13 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为点D、点E。$AF // BC$，交BE的延长线于点F。
（1）求证：$\frac{AE}{AF}=\frac{CD}{AC}$。
（2）求证：$2AB · AD=BF · BC$。

13 （1）如图,因为$AD ⊥ BC$, $BE ⊥ AC$,所以$∠AEF=∠ADC=90°$,因为$AF // BC$,所以$∠1=∠C$,所以$△AEF ∽ △CDA$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{AC}$,所以$\frac{AE}{AF}=\frac{CD}{AC}$。
（2）如图,设AD与BF交于点G。因为$AF // BC$,所以$∠FAD=∠ADB=90°$,$∠1+∠2=∠1+∠F=90°$,所以$∠2=∠F$。因为$AB=AC$, $AD ⊥ BC$,所以$∠2=∠3$,$BC=2BD$,所以$∠3=∠F$,又$∠ABF=∠GBA$,所以$△ABF ∽ △GBA$,所以$\frac{AB}{BF}=\frac{AG}{AF}$。因为$∠3=∠F$,$∠FAD=∠ADB$,所以$△AFG ∽ △DAB$,所以$\frac{AG}{AF}=\frac{BD}{AD}$,所以$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AD}$,即$AB · AD=BF · BD$。因为$BD=\frac{1}{2}BC$,所以$2AB · AD=BF · BC$。

【分析】
（1）要证明比例式$\frac{AE}{AF}=\frac{CD}{AC}$，可通过证明对应三角形相似推导。观察四条线段所属三角形，AE、AF在$Rt△AEF$中，CD、AC在$Rt△CDA$中，先结合垂直条件得到一组直角相等，再由$AF// BC$得到一组对应角相等，即可证明两三角形相似，最后将相似三角形的对应边成比例变形即可得到要证的比例式。
（2）要证明$2AB · AD=BF · BC$，先利用等腰三角形三线合一的性质，可得$BC=2BD$，因此只需证$AB·AD=BF·BD$，即证$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AD}$。先结合平行线的性质和同角的余角相等推导角的等量关系，先后证明$△ABF ∽ △GBA$和$△AFG ∽ △DAB$，通过中间比例式$\frac{AG}{AF}$代换得到$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AD}$，最后代入$BD=\frac{1}{2}BC$即可完成证明。
【解析】
（1）证明：
$\because AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ADC=90°$，
$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ 1=∠ C$，
$\therefore △ AEF ∽ △ CDA$，
$\therefore \frac{AE}{CD}=\frac{AF}{AC}$，
交叉变形可得$\frac{AE}{AF}=\frac{CD}{AC}$。
（2）证明：
设AD与BF交于点G，
$\because AF// BC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ FAD=∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$，$∠ 1+∠ F=90°$，
$\therefore ∠ 2=∠ F$，
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$，$BC=2BD$，
$\therefore ∠ 3=∠ F$，
又$\because ∠ ABF=∠ GBA$，
$\therefore △ ABF ∽ △ GBA$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{AG}{AF}$，
$\because ∠ 3=∠ F$，$∠ FAD=∠ ADB=90°$，
$\therefore △ AFG ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{BD}{AD}$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AD}$，即$AB· AD=BF· BD$，
将$BD=\frac{1}{2}BC$代入上式，得$AB· AD=BF· \frac{1}{2}BC$，
$\therefore 2AB· AD=BF· BC$。
【答案】
13 （1）如图,因为$AD ⊥ BC$, $BE ⊥ AC$,所以$∠AEF=∠ADC=90°$,因为$AF // BC$,所以$∠1=∠C$,所以$△AEF ∽ △CDA$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{AF}{AC}$,所以$\frac{AE}{AF}=\frac{CD}{AC}$。
（2）如图,设AD与BF交于点G。因为$AF // BC$,所以$∠FAD=∠ADB=90°$,$∠1+∠2=∠1+∠F=90°$,所以$∠2=∠F$。因为$AB=AC$, $AD ⊥ BC$,所以$∠2=∠3$,$BC=2BD$,所以$∠3=∠F$,又$∠ABF=∠GBA$,所以$△ABF ∽ △GBA$,所以$\frac{AB}{BF}=\frac{AG}{AF}$。因为$∠3=∠F$,$∠FAD=∠ADB$,所以$△AFG ∽ △DAB$,所以$\frac{AG}{AF}=\frac{BD}{AD}$,所以$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AD}$,即$AB · AD=BF · BD$。因为$BD=\frac{1}{2}BC$,所以$2AB · AD=BF · BC$。
【知识点】
相似三角形判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，综合了平行线、等腰三角形、相似三角形的核心知识点，解题时需要从待证的比例式出发逆向推导所需的相似关系，再结合已知条件正向推导角的等量关系来证明相似，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6

14 如图，点D、E分别在$△ ABC$的AB、AC边上，$AE=EC$，$AE^2=\frac{1}{2}AD· AB$，连接DE。
（1）求证：$△ ADE ∽ △ ACB$。
（2）取AD的中点F，连接EF、BE。求证：$∠ DEF=∠ CBE$。

14 （1）因为$AE=EC$,所以$AC=2AE$。因为$AE^2=\frac{1}{2}AD· AB$,所以$2AE^2=AD· AB$,所以$AE· AC=AD· AB$,所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。因为$∠DAE=∠CAB$,所以$△ADE ∽ △ACB$。
（2）因为点F是线段AD的中点,所以$AD=2DF$。因为$△ADE ∽ △ACB$,所以$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$,$∠FDE=∠ECB$,所以$\frac{DE}{CB}=\frac{2DF}{2EC}=\frac{DF}{EC}$,所以$△DEF ∽ △CBE$,所以$∠DEF=∠CBE$。

【分析】
（1）要证明△ADE∽△ACB，两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形判定定理，只需推导夹公共角的两组对应边成比例即可。先由AE=EC得到AC=2AE，再对已知的乘积式变形，推导得到边的比例关系即可完成证明。
（2）要证明∠DEF=∠CBE，可通过证明两角所在的△DEF和△CBE相似推导。先由F是AD中点得到AD=2DF，结合第一问的相似结论，得到两组对应边成比例、一组对应角相等，即可证明△DEF和△CBE相似，进而得到对应角相等。
【解析】
（1）证明：
∵ AE=EC，
∴ AC=2AE。
∵ $AE^2=\frac{1}{2}AD· AB$，
∴ $2AE^2=AD· AB$，代入AC=2AE可得$AE· AC=AD· AB$，
即$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又
∵ ∠DAE=∠CAB（公共角），
∴ △ADE ∽ △ACB。
（2）证明：
∵ 点F是线段AD的中点，
∴ AD=2DF。
由（1）△ADE ∽ △ACB，可得$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，∠FDE=∠ECB。
∵ AE=EC，
∴ AC=2EC，代入比例式得：
$\frac{DE}{CB}=\frac{2DF}{2EC}=\frac{DF}{EC}$。
∴ △DEF ∽ △CBE，
∴ ∠DEF=∠CBE。
【答案】
（1）因为$AE=EC$,所以$AC=2AE$。因为$AE^2=\frac{1}{2}AD· AB$,所以$2AE^2=AD· AB$,所以$AE· AC=AD· AB$,所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。因为$∠DAE=∠CAB$,所以$△ADE ∽ △ACB$。
（2）因为点F是线段AD的中点,所以$AD=2DF$。因为$△ADE ∽ △ACB$,所以$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$,$∠FDE=∠ECB$,所以$\frac{DE}{CB}=\frac{2DF}{2EC}=\frac{DF}{EC}$,所以$△DEF ∽ △CBE$,所以$∠DEF=∠CBE$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的典型应用题型，解题核心是结合已知条件对比例式进行合理变形，找到证明相似所需的边、角关系，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7