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1 如图，已知$AB // CD // EF$，$BD:DF=2:5$，那么下列结论正确的是（
A.$AC:AE=2:5$
B.$AB:CD=2:5$
C.$CD:EF=2:5$
D.$CE:EA=5:7$
D
）。A.$AC:AE=2:5$
B.$AB:CD=2:5$
C.$CD:EF=2:5$
D.$CE:EA=5:7$
答案
1.D
解析
【分析】
本题可依据平行线分线段成比例定理解题。首先明确三条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例，结合已知$BD:DF=2:5$，可得对应线段$AC:CE=2:5$，再将各选项涉及的线段用份数表示，逐一判断选项正误即可。注意平行线本身的长度无直接比例关系，可直接排除涉及平行线长度比的选项。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵ $AB // CD // EF$，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}=\frac{2}{5}$。
设$AC=2k$，$CE=5k$（$k≠0$），则$AE=AC+CE=2k+5k=7k$。
逐一分析选项：
选项A：$AC:AE=2k:7k=2:7≠2:5$，故A错误；
选项B：题干未给出线段$AB$、$CD$的长度相关条件，无法推出二者比值，故B错误；
选项C：题干未给出线段$CD$、$EF$的长度相关条件，无法推出二者比值，故C错误；
选项D：$CE:EA=5k:7k=5:7$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例的运算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的关键是找准对应成比例的线段，注意不要将分线段的比和分线段与总线段的比混淆，同时要明确平行线自身的长度不存在题设给出的比例关系，不要错选相关选项。
【难度系数】
0.7
本题可依据平行线分线段成比例定理解题。首先明确三条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例，结合已知$BD:DF=2:5$，可得对应线段$AC:CE=2:5$，再将各选项涉及的线段用份数表示，逐一判断选项正误即可。注意平行线本身的长度无直接比例关系，可直接排除涉及平行线长度比的选项。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵ $AB // CD // EF$，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}=\frac{2}{5}$。
设$AC=2k$，$CE=5k$（$k≠0$），则$AE=AC+CE=2k+5k=7k$。
逐一分析选项：
选项A：$AC:AE=2k:7k=2:7≠2:5$，故A错误；
选项B：题干未给出线段$AB$、$CD$的长度相关条件，无法推出二者比值，故B错误；
选项C：题干未给出线段$CD$、$EF$的长度相关条件，无法推出二者比值，故C错误；
选项D：$CE:EA=5k:7k=5:7$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例的运算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的关键是找准对应成比例的线段，注意不要将分线段的比和分线段与总线段的比混淆，同时要明确平行线自身的长度不存在题设给出的比例关系，不要错选相关选项。
【难度系数】
0.7
2 已知线段a、b、c，求线段x，使$ac=bx$，下列作法正确的是（
C
）。答案
2.C
解析
【分析】
要解这道题，首先需要把题目给出的等积式转化为比例式，再结合平行线分线段成比例的性质（平行于三角形一边的直线截角的两边，所得对应线段成比例），判断各选项里的线段对应关系是否符合所得比例式即可。第一步先对$ac=bx$变形，根据比例的基本性质（内项积等于外项积），把等积式转化为对应线段成比例的形式，再逐一比对选项中两条边上的线段位置是否对应。
【解析】
首先将等积式$ac=bx$根据比例的基本性质变形，可得比例式：$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，交叉相乘即可还原为原等积式。
根据平行线分线段成比例的性质：平行于三角形一边的直线截角的两边，所得的对应线段成比例，即斜边上的线段与底边上对应位置的线段比值相等：
选项A：斜边上两段为$c$、$x$，底边上两段为$a$、$b$，可得比例$\frac{c}{a}=\frac{x}{b}$，即$cb=ax$，不符合要求；
选项B：斜边上两段为$b$、$a$，底边上两段为$x$、$c$，可得比例$\frac{b}{x}=\frac{a}{c}$，即$bc=ax$，不符合要求；
选项C：斜边上两段为$b$、$a$，底边上两段为$c$、$x$，可得比例$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，即$bx=ac$，符合要求；
选项D：斜边上两段为$x$、$a$，底边上两段为$b$、$c$，可得比例$\frac{x}{b}=\frac{a}{c}$，即$xc=ab$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题的核心是先将等积式转化为比例式，再根据平行线分线段成比例的对应关系判断，解题的易错点是混淆对应线段的位置，做题时要注意区分靠近公共顶点和远离公共顶点的线段对应关系。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要把题目给出的等积式转化为比例式，再结合平行线分线段成比例的性质（平行于三角形一边的直线截角的两边，所得对应线段成比例），判断各选项里的线段对应关系是否符合所得比例式即可。第一步先对$ac=bx$变形，根据比例的基本性质（内项积等于外项积），把等积式转化为对应线段成比例的形式，再逐一比对选项中两条边上的线段位置是否对应。
【解析】
首先将等积式$ac=bx$根据比例的基本性质变形，可得比例式：$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，交叉相乘即可还原为原等积式。
根据平行线分线段成比例的性质：平行于三角形一边的直线截角的两边，所得的对应线段成比例，即斜边上的线段与底边上对应位置的线段比值相等：
选项A：斜边上两段为$c$、$x$，底边上两段为$a$、$b$，可得比例$\frac{c}{a}=\frac{x}{b}$，即$cb=ax$，不符合要求；
选项B：斜边上两段为$b$、$a$，底边上两段为$x$、$c$，可得比例$\frac{b}{x}=\frac{a}{c}$，即$bc=ax$，不符合要求；
选项C：斜边上两段为$b$、$a$，底边上两段为$c$、$x$，可得比例$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，即$bx=ac$，符合要求；
选项D：斜边上两段为$x$、$a$，底边上两段为$b$、$c$，可得比例$\frac{x}{b}=\frac{a}{c}$，即$xc=ab$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题的核心是先将等积式转化为比例式，再根据平行线分线段成比例的对应关系判断，解题的易错点是混淆对应线段的位置，做题时要注意区分靠近公共顶点和远离公共顶点的线段对应关系。
【难度系数】
0.7
3 已知线段a、b、c，求作线段x，使$x=\frac{ac}{b}$。下列作图方法中(AB//CD)不合理的是(
B
)。答案
3.B
解析
【分析】
要判断作图是否合理，需结合平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。对每个选项先根据平行线确定对应线段，列出比例式后变形，判断是否能得到$x=\frac{ac}{b}$，不符合要求的即为不合理的作图。
【解析】
设两条直线的公共端点或交点为$O$，结合平行线分线段成比例定理逐一分析：
选项A：$AB// CD$，为"A型"结构，可得$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}$，代入$OA=a$，$AC=x$，$OB=b$，$BD=c$，即$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
选项B：$AB// CD$，对应线段比例为$\frac{x}{a}=\frac{b}{c}$，变形得$x=\frac{bc}{a}$，与所求$x=\frac{ac}{b}$不符，作图不合理。
选项C：$AB// CD$，为"X型"结构，可得$\frac{c}{b}=\frac{x}{a}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
选项D：$AB// CD$，为"X型"结构，可得$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
综上，作图不合理的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形性质；尺规作图
【点评】
本题考查平行线分线段成比例在作图中的应用，解题核心是准确识别"A型""X型"结构的对应线段，正确列比例式验证，同时要符合尺规作图的基本逻辑。
【难度系数】
0.6
要判断作图是否合理，需结合平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。对每个选项先根据平行线确定对应线段，列出比例式后变形，判断是否能得到$x=\frac{ac}{b}$，不符合要求的即为不合理的作图。
【解析】
设两条直线的公共端点或交点为$O$，结合平行线分线段成比例定理逐一分析：
选项A：$AB// CD$，为"A型"结构，可得$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}$，代入$OA=a$，$AC=x$，$OB=b$，$BD=c$，即$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
选项B：$AB// CD$，对应线段比例为$\frac{x}{a}=\frac{b}{c}$，变形得$x=\frac{bc}{a}$，与所求$x=\frac{ac}{b}$不符，作图不合理。
选项C：$AB// CD$，为"X型"结构，可得$\frac{c}{b}=\frac{x}{a}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
选项D：$AB// CD$，为"X型"结构，可得$\frac{b}{c}=\frac{a}{x}$，变形得$bx=ac$，即$x=\frac{ac}{b}$，作图合理。
综上，作图不合理的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形性质；尺规作图
【点评】
本题考查平行线分线段成比例在作图中的应用，解题核心是准确识别"A型""X型"结构的对应线段，正确列比例式验证，同时要符合尺规作图的基本逻辑。
【难度系数】
0.6
④ 两条直线被三条
平行
的直线所截，截得的对应线段成比例
；两条直线被三条平行答案
平行,比例
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的内容识记，解题时只需回忆该定理的核心表述即可：定理明确要求截两条直线的三条直线需满足平行的位置关系，此时截得的对应线段满足成比例的数量关系，直接对应两个空缺填写即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。因此第一个空填“平行”，第二个空填“比例”。
【答案】
平行，比例
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对教材核心定理内容的记忆与掌握，只要熟练掌握定理内容就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查平行线分线段成比例定理的内容识记，解题时只需回忆该定理的核心表述即可：定理明确要求截两条直线的三条直线需满足平行的位置关系，此时截得的对应线段满足成比例的数量关系，直接对应两个空缺填写即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。因此第一个空填“平行”，第二个空填“比例”。
【答案】
平行，比例
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对教材核心定理内容的记忆与掌握，只要熟练掌握定理内容就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上所截的线段也
相等
。答案
相等
解析
【分析】
本题考查平行线等分线段定理的识记与应用，解题时首先回忆对应的定理内容：一组平行线被两条直线所截时，若在其中一条截线上截得的线段相等，那么在另一条截线上截得的线段也相等，题干给出的正是该定理的前提条件，直接匹配定理结论即可得到答案。
【解析】
根据平行线等分线段定理：一组平行线被两条直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上所截的线段也相等，因此横线处填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
平行线等分线段定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对基础定理内容的识记，熟练掌握相关定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查平行线等分线段定理的识记与应用，解题时首先回忆对应的定理内容：一组平行线被两条直线所截时，若在其中一条截线上截得的线段相等，那么在另一条截线上截得的线段也相等，题干给出的正是该定理的前提条件，直接匹配定理结论即可得到答案。
【解析】
根据平行线等分线段定理：一组平行线被两条直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上所截的线段也相等，因此横线处填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
平行线等分线段定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对基础定理内容的识记，熟练掌握相关定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5 如图，已知直线$l_1 // l_2 // l_3$，那么
(1) $\frac{AB}{BC}=$
第5、6题图
(1) $\frac{AB}{BC}=$
$\frac{DE}{EF}$
；(2) $\frac{AB}{AC}=$ $\frac{DE}{DF}$
；(3) $\frac{AC}{BC}=$ $\frac{DF}{EF}$
。第5、6题图
答案
(1) $\frac{DE}{EF}$ (2) $\frac{DE}{DF}$ (3) $\frac{DF}{EF}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。我们先明确两条被截直线上的对应线段：左侧被截直线上，$l_1$与$l_2$截得线段$AB$，$l_2$与$l_3$截得线段$BC$，$l_1$与$l_3$截得线段$AC$；右侧被截直线上，$l_1$与$l_2$截得线段$DE$，$l_2$与$l_3$截得线段$EF$，$l_1$与$l_3$截得线段$DF$。再按照所求比例的线段位置（上、下、全长）找对应线段的比例即可。
【解析】
已知直线$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例：
(1) $\frac{AB}{BC}$是左侧截线“上段:下段”的比，对应右侧截线“上段:下段”的比，因此$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$；
(2) $\frac{AB}{AC}$是左侧截线“上段:全长”的比，对应右侧截线“上段:全长”的比，因此$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$；
(3) $\frac{AC}{BC}$是左侧截线“全长:下段”的比，对应右侧截线“全长:下段”的比，因此$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$。
【答案】
(1) $\frac{DE}{EF}$ (2) $\frac{DE}{DF}$ (3) $\frac{DF}{EF}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平行线分线段成比例定理中对应线段的识别，解题时只要找准线段的位置对应关系，就能快速得出结果，需注意不要混淆对应线段的位置。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。我们先明确两条被截直线上的对应线段：左侧被截直线上，$l_1$与$l_2$截得线段$AB$，$l_2$与$l_3$截得线段$BC$，$l_1$与$l_3$截得线段$AC$；右侧被截直线上，$l_1$与$l_2$截得线段$DE$，$l_2$与$l_3$截得线段$EF$，$l_1$与$l_3$截得线段$DF$。再按照所求比例的线段位置（上、下、全长）找对应线段的比例即可。
【解析】
已知直线$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例：
(1) $\frac{AB}{BC}$是左侧截线“上段:下段”的比，对应右侧截线“上段:下段”的比，因此$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$；
(2) $\frac{AB}{AC}$是左侧截线“上段:全长”的比，对应右侧截线“上段:全长”的比，因此$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$；
(3) $\frac{AC}{BC}$是左侧截线“全长:下段”的比，对应右侧截线“全长:下段”的比，因此$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$。
【答案】
(1) $\frac{DE}{EF}$ (2) $\frac{DE}{DF}$ (3) $\frac{DF}{EF}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平行线分线段成比例定理中对应线段的识别，解题时只要找准线段的位置对应关系，就能快速得出结果，需注意不要混淆对应线段的位置。
【难度系数】
0.9
6 如图,(1) 如果 $ l_1 // l_2 // l_3 $, $ AB:AC=3:7 $, $ DF=21 $, 则 $ DE= $
(2) 若 $ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} $, 则 $ AD // BE // CF $, 这个命题是
9
。(2) 若 $ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} $, 则 $ AD // BE // CF $, 这个命题是
假
命题(填“真”或“假”)。答案
(1) 9 (2) 假
解析
【分析】
（1）解决第一问可依据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。我们可以找到与已知条件AB:AC、DF对应的比例关系$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，代入已知数值即可计算出DE的长度。
（2）解决第二问需要判断命题真假，我们要明确平行线分线段成比例定理的逆命题不成立，仅满足截得的线段成比例，无法直接推出三条直线互相平行，可通过举反例验证。
【解析】
（1）$\because l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$
已知$AB:AC=3:7$，$DF=21$，代入比例式得：
$\frac{3}{7}=\frac{DE}{21}$
解得：$DE=\frac{3×21}{7}=9$
（2）平行线分线段成比例定理的前提是三条直线平行，才能得到对应线段成比例；反之，仅存在$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$的关系时，不能推出$AD // BE // CF$，存在不平行也满足线段比例的反例，因此该命题不成立，是假命题。
【答案】
（1）9；（2）假
【知识点】
平行线分线段成比例、命题真假判断
【点评】
本题侧重对基础定理的理解和应用，需要同学们准确掌握平行线分线段成比例定理的内容，同时注意区分定理和它的逆命题，不要混淆二者的成立条件。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问可依据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。我们可以找到与已知条件AB:AC、DF对应的比例关系$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，代入已知数值即可计算出DE的长度。
（2）解决第二问需要判断命题真假，我们要明确平行线分线段成比例定理的逆命题不成立，仅满足截得的线段成比例，无法直接推出三条直线互相平行，可通过举反例验证。
【解析】
（1）$\because l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$
已知$AB:AC=3:7$，$DF=21$，代入比例式得：
$\frac{3}{7}=\frac{DE}{21}$
解得：$DE=\frac{3×21}{7}=9$
（2）平行线分线段成比例定理的前提是三条直线平行，才能得到对应线段成比例；反之，仅存在$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$的关系时，不能推出$AD // BE // CF$，存在不平行也满足线段比例的反例，因此该命题不成立，是假命题。
【答案】
（1）9；（2）假
【知识点】
平行线分线段成比例、命题真假判断
【点评】
本题侧重对基础定理的理解和应用，需要同学们准确掌握平行线分线段成比例定理的内容，同时注意区分定理和它的逆命题，不要混淆二者的成立条件。
【难度系数】
0.7
