10 如图，在线段AB同侧有CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AB=11，AC=4，BD=6，点P在AB上运动，当AP=时，△ACP与以点B、D、P为顶点的三角形相似。

10 $\frac{22}{5}或3或8$

11 如图，已知：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，求证：$AB· CE=AC· BD$。

11 因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,所以$△ ABC ∽ △ ADE$,所以$∠ BAC = ∠ DAE$,所以$∠ BAD = ∠ CAE$,又因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$,所以$AB · CE = AC · BD$。

12 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC、BD相交于点E,AE·CE=DE·BE。求证:△ABE ∽ △ACB。

12 因为$AE · CE = DE · BE$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$。因为$∠ AED = ∠ BEC$,所以$△ AED ∽ △ BEC$,所以$∠ ADE = ∠ BCE$。因为$AB=AD$,所以$∠ ABE = ∠ ADE$,所以$∠ ABE = ∠ BCE$。因为$∠ BAE = ∠ CAB$,所以$△ ABE ∽ △ ACB$。

13 如图,在正方形ABCD中,P是边BC上的点,且$BC=4PC$,Q是边CD的中点。
(1) 求证:$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2) 求证:$△ APQ ∽ △ AQD$。

13 (1) 因为$BC=4PC$, Q是边CD的中点,所以$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$,又因为$∠ D = ∠ C = 90°$,所以$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2) 设$PC=x$,则$BP=3x$,$DQ=QC=2x$,$AD=AB=4x$。由勾股定理,得$AQ=2\sqrt{5}x$,$PQ=\sqrt{5}x$,$AP=5x$,所以$\frac{PQ}{DQ}=\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,所以$△ APQ ∽ △ AQD$。

14 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边AB、AC上，$DE // BC$，$AD^2=AE · AC$。
求证:(1) $△ BCD ∽ △ CDE$。
(2) $\dfrac{CD^2}{BC^2} = \dfrac{AD}{AB}$。

14 (1) 因为$AD^2 = AE · AC$,所以$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$,易得$△ ADE ∽ △ ACD$,所以$∠ ADE = ∠ ACD$。因为$DE // BC$,所以$∠ EDC = ∠ DCB$,$∠ B = ∠ ADE$,所以$∠ B = ∠ ACD$,所以$△ BCD ∽ △ CDE$。
(2) 因为$△ BCD ∽ △ CDE$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$。所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{CD}{BC} · \frac{CD}{BC}=\frac{CD}{BC} · \frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。因为$DE // BC$,所以$△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{AD}{AB}$。