11 如果二次函数$f(x)=(m-2)x^2 + mx + (m^2 - 4)$的图像过原点，试求$m$的值。

11.因为函数图像经过原点,所以$m^2-4=0$,$m_1=2$,$m_2=-2$。又因为$m-2≠0$,所以$m=-2$。

12 试求二次函数 $y=-x^2+2x-7$ 的图像绕顶点旋转 $180°$ 得到新抛物线表达式。

12.将二次函数化为顶点式$y=-(x-1)^2-6$,顶点为$(1,-6)$。绕顶点旋转$180°$后的顶点不变,开口方向相反,开口大小相同,所以旋转后的表达式为$y=(x-1)^2-6$。

13 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$，顶点到$x$轴的距离是8，求这个二次函数的表达式。

13.因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$,所以对称轴是直线$x=1$。因为顶点到$x$轴的距离是8,可以分下2种情况:
① 当顶点为$(1,8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+8$,将$(3,0)$代入得$a=-2$,所以$y=-2(x-1)^2+8$;
② 当顶点为$(1,-8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-8$,将$(3,0)$代入得$a=2$,所以$y=2(x-1)^2-8$。
综上所述,抛物线的表达式为$y=-2(x-1)^2+8$,$y=2(x-1)^2-8$。

14 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(-1, 1) $，$ B(3, 4) $，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ＜ 0) $ 的顶点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上运动，且与 $ x $ 轴交于 $ C $、$ D $ 两点（点 $ C $ 在点 $ D $ 左侧）。
（1）如果点 $ P $ 在第一象限，且抛物线过点 $ A $，试求 $ a $ 的取值范围。
（2）如果 $ a = -\dfrac{3}{4} $，且抛物线与线段 $ AB $ 交于另一点 $ Q $，试求 $ PQ $ 的长。

14 (1) 设直线$AB$表达式为$y = kx + b(k ≠ 0)$,把点$A(-1, 1)$、$B(3, 4)$代入可得
$\begin{cases} -k + b = 1, \\ 3k + b = 4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{4}, \\ b = \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 所以直线$AB$表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$。设点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,则抛物线的表达式为$y=a(x-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,将点$A(-1, 1)$代入,可得$1=a(-1-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,整理得$(1+m)[a(1+m)+\dfrac{3}{4}]=0$。因为点$P$在第一象限,所以$0 ＜ m ≤ 3$,所以$m+1＞0$,所以$a(1+m)+\dfrac{3}{4}=0$,整理得$a=\dfrac{-3}{4+4m}$。因为$0 ＜ m ≤ 3$,所以$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$。
(2) 由$a = -\dfrac{3}{4}$,可得抛物线表达式为$y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,联立表达式可得
$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}, \\ y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 整理得$(x - m)(x - m + 1) = 0$,解得$x_1 = m$,$x_2 = m - 1$,得$y_2 = \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4}$,所以点$Q$的坐标为$(m - 1, \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4})$,由点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,所以$PQ = \sqrt{1 + (\dfrac{3}{4})^2} = \dfrac{5}{4}$。