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$l_1 // l_2 // l_3$，$AB = \frac{2}{3}BC$，$DF = 10$，那么$DE =$
4
。答案
7. 4
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先由三条平行直线的条件，联想到平行线分线段成比例定理，确定两条被截直线上对应线段的比例关系；再结合已知的AB与BC的比值，得到DE与EF的比值；最后根据DF是DE与EF的和，设未知数列方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知 $ AB=\frac{2}{3}BC $，因此 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，即 $\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设 $ DE=2x $，则 $ EF=3x $
∵ $ DF=DE+EF=10 $
∴ $ 2x+3x=10 $
解得 $ x=2 $
∴ $ DE=2x=4 $
【答案】
4
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线截得的对应线段，结合比例关系和线段和的条件求解，掌握定理中对应线段的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先由三条平行直线的条件，联想到平行线分线段成比例定理，确定两条被截直线上对应线段的比例关系；再结合已知的AB与BC的比值，得到DE与EF的比值；最后根据DF是DE与EF的和，设未知数列方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知 $ AB=\frac{2}{3}BC $，因此 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，即 $\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设 $ DE=2x $，则 $ EF=3x $
∵ $ DF=DE+EF=10 $
∴ $ 2x+3x=10 $
解得 $ x=2 $
∴ $ DE=2x=4 $
【答案】
4
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线截得的对应线段，结合比例关系和线段和的条件求解，掌握定理中对应线段的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
8 如图，AB // CD // EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝
$\frac{5}{2}$
。答案
8. $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。观察图形可知，AB、CD、EF三条平行线截AF、BE两条直线，首先通过定理得到AD与DF的比等于BC与CE的比，再结合BE=BC+CE的线段和差关系，即可求出BE与CE的比值。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
已知$AD:DF=3:2$，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{2}$，即$BC=\frac{3}{2}CE$，
又
∵$BE=BC+CE$，
代入得：$BE=\frac{3}{2}CE + CE=\frac{5}{2}CE$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{5}{2}$，即$BE:CE=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的关键是准确识别三条平行线所截两条直线上的对应线段，再结合线段和差关系计算比值，难度不大，掌握定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。观察图形可知，AB、CD、EF三条平行线截AF、BE两条直线，首先通过定理得到AD与DF的比等于BC与CE的比，再结合BE=BC+CE的线段和差关系，即可求出BE与CE的比值。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
已知$AD:DF=3:2$，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{2}$，即$BC=\frac{3}{2}CE$，
又
∵$BE=BC+CE$，
代入得：$BE=\frac{3}{2}CE + CE=\frac{5}{2}CE$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{5}{2}$，即$BE:CE=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的关键是准确识别三条平行线所截两条直线上的对应线段，再结合线段和差关系计算比值，难度不大，掌握定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9 如图，直线$AD // EB // FC$，如果$DE＝2EF$，$AC＝9$，那么$AB$长是
6
。答案
9. 6
解析
【分析】
本题可根据平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，三条平行线AD、EB、FC截两条直线DF和AC，所得的对应线段成比例，由此可得AB与BC的比等于DE与EF的比；再结合已知DE=2EF得到AB和BC的比例关系，最后根据AC=AB+BC=9，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD// EB// FC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
∵$DE=2EF$，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AC=AB+BC=9$，
将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：$AB+\frac{1}{2}AB=9$，
即$\frac{3}{2}AB=9$，
解得$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.比例运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到平行线截两条直线所得的对应线段，正确列出比例式，再结合线段的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
本题可根据平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，三条平行线AD、EB、FC截两条直线DF和AC，所得的对应线段成比例，由此可得AB与BC的比等于DE与EF的比；再结合已知DE=2EF得到AB和BC的比例关系，最后根据AC=AB+BC=9，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD// EB// FC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
∵$DE=2EF$，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AC=AB+BC=9$，
将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：$AB+\frac{1}{2}AB=9$，
即$\frac{3}{2}AB=9$，
解得$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.比例运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到平行线截两条直线所得的对应线段，正确列出比例式，再结合线段的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
10 如图,两条不平行的直线$ l_1 $与直线$ l_2 $相交于点$ O $,四条平行线分别交直线$ l_1 $于点$ A $、$ B $、$ C $、$ D $,交直线$ l_2 $于点$ A_1 $、$ B_1 $、$ C_1 $、$ D_1 $,则有$ AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1 $。如果$ A_1O=3 $,$ OB_1 = B_1C_1=2 $,$ C_1D_1=4 $,且有以下4个结果:①$ BD - AB $;②$ OD - OA $;③$ OC - CD $;④$ CD - OB $,将这4个结果由小到大排列为:
③①④②
。(填序号)答案
③①④② [提示:由已知条件可设$AO=3k, OB=2k, BC=2k, CD=4k$,则$BD-AB=k, OD-OA=5k, OC-CD=0, CD-OB=2k$。]
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据平行线分线段成比例的性质，可知两条被截直线上对应线段的比相等，结合已知$l_2$上各段线段的长度，可得到$l_1$上对应线段的比例关系；接下来设比例系数为$k$，将$l_1$上的各线段长度用含$k$的式子表示；最后分别计算4个式子的结果，比较大小即可得到排序。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，$\because AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1$，
$\therefore \frac{AO}{A_1O}=\frac{OB}{OB_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$。
已知$A_1O=3$，$OB_1 = B_1C_1=2$，$C_1D_1=4$，因此$AO:OB:BC:CD=3:2:2:4$。
设$AO=3k$，$OB=2k$，$BC=2k$，$CD=4k$（$k＞0$），分别计算四个式子：
① $BD-AB$：$BD=BC+CD=2k+4k=6k$，$AB=AO+OB=3k+2k=5k$，故$BD-AB=6k-5k=k$；
② $OD-OA$：$OD=OB+BC+CD=2k+2k+4k=8k$，$OA=3k$，故$OD-OA=8k-3k=5k$；
③ $OC-CD$：$OC=OB+BC=2k+2k=4k$，故$OC-CD=4k-4k=0$；
④ $CD-OB$：$CD=4k$，$OB=2k$，故$CD-OB=4k-2k=2k$。
比较大小：$0＜k＜2k＜5k$，对应排序为③①④②。
【答案】
③①④②
【知识点】
平行线分线段成比例、线段和差计算、代数式大小比较
【点评】
本题解题的核心是利用平行线分线段成比例得到两条直线上线段的比例关系，通过设参数的方法将各线段长度统一表示，避免直接计算的复杂性，这种参数法在比例类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据平行线分线段成比例的性质，可知两条被截直线上对应线段的比相等，结合已知$l_2$上各段线段的长度，可得到$l_1$上对应线段的比例关系；接下来设比例系数为$k$，将$l_1$上的各线段长度用含$k$的式子表示；最后分别计算4个式子的结果，比较大小即可得到排序。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，$\because AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1$，
$\therefore \frac{AO}{A_1O}=\frac{OB}{OB_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$。
已知$A_1O=3$，$OB_1 = B_1C_1=2$，$C_1D_1=4$，因此$AO:OB:BC:CD=3:2:2:4$。
设$AO=3k$，$OB=2k$，$BC=2k$，$CD=4k$（$k＞0$），分别计算四个式子：
① $BD-AB$：$BD=BC+CD=2k+4k=6k$，$AB=AO+OB=3k+2k=5k$，故$BD-AB=6k-5k=k$；
② $OD-OA$：$OD=OB+BC+CD=2k+2k+4k=8k$，$OA=3k$，故$OD-OA=8k-3k=5k$；
③ $OC-CD$：$OC=OB+BC=2k+2k=4k$，故$OC-CD=4k-4k=0$；
④ $CD-OB$：$CD=4k$，$OB=2k$，故$CD-OB=4k-2k=2k$。
比较大小：$0＜k＜2k＜5k$，对应排序为③①④②。
【答案】
③①④②
【知识点】
平行线分线段成比例、线段和差计算、代数式大小比较
【点评】
本题解题的核心是利用平行线分线段成比例得到两条直线上线段的比例关系，通过设参数的方法将各线段长度统一表示，避免直接计算的复杂性，这种参数法在比例类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
11 如图，已知线段a、b、c，求作线段x，使$x=\frac{ab}{c}$。（不写作法，保留作图痕迹）
答案
因为$x=\frac{ab}{c}$,所以$c:a=b:x$,作出线段c、a、b、x的第四比例项得到x，如图：
解析
【分析】
首先对所求线段满足的关系式$x=\frac{ab}{c}$进行变形，根据比例的基本性质，乘积式可转化为比例式$c:a=b:x$，由此可知x是线段c、a、b的第四比例项。接下来利用平行线分线段成比例定理作图：先作一个任意角，在角的一边上顺次截取长度为c、a的线段，在角的另一边上截取长度为b的线段，连接两个边上对应截点得到直线，再作该直线的平行线即可截出所求线段x。
【解析】
根据比例的基本性质，将$x=\frac{ab}{c}$交叉相乘得$c· x=a· b$，整理为比例式为$c:a = b:x$，即x是线段c、a、b的第四比例项。依据平行线分线段成比例定理，作出四条线段的第四比例项即可得到所求线段x，作图保留痕迹如答案所示。
【答案】
因为$x=\frac{ab}{c}$,所以$c:a=b:x$,作出线段c、a、b、x的第四比例项得到x，如图：
【知识点】
比例的基本性质，平行线分线段成比例，尺规作图
【点评】
本题重点考查比例式变形和作第四比例项的方法，核心是将乘积形式的线段关系转化为比例式，确定所求线段与已知线段的比例关系，是较为基础的作图应用题。
【难度系数】
0.7
首先对所求线段满足的关系式$x=\frac{ab}{c}$进行变形，根据比例的基本性质，乘积式可转化为比例式$c:a=b:x$，由此可知x是线段c、a、b的第四比例项。接下来利用平行线分线段成比例定理作图：先作一个任意角，在角的一边上顺次截取长度为c、a的线段，在角的另一边上截取长度为b的线段，连接两个边上对应截点得到直线，再作该直线的平行线即可截出所求线段x。
【解析】
根据比例的基本性质，将$x=\frac{ab}{c}$交叉相乘得$c· x=a· b$，整理为比例式为$c:a = b:x$，即x是线段c、a、b的第四比例项。依据平行线分线段成比例定理，作出四条线段的第四比例项即可得到所求线段x，作图保留痕迹如答案所示。
【答案】
因为$x=\frac{ab}{c}$,所以$c:a=b:x$,作出线段c、a、b、x的第四比例项得到x，如图：
【知识点】
比例的基本性质，平行线分线段成比例，尺规作图
【点评】
本题重点考查比例式变形和作第四比例项的方法，核心是将乘积形式的线段关系转化为比例式，确定所求线段与已知线段的比例关系，是较为基础的作图应用题。
【难度系数】
0.7
12 在四边形ABCD中，AD // BC，点E在边AB上，且$AE=\dfrac{1}{3}AB$，点F在边CD上，且$DF=\dfrac{1}{3}CD$，连接EF，求证：$EF // BC$。
答案
过点E作$EH // DC$,交CB于点H,交直线AD于点G。因为$AD // BC$,所以四边形GHCD是平行四边形,所以$HG=DC$。因为$AD // BC$,所以$\frac{GE}{GH}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。因为$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{GE}{GH}=\frac{DF}{DC}$。因为$HG=DC$,所以$GE=DF$,所以$HE=FC$,所以四边形HCFE是平行四边形,所以$EF // BC$。
解析
【分析】
要证明$EF // BC$，可通过构造平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质推导。首先结合已知$AD // BC$，过E作DC的平行线，分别交AD、BC于G、H，先得到四边形GHCD是平行四边形，推出$HG=DC$；再利用平行线分线段成比例定理，由$AD // BC$推出$\frac{GE}{GH}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，结合已知$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$，可证$GE=DF$，进而得到$HE=FC$，即可判定四边形HCFE是平行四边形，最终得到$EF // BC$。
【解析】
过点E作$EH // DC$，交CB于点H，交直线AD于点G。
1. 因为$AD // BC$，$EH // DC$，所以四边形GHCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$HG=DC$（平行四边形对边相等）。
2. 因为$AD // BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{GE}{GH}=\frac{AE}{AB}$，已知$AE=\frac{1}{3}AB$，所以$\frac{GE}{GH}=\frac{1}{3}$。
3. 已知$DF=\frac{1}{3}CD$，所以$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{GE}{GH}=\frac{DF}{DC}$。
4. 结合$HG=DC$，可推出$GE=DF$，因此$HG-GE=DC-DF$，即$HE=FC$。
5. 又因为$HE // FC$，所以四边形HCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因此$EF // BC$（平行四边形对边平行）。
【答案】
$EF // BC$，得证
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 平行四边形的判定
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线性质与平行四边形判定的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，将线段比例关系转化为平行四边形的边相等关系，从而推出平行结论，能较好地考查逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要证明$EF // BC$，可通过构造平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质推导。首先结合已知$AD // BC$，过E作DC的平行线，分别交AD、BC于G、H，先得到四边形GHCD是平行四边形，推出$HG=DC$；再利用平行线分线段成比例定理，由$AD // BC$推出$\frac{GE}{GH}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，结合已知$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$，可证$GE=DF$，进而得到$HE=FC$，即可判定四边形HCFE是平行四边形，最终得到$EF // BC$。
【解析】
过点E作$EH // DC$，交CB于点H，交直线AD于点G。
1. 因为$AD // BC$，$EH // DC$，所以四边形GHCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$HG=DC$（平行四边形对边相等）。
2. 因为$AD // BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{GE}{GH}=\frac{AE}{AB}$，已知$AE=\frac{1}{3}AB$，所以$\frac{GE}{GH}=\frac{1}{3}$。
3. 已知$DF=\frac{1}{3}CD$，所以$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{GE}{GH}=\frac{DF}{DC}$。
4. 结合$HG=DC$，可推出$GE=DF$，因此$HG-GE=DC-DF$，即$HE=FC$。
5. 又因为$HE // FC$，所以四边形HCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因此$EF // BC$（平行四边形对边平行）。
【答案】
$EF // BC$，得证
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 平行四边形的判定
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线性质与平行四边形判定的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，将线段比例关系转化为平行四边形的边相等关系，从而推出平行结论，能较好地考查逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
