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10 如图，在线段AB同侧有CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AB=11，AC=4，BD=6，点P在AB上运动，当AP=
$\frac{22}{5}或3或8$
时，△ACP与以点B、D、P为顶点的三角形相似。答案
10 $\frac{22}{5}或3或8$
解析
【分析】
首先由已知CA⊥AB、DB⊥AB可得∠A=∠B=90°，两个直角三角形相似时对应顶点未明确，因此需分两种情况讨论：①△ACP∽△BPD；②△ACP∽△BDP。设AP=x，则PB=11-x，根据不同相似情况的对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合线段长度要求即可。
【解析】
设AP的长为$x$，则$PB=AB-AP=11-x$，
∵$CA⊥AB$，$DB⊥AB$，
∴$∠A=∠B=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△ ACP ∽ △ BPD$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD}$，代入$AC=4$，$BD=6$得：
$\frac{4}{11-x}=\frac{x}{6}$
交叉相乘得：$x(11-x)=24$
整理得：$x^2-11x+24=0$
因式分解得：$(x-3)(x-8)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$，均满足$0＜x＜11$，符合题意；
2. 当$△ ACP ∽ △ BDP$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BD}=\frac{AP}{BP}$，代入数值得：
$\frac{4}{6}=\frac{x}{11-x}$
化简得：$3x=2(11-x)$
解得：$x=\frac{22}{5}$，满足$0＜x＜11$，符合题意。
综上，AP的长为$\frac{22}{5}$或3或8。
【答案】
$\frac{22}{5}$或3或8
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想、比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的经典动态题型，解题核心是当相似三角形对应关系未明确时，要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解，同时求出的解要符合线段的实际长度范围。
【难度系数】
0.5
首先由已知CA⊥AB、DB⊥AB可得∠A=∠B=90°，两个直角三角形相似时对应顶点未明确，因此需分两种情况讨论：①△ACP∽△BPD；②△ACP∽△BDP。设AP=x，则PB=11-x，根据不同相似情况的对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合线段长度要求即可。
【解析】
设AP的长为$x$，则$PB=AB-AP=11-x$，
∵$CA⊥AB$，$DB⊥AB$，
∴$∠A=∠B=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△ ACP ∽ △ BPD$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD}$，代入$AC=4$，$BD=6$得：
$\frac{4}{11-x}=\frac{x}{6}$
交叉相乘得：$x(11-x)=24$
整理得：$x^2-11x+24=0$
因式分解得：$(x-3)(x-8)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$，均满足$0＜x＜11$，符合题意；
2. 当$△ ACP ∽ △ BDP$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BD}=\frac{AP}{BP}$，代入数值得：
$\frac{4}{6}=\frac{x}{11-x}$
化简得：$3x=2(11-x)$
解得：$x=\frac{22}{5}$，满足$0＜x＜11$，符合题意。
综上，AP的长为$\frac{22}{5}$或3或8。
【答案】
$\frac{22}{5}$或3或8
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想、比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的经典动态题型，解题核心是当相似三角形对应关系未明确时，要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解，同时求出的解要符合线段的实际长度范围。
【难度系数】
0.5
11 如图，已知：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，求证：$AB· CE=AC· BD$。
答案
11 因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,所以$△ ABC ∽ △ ADE$,所以$∠ BAC = ∠ DAE$,所以$∠ BAD = ∠ CAE$,又因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$,所以$AB · CE = AC · BD$。
解析
【分析】
要证明等积式$AB· CE=AC· BD$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，只需证明$△ ABD ∽ △ ACE$即可。首先根据已知的三组边对应成比例，利用SSS判定定理可证$△ ABC ∽ △ ADE$，得到对应角$∠ BAC=∠ DAE$，进而推导得出两组三角形的夹角$∠ BAD=∠ CAE$；再将已知的边的比例式变形得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即可利用SAS判定定理证明$△ ABD ∽ △ ACE$，最后根据相似三角形对应边成比例得到待证比例式，转化为等积式即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$，
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE} \\∠ BAD = ∠ CAE\end{cases}$
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$AB· CE = AC· BD$。
【答案】
证明：因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,所以$△ ABC ∽ △ ADE$,所以$∠ BAC = ∠ DAE$,所以$∠ BAD = ∠ CAE$,又因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$,所以$AB · CE = AC · BD$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似证明的典型题型，解题关键是将等积式转化为比例式，通过两次相似的判定推导所需条件，能有效考查对相似三角形相关定理的掌握程度和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$AB· CE=AC· BD$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，只需证明$△ ABD ∽ △ ACE$即可。首先根据已知的三组边对应成比例，利用SSS判定定理可证$△ ABC ∽ △ ADE$，得到对应角$∠ BAC=∠ DAE$，进而推导得出两组三角形的夹角$∠ BAD=∠ CAE$；再将已知的边的比例式变形得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即可利用SAS判定定理证明$△ ABD ∽ △ ACE$，最后根据相似三角形对应边成比例得到待证比例式，转化为等积式即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$，
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE} \\∠ BAD = ∠ CAE\end{cases}$
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$AB· CE = AC· BD$。
【答案】
证明：因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,所以$△ ABC ∽ △ ADE$,所以$∠ BAC = ∠ DAE$,所以$∠ BAD = ∠ CAE$,又因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$,所以$AB · CE = AC · BD$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似证明的典型题型，解题关键是将等积式转化为比例式，通过两次相似的判定推导所需条件，能有效考查对相似三角形相关定理的掌握程度和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
12 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC、BD相交于点E,AE·CE=DE·BE。求证:△ABE ∽ △ACB。
答案
12 因为$AE · CE = DE · BE$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$。因为$∠ AED = ∠ BEC$,所以$△ AED ∽ △ BEC$,所以$∠ ADE = ∠ BCE$。因为$AB=AD$,所以$∠ ABE = ∠ ADE$,所以$∠ ABE = ∠ BCE$。因为$∠ BAE = ∠ CAB$,所以$△ ABE ∽ △ ACB$。
解析
【分析】
要证明△ABE ∽ △ACB，首先观察两个三角形存在公共角∠BAE=∠CAB，根据相似三角形的AA判定定理，仅需再证明一组对应角相等即可。接下来结合已知条件推导等角：第一步先将给出的等积式转化为比例式，结合对顶角相等的性质先证明△AED∽△BEC，得到角相等的结论；第二步利用AB=AD的等腰三角形性质，通过等量代换得到△ABE和△ACB的另一组等角，最终即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $AE · CE = DE · BE$，
∴ $\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$（比例的基本性质）。
又
∵ $∠AED = ∠BEC$（对顶角相等），
∴ $△AED ∽ △BEC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ADE = ∠BCE$（相似三角形对应角相等）。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ABE = ∠ADE$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ABE = ∠BCE$。
又
∵ $∠BAE = ∠CAB$（公共角相等），
∴ $△ABE ∽ △ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
因为$AE · CE = DE · BE$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$。因为$∠ AED = ∠ BEC$,所以$△ AED ∽ △ BEC$,所以$∠ ADE = ∠ BCE$。因为$AB=AD$,所以$∠ ABE = ∠ ADE$,所以$∠ ABE = ∠ BCE$。因为$∠ BAE = ∠ CAB$,所以$△ ABE ∽ △ ACB$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础证明题，解题关键是合理将等积式转化为比例式，先推导得到中间相似三角形，再通过角的等量代换得到目标三角形判定所需的等角，要求熟练掌握相似三角形、等腰三角形的相关性质和判定定理，能灵活运用进行角的关系推导。
【难度系数】
0.7
要证明△ABE ∽ △ACB，首先观察两个三角形存在公共角∠BAE=∠CAB，根据相似三角形的AA判定定理，仅需再证明一组对应角相等即可。接下来结合已知条件推导等角：第一步先将给出的等积式转化为比例式，结合对顶角相等的性质先证明△AED∽△BEC，得到角相等的结论；第二步利用AB=AD的等腰三角形性质，通过等量代换得到△ABE和△ACB的另一组等角，最终即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $AE · CE = DE · BE$，
∴ $\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$（比例的基本性质）。
又
∵ $∠AED = ∠BEC$（对顶角相等），
∴ $△AED ∽ △BEC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ADE = ∠BCE$（相似三角形对应角相等）。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ABE = ∠ADE$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ABE = ∠BCE$。
又
∵ $∠BAE = ∠CAB$（公共角相等），
∴ $△ABE ∽ △ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
因为$AE · CE = DE · BE$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EC}$。因为$∠ AED = ∠ BEC$,所以$△ AED ∽ △ BEC$,所以$∠ ADE = ∠ BCE$。因为$AB=AD$,所以$∠ ABE = ∠ ADE$,所以$∠ ABE = ∠ BCE$。因为$∠ BAE = ∠ CAB$,所以$△ ABE ∽ △ ACB$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础证明题，解题关键是合理将等积式转化为比例式，先推导得到中间相似三角形，再通过角的等量代换得到目标三角形判定所需的等角，要求熟练掌握相似三角形、等腰三角形的相关性质和判定定理，能灵活运用进行角的关系推导。
【难度系数】
0.7
13 如图,在正方形ABCD中,P是边BC上的点,且$BC=4PC$,Q是边CD的中点。
(1) 求证:$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2) 求证:$△ APQ ∽ △ AQD$。
(1) 求证:$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2) 求证:$△ APQ ∽ △ AQD$。
答案
13 (1) 因为$BC=4PC$, Q是边CD的中点,所以$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$,又因为$∠ D = ∠ C = 90°$,所以$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2) 设$PC=x$,则$BP=3x$,$DQ=QC=2x$,$AD=AB=4x$。由勾股定理,得$AQ=2\sqrt{5}x$,$PQ=\sqrt{5}x$,$AP=5x$,所以$\frac{PQ}{DQ}=\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,所以$△ APQ ∽ △ AQD$。
(2) 设$PC=x$,则$BP=3x$,$DQ=QC=2x$,$AD=AB=4x$。由勾股定理,得$AQ=2\sqrt{5}x$,$PQ=\sqrt{5}x$,$AP=5x$,所以$\frac{PQ}{DQ}=\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,所以$△ APQ ∽ △ AQD$。
解析
【分析】
（1）要证明△ADQ∽△QCP，已知正方形内角均为直角，可得∠D=∠C=90°，只需证明夹这两个等角的两组边对应成比例即可。结合正方形四边相等的性质，以及BC=4PC、Q是CD中点的条件，可计算得到两组边的比值相等，即可通过“两边对应成比例且夹角相等”判定两个三角形相似。
（2）要证明△APQ∽△AQD，可通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明。我们可以设参数表示各线段长度，再利用勾股定理分别求出两个三角形的各边长度，计算对应边的比值，若三组边比值均相等即可证明相似。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠D=∠C=90°。
∵Q是CD的中点，
∴$CQ=DQ=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD$。
∵$BC=4PC$，
∴$PC=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}CD=\frac{1}{2}DQ$，
∴$\frac{PC}{DQ}=\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AD}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}$。
又
∵∠D=∠C=90°，
∴△ADQ∽△QCP。
(2) 证明：设$PC=x$，则$BC=4x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB=BC=CD=4x$。
∵Q是CD中点，
∴$DQ=QC=2x$，$BP=BC-PC=3x$。
由勾股定理得：
在$Rt△ADQ$中，$AQ=\sqrt{AD^2+DQ^2}=\sqrt{(4x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{5}x$，
在$Rt△QCP$中，$PQ=\sqrt{PC^2+QC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
在$Rt△ABP$中，$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x$。
∴$\frac{PQ}{DQ}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{AQ}{AD}=\frac{2\sqrt{5}x}{4x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{AP}{AQ}=\frac{5x}{2\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{PQ}{DQ}=\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AQ}$，
∴△APQ∽△AQD。
【答案】
(1) △ADQ∽△QCP，得证；
(2) △APQ∽△AQD，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题时需要结合正方形的性质得到边和角的关系，合理设参数结合勾股定理计算边长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADQ∽△QCP，已知正方形内角均为直角，可得∠D=∠C=90°，只需证明夹这两个等角的两组边对应成比例即可。结合正方形四边相等的性质，以及BC=4PC、Q是CD中点的条件，可计算得到两组边的比值相等，即可通过“两边对应成比例且夹角相等”判定两个三角形相似。
（2）要证明△APQ∽△AQD，可通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明。我们可以设参数表示各线段长度，再利用勾股定理分别求出两个三角形的各边长度，计算对应边的比值，若三组边比值均相等即可证明相似。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠D=∠C=90°。
∵Q是CD的中点，
∴$CQ=DQ=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD$。
∵$BC=4PC$，
∴$PC=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}CD=\frac{1}{2}DQ$，
∴$\frac{PC}{DQ}=\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AD}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}$。
又
∵∠D=∠C=90°，
∴△ADQ∽△QCP。
(2) 证明：设$PC=x$，则$BC=4x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB=BC=CD=4x$。
∵Q是CD中点，
∴$DQ=QC=2x$，$BP=BC-PC=3x$。
由勾股定理得：
在$Rt△ADQ$中，$AQ=\sqrt{AD^2+DQ^2}=\sqrt{(4x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{5}x$，
在$Rt△QCP$中，$PQ=\sqrt{PC^2+QC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
在$Rt△ABP$中，$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x$。
∴$\frac{PQ}{DQ}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{AQ}{AD}=\frac{2\sqrt{5}x}{4x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{AP}{AQ}=\frac{5x}{2\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{PQ}{DQ}=\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AQ}$，
∴△APQ∽△AQD。
【答案】
(1) △ADQ∽△QCP，得证；
(2) △APQ∽△AQD，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题时需要结合正方形的性质得到边和角的关系，合理设参数结合勾股定理计算边长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边AB、AC上，$DE // BC$，$AD^2=AE · AC$。
求证:(1) $△ BCD ∽ △ CDE$。
(2) $\dfrac{CD^2}{BC^2} = \dfrac{AD}{AB}$。
求证:(1) $△ BCD ∽ △ CDE$。
(2) $\dfrac{CD^2}{BC^2} = \dfrac{AD}{AB}$。
答案
14 (1) 因为$AD^2 = AE · AC$,所以$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$,易得$△ ADE ∽ △ ACD$,所以$∠ ADE = ∠ ACD$。因为$DE // BC$,所以$∠ EDC = ∠ DCB$,$∠ B = ∠ ADE$,所以$∠ B = ∠ ACD$,所以$△ BCD ∽ △ CDE$。
(2) 因为$△ BCD ∽ △ CDE$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$。所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{CD}{BC} · \frac{CD}{BC}=\frac{CD}{BC} · \frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。因为$DE // BC$,所以$△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{AD}{AB}$。
(2) 因为$△ BCD ∽ △ CDE$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$。所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{CD}{BC} · \frac{CD}{BC}=\frac{CD}{BC} · \frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。因为$DE // BC$,所以$△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,所以$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{AD}{AB}$。
解析
【分析】
(1) 要证$△ BCD ∽ △ CDE$，需先找到两组对应角相等。首先将已知等积式$AD^2=AE·AC$转化为比例式$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，结合公共角$∠A$可证$△ ADE∽△ ACD$，得到$∠ADE=∠ACD$；再利用$DE// BC$的性质，可得$∠ADE=∠B$、$∠EDC=∠DCB$，即可得到$△ BCD$和$△ CDE$的两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 要证$\frac{CD^2}{BC^2} = \frac{AD}{AB}$，先利用第(1)问的相似结论，得到对应边成比例$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$，变形后可得$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{DE}{BC}$；再结合$DE// BC$证明$△ ADE∽△ ABC$，得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：$\because AD^2 = AE · AC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又$\because ∠A$为$△ ADE$和$△ ACD$的公共角，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACD$，
$\therefore ∠ADE = ∠ACD$。
$\because DE // BC$，
$\therefore ∠EDC = ∠DCB$（两直线平行，内错角相等），$∠B = ∠ADE$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠B = ∠ACD$，
在$△ BCD$和$△ CDE$中，$\begin{cases} ∠DCB=∠EDC \\ ∠B=∠DCE \end{cases}$，
$\therefore △ BCD ∽ △ CDE$。
(2) 证明：$\because △ BCD ∽ △ CDE$，
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$，
$\therefore \frac{CD^2}{BC^2}=\frac{CD}{BC} × \frac{CD}{BC}=\frac{CD}{BC} × \frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。
$\because DE // BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore \frac{CD^2}{BC^2}=\frac{AD}{AB}$。
【答案】
(1) $△ BCD ∽ △ CDE$得证；
(2) $\dfrac{CD^2}{BC^2} = \dfrac{AD}{AB}$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的常规综合题型，解题核心是掌握等积式与比例式的互化方法，结合平行线的性质寻找相等的角推导相似关系，再利用相似三角形的性质完成比例的代换，解题时要注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$△ BCD ∽ △ CDE$，需先找到两组对应角相等。首先将已知等积式$AD^2=AE·AC$转化为比例式$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，结合公共角$∠A$可证$△ ADE∽△ ACD$，得到$∠ADE=∠ACD$；再利用$DE// BC$的性质，可得$∠ADE=∠B$、$∠EDC=∠DCB$，即可得到$△ BCD$和$△ CDE$的两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 要证$\frac{CD^2}{BC^2} = \frac{AD}{AB}$，先利用第(1)问的相似结论，得到对应边成比例$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$，变形后可得$\frac{CD^2}{BC^2}=\frac{DE}{BC}$；再结合$DE// BC$证明$△ ADE∽△ ABC$，得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：$\because AD^2 = AE · AC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又$\because ∠A$为$△ ADE$和$△ ACD$的公共角，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACD$，
$\therefore ∠ADE = ∠ACD$。
$\because DE // BC$，
$\therefore ∠EDC = ∠DCB$（两直线平行，内错角相等），$∠B = ∠ADE$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠B = ∠ACD$，
在$△ BCD$和$△ CDE$中，$\begin{cases} ∠DCB=∠EDC \\ ∠B=∠DCE \end{cases}$，
$\therefore △ BCD ∽ △ CDE$。
(2) 证明：$\because △ BCD ∽ △ CDE$，
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CD}$，
$\therefore \frac{CD^2}{BC^2}=\frac{CD}{BC} × \frac{CD}{BC}=\frac{CD}{BC} × \frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。
$\because DE // BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore \frac{CD^2}{BC^2}=\frac{AD}{AB}$。
【答案】
(1) $△ BCD ∽ △ CDE$得证；
(2) $\dfrac{CD^2}{BC^2} = \dfrac{AD}{AB}$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的常规综合题型，解题核心是掌握等积式与比例式的互化方法，结合平行线的性质寻找相等的角推导相似关系，再利用相似三角形的性质完成比例的代换，解题时要注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
