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8 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD⊥DE，DE=BE，若AC=6，BC=9，则 CD=
4
。答案
8 4
解析
【分析】
解题时可先通过已知的等腰、垂直条件推导角的等量关系，再证明三角形相似，最后利用相似性质计算线段长度：①由DE=BE，依据等边对等角得∠EDB=∠B；②由AD⊥DE和∠C=90°，结合直角三角形两锐角互余、同角的余角相等，推导得∠CAD=∠EDB，即∠CAD=∠B；③根据两角分别相等判定△ACD与△BCA相似；④代入已知边长，利用相似三角形对应边成比例计算CD的长。
【解析】
解：
∵ DE=BE，
∴ ∠EDB=∠B（等边对等角）
∵ AD⊥DE，
∴ ∠ADE=90°，
∴ ∠ADC + ∠EDB = 180° - ∠ADE = 90°
∵ ∠C=90°，在Rt△ACD中，∠CAD + ∠ADC = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴ ∠CAD = ∠EDB（同角的余角相等），则∠CAD=∠B
又
∵ ∠C=∠C=90°
∴ △ACD ∽ △BCA（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$
将AC=6，BC=9代入得：$\frac{6}{9}=\frac{CD}{6}$
解得：$CD=\frac{6×6}{9}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过角的等量代换找到相似三角形，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，找到∠CAD=∠B是解题的突破口。
【难度系数】
0.65
解题时可先通过已知的等腰、垂直条件推导角的等量关系，再证明三角形相似，最后利用相似性质计算线段长度：①由DE=BE，依据等边对等角得∠EDB=∠B；②由AD⊥DE和∠C=90°，结合直角三角形两锐角互余、同角的余角相等，推导得∠CAD=∠EDB，即∠CAD=∠B；③根据两角分别相等判定△ACD与△BCA相似；④代入已知边长，利用相似三角形对应边成比例计算CD的长。
【解析】
解：
∵ DE=BE，
∴ ∠EDB=∠B（等边对等角）
∵ AD⊥DE，
∴ ∠ADE=90°，
∴ ∠ADC + ∠EDB = 180° - ∠ADE = 90°
∵ ∠C=90°，在Rt△ACD中，∠CAD + ∠ADC = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴ ∠CAD = ∠EDB（同角的余角相等），则∠CAD=∠B
又
∵ ∠C=∠C=90°
∴ △ACD ∽ △BCA（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$
将AC=6，BC=9代入得：$\frac{6}{9}=\frac{CD}{6}$
解得：$CD=\frac{6×6}{9}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过角的等量代换找到相似三角形，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，找到∠CAD=∠B是解题的突破口。
【难度系数】
0.65
9 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$D$是$AB$边的中点，$P$是$BC$边上一点(点$P$不与$B$、$C$重合)，若以$D$、$C$、$P$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则线段$PC=$
4或$\frac{25}{4}$
。答案
9 4或$\frac{25}{4}$ ［提示:因为以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以∠DPC=90°或∠CDP=90°。若∠DPC=90°,则DP//AC,所以$\frac{BP}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,所以$BP=\frac{1}{2}BC=4$,则PC=4;若∠CDP=90°,则△CDP∽△BCA,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$,所以$PC=\frac{25}{4}$。］
解析
【分析】
本题是相似三角形的存在性问题，解题思路如下：第一步先计算Rt△ABC的基本量：先用勾股定理求斜边AB的长，再结合直角三角形斜边中线的性质得到CD的长度；第二步分类讨论相似的对应关系：由于△ABC是直角三角形，因此△DCP也为直角三角形，排除不可能为直角的∠DCP后，分直角顶点为P、直角顶点为D两种情况；第三步针对每种情况利用相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证结果符合“点P不与B、C重合”的条件即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
因为D是AB边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB=5$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ DPC=90°$时，$∠ DPC=∠ ACB=90°$，故$DP// AC$
又D是AB中点，因此DP是$△ ABC$的中位线，P为BC中点，所以：
$PC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$
2. 当$∠ CDP=90°$时，$∠ CDP=∠ ACB=90°$
因为$CD=BD$，所以$∠ DCP=∠ B$，故$△ CDP∽△ BCA$
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$，代入数值：
$\frac{5}{8}=\frac{PC}{10}$，解得$PC=\frac{25}{4}$
两种情况的P均不与B、C重合，符合题意。
【答案】
4或$\frac{25}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理
【点评】
本题属于典型的相似分类讨论问题，核心易错点是忽略未明确对应角的相似需要分情况讨论，导致漏解；解题时结合直角三角形的性质可快速排除不可能的情况，提升解题效率，最后要注意检验结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
本题是相似三角形的存在性问题，解题思路如下：第一步先计算Rt△ABC的基本量：先用勾股定理求斜边AB的长，再结合直角三角形斜边中线的性质得到CD的长度；第二步分类讨论相似的对应关系：由于△ABC是直角三角形，因此△DCP也为直角三角形，排除不可能为直角的∠DCP后，分直角顶点为P、直角顶点为D两种情况；第三步针对每种情况利用相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证结果符合“点P不与B、C重合”的条件即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
因为D是AB边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB=5$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ DPC=90°$时，$∠ DPC=∠ ACB=90°$，故$DP// AC$
又D是AB中点，因此DP是$△ ABC$的中位线，P为BC中点，所以：
$PC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$
2. 当$∠ CDP=90°$时，$∠ CDP=∠ ACB=90°$
因为$CD=BD$，所以$∠ DCP=∠ B$，故$△ CDP∽△ BCA$
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$，代入数值：
$\frac{5}{8}=\frac{PC}{10}$，解得$PC=\frac{25}{4}$
两种情况的P均不与B、C重合，符合题意。
【答案】
4或$\frac{25}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理
【点评】
本题属于典型的相似分类讨论问题，核心易错点是忽略未明确对应角的相似需要分情况讨论，导致漏解；解题时结合直角三角形的性质可快速排除不可能的情况，提升解题效率，最后要注意检验结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，点D、E分别是线段BC和AC的中点，AD、BE交于点O，且AD⊥BE，BC=22，AC=16，那么OD的长是
3
。答案
10 3 ［提示:连接AB、DE,易得DE是△ABC的中位线,△DOE∽△AOB。设OD=x,OE=y,则AO=2x,BO=2y,于是可得方程,$x^2+(2y)^2=11^2$,$y^2+(2x)^2=8^2$,解得x=3。］
解析
【分析】
拿到题首先观察已知条件：D、E分别是BC、AC的中点，优先联想到三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，进而推出DE//AB、DE=$\frac{1}{2}$AB，由此可证△DOE∽△AOB，得到对应边的比例关系AO:OD=BO:OE=2:1。再结合AD⊥BE的垂直条件，可知△BOD、△AOE都是直角三角形，可利用勾股定理列方程。我们可以设OD=x，OE=y，将其他相关线段用x、y表示后，代入勾股定理得到二元方程组，求解即可得到OD的长度。
【解析】
解：连接DE
∵D是BC中点，E是AC中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB，DE=$\frac{1}{2}$AB
∴△DOE∽△AOB，相似比为DE:AB=1:2
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OE}=\frac{2}{1}$
设$OD=x$，$OE=y$，则$AO=2x$，$BO=2y$
∵AD⊥BE，
∴∠BOD=∠AOE=90°
又
∵$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×22=11$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8$
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD^2+BO^2=BD^2$，即$x^2+(2y)^2=11^2=121$ ①
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AO^2+OE^2=AE^2$，即$(2x)^2+y^2=8^2=64$ ②
联立①②，将①+②得：$5x^2+5y^2=185$，化简得$x^2+y^2=37$，即$y^2=37-x^2$
将$y^2=37-x^2$代入②得：$4x^2+37-x^2=64$
$3x^2=27$，解得$x=3$（线段长度为正，舍去负根）
∴OD=3
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过中位线得到相似三角形的线段比例关系，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
拿到题首先观察已知条件：D、E分别是BC、AC的中点，优先联想到三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，进而推出DE//AB、DE=$\frac{1}{2}$AB，由此可证△DOE∽△AOB，得到对应边的比例关系AO:OD=BO:OE=2:1。再结合AD⊥BE的垂直条件，可知△BOD、△AOE都是直角三角形，可利用勾股定理列方程。我们可以设OD=x，OE=y，将其他相关线段用x、y表示后，代入勾股定理得到二元方程组，求解即可得到OD的长度。
【解析】
解：连接DE
∵D是BC中点，E是AC中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB，DE=$\frac{1}{2}$AB
∴△DOE∽△AOB，相似比为DE:AB=1:2
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OE}=\frac{2}{1}$
设$OD=x$，$OE=y$，则$AO=2x$，$BO=2y$
∵AD⊥BE，
∴∠BOD=∠AOE=90°
又
∵$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×22=11$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8$
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD^2+BO^2=BD^2$，即$x^2+(2y)^2=11^2=121$ ①
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AO^2+OE^2=AE^2$，即$(2x)^2+y^2=8^2=64$ ②
联立①②，将①+②得：$5x^2+5y^2=185$，化简得$x^2+y^2=37$，即$y^2=37-x^2$
将$y^2=37-x^2$代入②得：$4x^2+37-x^2=64$
$3x^2=27$，解得$x=3$（线段长度为正，舍去负根）
∴OD=3
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过中位线得到相似三角形的线段比例关系，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
11 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$D$为边$BC$上一点，$AB^2 = BD · BC$。求证：$AD ⊥ BC$。
答案
11 易得$△ABD ∽ △CBA$,所以$∠BDA=∠BAC=90°$,所以$AD ⊥ BC$。
解析
【分析】
要证明$AD ⊥ BC$，即要证$∠ BDA=90°$，已知$∠ BAC=90°$，可通过证明$△ ABD$和$△ CBA$相似，利用相似三角形对应角相等推导结论。首先将题中的等积式$AB^2=BD· BC$转化为比例式，再结合两个三角形的公共角$∠ B$，即可用相似三角形的判定定理证明两三角形相似，进而推出对应角相等得到垂直关系。
【解析】
证明：
$\because AB^2 = BD · BC$，
$\therefore $变形得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又$\because ∠ B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，即$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BDA=∠ BAC$（相似三角形对应角相等），
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BDA=90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
【答案】
$AD ⊥ BC$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题型，解题的关键是将等积式转化为比例式，结合公共角快速证明三角形相似，是相似章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.8
要证明$AD ⊥ BC$，即要证$∠ BDA=90°$，已知$∠ BAC=90°$，可通过证明$△ ABD$和$△ CBA$相似，利用相似三角形对应角相等推导结论。首先将题中的等积式$AB^2=BD· BC$转化为比例式，再结合两个三角形的公共角$∠ B$，即可用相似三角形的判定定理证明两三角形相似，进而推出对应角相等得到垂直关系。
【解析】
证明：
$\because AB^2 = BD · BC$，
$\therefore $变形得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又$\because ∠ B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，即$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BDA=∠ BAC$（相似三角形对应角相等），
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BDA=90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
【答案】
$AD ⊥ BC$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题型，解题的关键是将等积式转化为比例式，结合公共角快速证明三角形相似，是相似章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.8
12 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$BC$上一点，$AB^2=BD· BC$，$AC^2=CD· BC$。求证：$AD ⊥ BC$。
答案
12 易得$△ABD ∽ △CBA$,所以$∠BAD=∠C$,设$∠BAD=∠C=x$。同理,$∠B=∠DAC=y$。在$△ABC$中,$2x+2y=180°$,所以$x+y=90°$,故$AD ⊥ BC$。
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的两个等积式，首先将等积式转化为比例式，结合公共角可以判定两组三角形相似；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到角的等量关系；最后结合三角形内角和定理，推导得到AD与BC的夹角为90°，即可证明垂直。
【解析】
证明：
1. 由$AB^2=BD·BC$，变形可得比例式$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又
∵$∠ B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，
∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$，
∴对应角相等，即$∠ BAD=∠ C$。
2. 同理，由$AC^2=CD·BC$，变形可得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
又
∵$∠ C$是$△ ACD$和$△ BCA$的公共角，
∴$△ ACD ∽ △ BCA$，
∴$∠ CAD=∠ B$。
3. 设$∠ BAD=∠ C=x$，$∠ CAD=∠ B=y$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$，
代入$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=x+y$，得：
$y + x + x + y = 180°$，
整理得$2(x+y)=180°$，即$x+y=90°$。
4. 在$△ ABD$中，$∠ ADB=180° - ∠ B - ∠ BAD=180° - (x+y)=90°$，
∴$AD ⊥ BC$。
【答案】
$AD ⊥ BC$，得证
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是掌握等积式与比例式的互化方法，结合公共角快速判定相似三角形，再利用角的等量关系结合内角和定理推导直角，考查对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察题目给出的两个等积式，首先将等积式转化为比例式，结合公共角可以判定两组三角形相似；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到角的等量关系；最后结合三角形内角和定理，推导得到AD与BC的夹角为90°，即可证明垂直。
【解析】
证明：
1. 由$AB^2=BD·BC$，变形可得比例式$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又
∵$∠ B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，
∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$，
∴对应角相等，即$∠ BAD=∠ C$。
2. 同理，由$AC^2=CD·BC$，变形可得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
又
∵$∠ C$是$△ ACD$和$△ BCA$的公共角，
∴$△ ACD ∽ △ BCA$，
∴$∠ CAD=∠ B$。
3. 设$∠ BAD=∠ C=x$，$∠ CAD=∠ B=y$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$，
代入$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=x+y$，得：
$y + x + x + y = 180°$，
整理得$2(x+y)=180°$，即$x+y=90°$。
4. 在$△ ABD$中，$∠ ADB=180° - ∠ B - ∠ BAD=180° - (x+y)=90°$，
∴$AD ⊥ BC$。
【答案】
$AD ⊥ BC$，得证
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是掌握等积式与比例式的互化方法，结合公共角快速判定相似三角形，再利用角的等量关系结合内角和定理推导直角，考查对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
