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1 对于$△ ABC$与$△ DEF$，可由$∠ A=∠ D$和下列某一个条件推得$△ ABC ∽ △ DEF$，这个条件可以是(
A.$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$
B.$\frac{AB}{DE}=\frac{DF}{AC}$
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{EF}$
D.$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$
D
)。A.$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$
B.$\frac{AB}{DE}=\frac{DF}{AC}$
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{EF}$
D.$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$
答案
1 D
解析
【分析】
要判断添加哪个条件能由∠A=∠D推出两个三角形相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）。已知相等的角是∠A和∠D，所以需要这两个角的夹边对应成比例：∠A的夹边是AB、AC，∠D的夹边是DE、DF，只要满足这两组边对应成比例即可，再结合比例的基本性质变形，逐一比对选项就能得出正确答案。
【解析】
根据相似三角形的SAS判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，需要∠A的两条夹边与∠D的两条夹边对应成比例，即：
$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
根据比例的基本性质，将内项AC和DE交换位置，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，对应选项D。
对其他选项逐一排除：
A选项：$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$中，BC、EF不是∠A和∠D的夹边，不符合SAS判定要求，错误；
B选项：$\frac{AB}{DE}=\frac{DF}{AC}$的对应边关系错误，不符合夹边成比例的要求，错误；
C选项：$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{EF}$中，EF不是∠D的夹边，对应边不匹配，错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的SAS判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形SAS判定的应用，解题的关键是明确“夹角对应相等”时，必须是夹角的两组边对应成比例，要注意区分对应边，避免误用非夹边成比例的错误情况。
【难度系数】
0.8
要判断添加哪个条件能由∠A=∠D推出两个三角形相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）。已知相等的角是∠A和∠D，所以需要这两个角的夹边对应成比例：∠A的夹边是AB、AC，∠D的夹边是DE、DF，只要满足这两组边对应成比例即可，再结合比例的基本性质变形，逐一比对选项就能得出正确答案。
【解析】
根据相似三角形的SAS判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，需要∠A的两条夹边与∠D的两条夹边对应成比例，即：
$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
根据比例的基本性质，将内项AC和DE交换位置，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，对应选项D。
对其他选项逐一排除：
A选项：$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$中，BC、EF不是∠A和∠D的夹边，不符合SAS判定要求，错误；
B选项：$\frac{AB}{DE}=\frac{DF}{AC}$的对应边关系错误，不符合夹边成比例的要求，错误；
C选项：$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{EF}$中，EF不是∠D的夹边，对应边不匹配，错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的SAS判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形SAS判定的应用，解题的关键是明确“夹角对应相等”时，必须是夹角的两组边对应成比例，要注意区分对应边，避免误用非夹边成比例的错误情况。
【难度系数】
0.8
② 如图，$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，图中与$△ ABC$相似的三角形共有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2 D
解析
【分析】
要找出与$△ ABC$相似的三角形，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理求解。首先$△ ABC$是直角三角形，先找出图中所有直角三角形，再通过公共角、同角的余角相等、平行线的性质寻找两组相等的对应角，逐一判断即可，注意计数时不要遗漏。
【解析】
已知$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，因此$△ ABC$、$△ ACD$、$△ CBD$、$△ CDE$、$△ DBE$均为直角三角形：
1. 对$△ ACD$：$∠ A$是公共角，$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ACD ∽ △ ABC$；
2. 对$△ CBD$：$∠ B$是公共角，$∠ CDB = ∠ ACB = 90°$，同理得$△ CBD ∽ △ ABC$；
3. 对$△ DBE$：$DE ⊥ BC$、$AC ⊥ BC$，故$DE // AC$，可得$∠ BDE = ∠ A$，又$∠ DEB = ∠ ACB = 90°$，因此$△ DBE ∽ △ ABC$；
4. 对$△ CDE$：$∠ DCE + ∠ B = 90°$，$∠ A + ∠ B = 90°$，根据同角的余角相等得$∠ DCE = ∠ A$，又$∠ CED = ∠ ACB = 90°$，因此$△ CDE ∽ △ ABC$。
综上，共有4个三角形与$△ ABC$相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，结合直角三角形的角的互余关系找相等的角，计数时要注意梳理所有符合条件的三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.7
要找出与$△ ABC$相似的三角形，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理求解。首先$△ ABC$是直角三角形，先找出图中所有直角三角形，再通过公共角、同角的余角相等、平行线的性质寻找两组相等的对应角，逐一判断即可，注意计数时不要遗漏。
【解析】
已知$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，因此$△ ABC$、$△ ACD$、$△ CBD$、$△ CDE$、$△ DBE$均为直角三角形：
1. 对$△ ACD$：$∠ A$是公共角，$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ACD ∽ △ ABC$；
2. 对$△ CBD$：$∠ B$是公共角，$∠ CDB = ∠ ACB = 90°$，同理得$△ CBD ∽ △ ABC$；
3. 对$△ DBE$：$DE ⊥ BC$、$AC ⊥ BC$，故$DE // AC$，可得$∠ BDE = ∠ A$，又$∠ DEB = ∠ ACB = 90°$，因此$△ DBE ∽ △ ABC$；
4. 对$△ CDE$：$∠ DCE + ∠ B = 90°$，$∠ A + ∠ B = 90°$，根据同角的余角相等得$∠ DCE = ∠ A$，又$∠ CED = ∠ ACB = 90°$，因此$△ CDE ∽ △ ABC$。
综上，共有4个三角形与$△ ABC$相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，结合直角三角形的角的互余关系找相等的角，计数时要注意梳理所有符合条件的三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.7
3 如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（
A
）。答案
3 A
解析
【分析】
要判断剪下的涂色三角形与△ABC是否相似，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理分析：首先找到两个三角形的公共角，再验证夹这个公共角的两组边是否对应成比例，若比例相等则两个三角形相似，逐一验证各选项即可。
【解析】
已知△ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，结合各选项分析：
选项A：涂色三角形与△ABC有公共角∠C，夹∠C的两组边对应比例为：$\frac{DC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，且∠C为公共夹角，满足两边成比例且夹角相等，故两个三角形相似。
选项B：涂色三角形与△ABC公共角为∠A，夹∠A的边比例$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{4}$，$\frac{AB}{AB}=1$，比例不相等，不相似。
选项C：涂色三角形与△ABC公共角为∠B，夹∠B的边比例$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，比例不相等，不相似。
选项D：涂色三角形与△ABC公共角为∠B，夹∠B的边比例$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BC}=1$，比例不相等，不相似。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题时需先锁定公共角，再计算对应边的比例验证即可，是相似三角形判定的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的涂色三角形与△ABC是否相似，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理分析：首先找到两个三角形的公共角，再验证夹这个公共角的两组边是否对应成比例，若比例相等则两个三角形相似，逐一验证各选项即可。
【解析】
已知△ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，结合各选项分析：
选项A：涂色三角形与△ABC有公共角∠C，夹∠C的两组边对应比例为：$\frac{DC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，且∠C为公共夹角，满足两边成比例且夹角相等，故两个三角形相似。
选项B：涂色三角形与△ABC公共角为∠A，夹∠A的边比例$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{4}$，$\frac{AB}{AB}=1$，比例不相等，不相似。
选项C：涂色三角形与△ABC公共角为∠B，夹∠B的边比例$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，比例不相等，不相似。
选项D：涂色三角形与△ABC公共角为∠B，夹∠B的边比例$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BC}=1$，比例不相等，不相似。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题时需先锁定公共角，再计算对应边的比例验证即可，是相似三角形判定的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
④ 下列条件中，不能判定△ABC与以点D、E、F为顶点的三角形相似的有
① ∠C=∠F=90°, ∠A=55°, ∠D=35°；② ∠B=∠E=90°, $\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$；
④
。(填序号)① ∠C=∠F=90°, ∠A=55°, ∠D=35°；② ∠B=∠E=90°, $\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$；
答案
④
解析
【分析】
要判断所给条件能否判定两个三角形相似，需结合相似三角形的判定定理逐一验证：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，注意“边边角（SSA）”不能作为三角形相似的判定依据，直角三角形可结合直角的特殊性简化判定。
【解析】
我们逐个分析各条件：
①
∵∠C=∠F=90°，△ABC中∠A=55°，
∴∠B=90°-∠A=35°，又∠D=35°，
∴∠B=∠D，满足两角对应相等，可判定△ABC∽△EDF；
②
∵∠B=∠E=90°，且$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$，即夹直角的两组边对应成比例，满足两边成比例且夹角相等，可判定△ABC∽△DEF；
其余可判定的条件验证成立，仅条件④（相等的角不是成比例边的夹角，属于SSA情形）不符合相似判定规则，不能判定两个三角形相似。
【答案】
④
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理的应用，尤其要注意“边边角”不能作为三角形相似的判定依据，遇到直角三角形时可优先利用直角相等简化判定过程。
【难度系数】
0.7
要判断所给条件能否判定两个三角形相似，需结合相似三角形的判定定理逐一验证：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，注意“边边角（SSA）”不能作为三角形相似的判定依据，直角三角形可结合直角的特殊性简化判定。
【解析】
我们逐个分析各条件：
①
∵∠C=∠F=90°，△ABC中∠A=55°，
∴∠B=90°-∠A=35°，又∠D=35°，
∴∠B=∠D，满足两角对应相等，可判定△ABC∽△EDF；
②
∵∠B=∠E=90°，且$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$，即夹直角的两组边对应成比例，满足两边成比例且夹角相等，可判定△ABC∽△DEF；
其余可判定的条件验证成立，仅条件④（相等的角不是成比例边的夹角，属于SSA情形）不符合相似判定规则，不能判定两个三角形相似。
【答案】
④
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理的应用，尤其要注意“边边角”不能作为三角形相似的判定依据，遇到直角三角形时可优先利用直角相等简化判定过程。
【难度系数】
0.7
5 如图，$∠ C=∠ E=90°$，如果$AC=3$，$BC=4$，$AE=2.4$，那么$AD=$
4
。答案
5 4
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知两个三角形都有直角，且存在一组对顶角相等，可先判定两个三角形相似；再利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，列算式求出AD的长度。
【解析】
解：
∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE（对顶角相等）
∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
将AB=5，AC=3，AE=2.4代入得：
$\frac{5}{AD}=\frac{3}{2.4}$
解得：$AD=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过两角相等判定三角形相似，再结合勾股定理和相似三角形边的比例关系求解未知边长，需要熟练掌握对顶角的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理这些基础知识点。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，已知两个三角形都有直角，且存在一组对顶角相等，可先判定两个三角形相似；再利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，列算式求出AD的长度。
【解析】
解：
∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE（对顶角相等）
∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
将AB=5，AC=3，AE=2.4代入得：
$\frac{5}{AD}=\frac{3}{2.4}$
解得：$AD=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过两角相等判定三角形相似，再结合勾股定理和相似三角形边的比例关系求解未知边长，需要熟练掌握对顶角的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理这些基础知识点。
【难度系数】
0.7
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ C$为直角；在$△ DEF$中，$∠ F$为直角。如果$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ AB$，$BC=5$，$AB=13$，$DE=6.5$，那么$DF=$
6
。答案
6 6
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC中未知直角边AC的长度；第二步，根据垂直关系推出同角的余角相等，得到一组对应角相等，结合两个三角形都是直角三角形，证明两个三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算得到DF的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$
$\therefore ∠ A + ∠ ADE=90°$，$∠ EDF + ∠ ADE=90°$
$\therefore ∠ A=∠ EDF$（同角的余角相等）
又$\because ∠ C=∠ F=90°$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
代入$AB=13$，$DE=6.5$，$AC=12$得：
$\frac{13}{6.5}=\frac{12}{DF}$
解得：$DF=\frac{12×6.5}{13}=6$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是通过角的关系证明三角形相似，再结合比例式求解未知边长，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了图形分析和边角对应关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC中未知直角边AC的长度；第二步，根据垂直关系推出同角的余角相等，得到一组对应角相等，结合两个三角形都是直角三角形，证明两个三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算得到DF的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$
$\therefore ∠ A + ∠ ADE=90°$，$∠ EDF + ∠ ADE=90°$
$\therefore ∠ A=∠ EDF$（同角的余角相等）
又$\because ∠ C=∠ F=90°$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
代入$AB=13$，$DE=6.5$，$AC=12$得：
$\frac{13}{6.5}=\frac{12}{DF}$
解得：$DF=\frac{12×6.5}{13}=6$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是通过角的关系证明三角形相似，再结合比例式求解未知边长，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了图形分析和边角对应关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
7 在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$，垂足点D在边AB上，$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，则当$\frac{AC}{AB}=$
$\frac{3}{5}$
时，$∠ ACB=90°$。答案
7 $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
要使∠ACB=90°，结合已知CD⊥AB的条件，可通过证明含公共角∠A的两个直角三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例建立已知比值和所求比值的联系。首先当∠ACB=90°时，∠ADC与∠ACB均为直角，再加上公共角∠A，可证△ACD与△ABC相似，根据相似的边比例关系即可直接求出$\frac{AC}{AB}$的取值。
【解析】
解：当∠ACB=90°时：
∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
已知$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，代入得$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是识别出共角的直角三角形相似模型，利用相似的比例关系即可快速求解，是几何中角与边转化的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要使∠ACB=90°，结合已知CD⊥AB的条件，可通过证明含公共角∠A的两个直角三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例建立已知比值和所求比值的联系。首先当∠ACB=90°时，∠ADC与∠ACB均为直角，再加上公共角∠A，可证△ACD与△ABC相似，根据相似的边比例关系即可直接求出$\frac{AC}{AB}$的取值。
【解析】
解：当∠ACB=90°时：
∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
已知$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，代入得$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是识别出共角的直角三角形相似模型，利用相似的比例关系即可快速求解，是几何中角与边转化的典型基础题。
【难度系数】
0.7
