3AC、CD=3BC可得两个直角三角形的斜边、一组直角边对应成比例，可判定两个直角三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，推导AC与AB的关系，结合AD与AC的倍数关系，最终求出AD与AB的比值。
【解析】
解：
∵ ∠ABC=∠ACD=90°，
∴ △ABC和△ACD均为直角三角形。
∵ AD=3AC，CD=3BC，
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{3}$，
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可得Rt△ABC ∽ Rt△DCA。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$AC^2=AB· AD$。
将$AC=\frac{1}{3}AD$代入上式，得：
$(\frac{1}{3}AD)^2=AB· AD$
$\frac{AD^2}{9}=AB· AD$
∵ AD为三角形边长，AD≠0，等式两边同时除以AD，得：
$\frac{AD}{9}=AB$
∴ $AD:AB=9:1=9$
【答案】
9
【知识点】
直角三角形相似的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是准确找到两个直角三角形对应成比例的边，正确判定相似，再结合相似性质推导线段比例关系，注意对应边不要混淆即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6 如图,已知$AB ⊥ AD$, $BD ⊥ DC$,且$BD^2 = AB · BC$, $∠ ADB = 65°$,则$∠ DBC =$
7 $∠ ABC = ∠ CDB = 90°$, $BC = 3$, $AC = 5$,如果$△ ABC$与以点$C$、$D$、$B$为顶点的三角形相似,那么$BD$的长为
25°
。7 $∠ ABC = ∠ CDB = 90°$, $BC = 3$, $AC = 5$,如果$△ ABC$与以点$C$、$D$、$B$为顶点的三角形相似,那么$BD$的长为
$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$
。答案
6.25°
7.$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$
7.$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$
解析
第6题
【分析】
要计算∠DBC的度数，首先从已知垂直条件可得∠A和∠BDC都是90°，再将乘积式$BD^2 = AB · BC$转化为比例式，即可判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质就能求出目标角度。
【解析】
解：
∵$AB⊥AD$，$BD⊥DC$，
∴$∠ A = ∠ BDC = 90°$，
又
∵$BD^2 = AB · BC$，
∴$\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC}$，
∴$△ ABD ∽ △ DBC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$∠ DBC = ∠ ABD$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=65°$，
∴$∠ ABD = 90° - 65° = 25°$，
∴$∠ DBC = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
解题关键是将乘积式转化为比例式，结合直角条件证明三角形相似，求解时注意找准相似三角形的对应角即可。
【难度系数】
0.7
---
第7题
【分析】
首先用勾股定理求出$Rt△ ABC$中AB的长度，两个直角三角形相似时直角对应相等，剩余锐角的对应关系有两种情况，需要分类讨论，根据相似三角形对应边成比例分别计算BD的长度，避免漏解。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=3$，$AC=5$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∵$∠ ABC = ∠ CDB = 90°$，$△ ABC$与以C、D、B为顶点的三角形相似，分两种情况：
① 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例$\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BD}$，
代入得$\frac{5}{3} = \frac{4}{BD}$，解得$BD = \frac{12}{5}$；
② 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{BD}$，
代入得$\frac{5}{3} = \frac{3}{BD}$，解得$BD = \frac{9}{5}$；
综上，BD的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形相似的分类讨论，解题时要注意除直角外的锐角对应关系有两种可能，计算时找准对应边即可，不要漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
要计算∠DBC的度数，首先从已知垂直条件可得∠A和∠BDC都是90°，再将乘积式$BD^2 = AB · BC$转化为比例式，即可判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质就能求出目标角度。
【解析】
解：
∵$AB⊥AD$，$BD⊥DC$，
∴$∠ A = ∠ BDC = 90°$，
又
∵$BD^2 = AB · BC$，
∴$\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC}$，
∴$△ ABD ∽ △ DBC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$∠ DBC = ∠ ABD$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=65°$，
∴$∠ ABD = 90° - 65° = 25°$，
∴$∠ DBC = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
解题关键是将乘积式转化为比例式，结合直角条件证明三角形相似，求解时注意找准相似三角形的对应角即可。
【难度系数】
0.7
---
第7题
【分析】
首先用勾股定理求出$Rt△ ABC$中AB的长度，两个直角三角形相似时直角对应相等，剩余锐角的对应关系有两种情况，需要分类讨论，根据相似三角形对应边成比例分别计算BD的长度，避免漏解。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=3$，$AC=5$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∵$∠ ABC = ∠ CDB = 90°$，$△ ABC$与以C、D、B为顶点的三角形相似，分两种情况：
① 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例$\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BD}$，
代入得$\frac{5}{3} = \frac{4}{BD}$，解得$BD = \frac{12}{5}$；
② 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{BD}$，
代入得$\frac{5}{3} = \frac{3}{BD}$，解得$BD = \frac{9}{5}$；
综上，BD的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{9}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形相似的分类讨论，解题时要注意除直角外的锐角对应关系有两种可能，计算时找准对应边即可，不要漏解。
【难度系数】
0.6
