13 如图,已知$AD // BE // CF$,它们依次交直线$l_1$、$l_2$于点$A$、$B$、$C$和点$D$、$E$、$F$。
(1) 如图①,如果$AB=6$,$BC=8$,$DF=21$,求$DE$的长。
(2) 如图②,如果$DE:EF=1:1$,$AD=9$,$CF=15$,求$BE$的长。

(1) 因为$AD // BE // CF$,所以$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$。因为$AB=6, BC=8, DF=21$,所以$\frac{DE}{21}=\frac{6}{6+8}$,所以$DE=9$。
(2) 过点A作$AH // DF$,交CF于点H,交BE于点G。易证$AB=BC, BG=\frac{1}{2}CH$,四边形ADEG和四边形GEFH都是平行四边形,所以$AD=GE=HF=9$,所以$CH=6, BG=\frac{1}{2}CH=3$,所以$BE=BG+GE=12$。

【分析】
(1) 已知三条平行线截两条直线，首先运用平行线分线段成比例定理，得到对应线段的比例关系$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$，先求出AC的总长度，再代入已知数值即可求解DE。
(2) 由$DE:EF=1:1$结合平行线分线段成比例定理可推出B是AC中点，没有直接求BE的比例关系，因此过A作$AH// DF$构造平行四边形和三角形中位线，利用平行四边形对边相等求出GE的长度，再用三角形中位线定理求出BG的长度，两者相加即可得到BE的长度。
【解析】
(1) $\because AD// BE// CF$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$
已知$AB=6$，$BC=8$，$DF=21$，则$AC=AB+BC=6+8=14$
代入比例式得$\frac{DE}{21}=\frac{6}{14}$
解得$DE=9$
(2) 过点A作$AH// DF$，交BE于点G，交CF于点H
$\because AD// BE// CF$，$AH// DF$
$\therefore$ 四边形ADEG、四边形GEFH均为平行四边形
$\therefore AD=GE=HF=9$，则$CH=CF-HF=15-9=6$
又$\because AD// BE// CF$，$DE:EF=1:1$
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{1}{1}$，即$AB=BC$，B为AC中点
$\because BG// CF$，B是AC中点
$\therefore BG$是$△ ACH$的中位线，$BG=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}×6=3$
$\therefore BE=BG+GE=3+9=12$
【答案】
(1) $\boxed{DE=9}$
(2) $\boxed{BE=12}$
【知识点】
平行线分线段成比例，平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题第一问是基础应用，直接利用平行线分线段成比例的比例式计算即可；第二问需要灵活构造辅助线，结合平行四边形和中位线的性质求解，考查对相关定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

14 如图①,在四边形ABCD中,AD＜BC,AD//BC,E为AB的中点,F为DC上一点,EF//BC。
(1) 求证: $EF=\frac{AD + BC}{2}$。
(2) 如图②,连接DE和EC,若$AD + BC = DC$,求证:$DE ⊥ EC$。

(1) 如图,过点E作$EH // DC$,交CB于点H,交直线AD于点G。易证$△ BEH ≌ △ AEG$,四边形GEFD和四边形HCFE都是平行四边形,所以$DG=CH$。因为$2AG=AG+BH=DG-AD+BC-CH=BC-AD$,所以$AG=BH=\frac{BC-AD}{2}$,所以$EF=AG+AD=\frac{BC-AD}{2}+AD=\frac{AD+BC}{2}$。
(2) 因为$EF=\frac{AD+BC}{2}$,又因为$AD+BC=DC$,易证F是DC中点,所以$EF=DF=FC$,所以$∠ DEF=∠ EDF$, $∠ FEC=∠ FCE$。因为$∠ EDC+∠ CED+∠ DCE=180°$,所以$∠ EDC+∠ DCE=90°$,所以$DE ⊥ EC$。

【分析】
(1) 要证明$EF=\frac{AD+BC}{2}$，属于线段和差类证明问题，可通过构造辅助线将分散的AD、BC线段关联起来：过E作DC的平行线，分别交直线AD、BC于G、H两点，先利用AD//BC的平行关系结合E是AB中点，证明△AEG和△BEH全等得到AG=BH；再证明构造出的四边形GEFD、HCFE是平行四边形，得到DG=CH、EF=GD，最后通过线段和差推导即可得到EF的长度。
(2) 要证明DE⊥EC，即证∠DEC=90°，结合第一问的结论$EF=\frac{AD+BC}{2}$，已知AD+BC=DC可得EF等于DC的一半；再由EF//AD//BC、E是AB中点可得F是DC中点，即EF=DF=FC，利用等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和为180°，即可推出∠DEC=90°。
【解析】
(1) 证明：过点E作$EH // DC$，交CB的延长线于点H，交直线AD于点G。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠G=∠EHB$，$∠EAG=∠EBH$。
又
∵ E为AB中点，
∴ $AE=BE$。
在$△AEG$和$△BEH$中：
$\begin{cases}∠G=∠EHB \\∠EAG=∠EBH \\AE=BE\end{cases}$
∴ $△AEG ≌ △BEH \mathrm{(AAS)}$，
∴ $AG=BH$。
∵ $AD // EF$，$EG // DF$，
∴ 四边形GEFD是平行四边形，
∴ $EF=GD$。
同理四边形EHCF是平行四边形，
∴ $EF=HC$，故$DG=CH$。
∵ $DG=AD+AG$，$CH=BC-BH$，$AG=BH$，
∴ $AD+AG=BC-AG$，整理得$AG=\frac{BC-AD}{2}$。
∴ $EF=GD=AD+AG=AD+\frac{BC-AD}{2}=\frac{AD+BC}{2}$，得证。
(2) 证明：由(1)知$EF=\frac{AD+BC}{2}$，
∵ $AD+BC=DC$，
∴ $EF=\frac{DC}{2}$。
∵ $AD // EF // BC$，E是AB中点，根据平行线分线段成比例可得F为DC中点，
∴ $DF=FC=\frac{DC}{2}$，故$EF=DF=FC$。
∴ $∠DEF=∠EDF$，$∠FEC=∠ECF$。
在$△DEC$中，$∠EDF+∠DEC+∠ECF=180°$，
即$∠EDF+∠DEF+∠FEC+∠ECF=180°$，
代入$∠DEF=∠EDF$、$∠FEC=∠ECF$得：
$2(∠DEF+∠FEC)=180°$，
∴ $∠DEF+∠FEC=∠DEC=90°$，即$DE ⊥ EC$，得证。
【答案】
(1) 证明成立，$EF=\frac{AD + BC}{2}$；
(2) 证明成立，$DE ⊥ EC$。

【知识点】
1. 平行四边形判定与性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是梯形相关的基础几何证明题，第一问考查梯形中位线公式的推导，通过构造全等三角形和平行四边形完成线段转化，是梯形中位线性质的典型推导方法；第二问结合第一问结论，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理证明垂直，注重对基础几何定理的综合应用，解题时要注意前后问的关联。
【难度系数】
0.7