登录
1 已知线段$a=2\ \mathrm{mm}$，$b=10\ \mathrm{mm}$，那么$\frac{a}{b}$的值为（
B
）。答案
1 B
解析
【分析】
本题考查线段比值的计算，解题思路如下：首先明确两条线段的比值是它们长度的比值，计算前先确认两条线段的长度单位是否统一，本题中a和b的单位都是mm，单位一致无需换算，直接将两个长度代入比值表达式，约分后即可得到对应结果。
【解析】
已知线段$a=2\ \mathrm{mm}$，$b=10\ \mathrm{mm}$，二者单位相同，因此：
$\frac{a}{b}=\frac{2\ \mathrm{mm}}{10\ \mathrm{mm}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
对应选项答案为B。
【答案】
B
【知识点】
线段的比，分数约分
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键点是计算线段比前先确认单位统一，若单位不同需要先换算成相同单位再计算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查线段比值的计算，解题思路如下：首先明确两条线段的比值是它们长度的比值，计算前先确认两条线段的长度单位是否统一，本题中a和b的单位都是mm，单位一致无需换算，直接将两个长度代入比值表达式，约分后即可得到对应结果。
【解析】
已知线段$a=2\ \mathrm{mm}$，$b=10\ \mathrm{mm}$，二者单位相同，因此：
$\frac{a}{b}=\frac{2\ \mathrm{mm}}{10\ \mathrm{mm}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
对应选项答案为B。
【答案】
B
【知识点】
线段的比，分数约分
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键点是计算线段比前先确认单位统一，若单位不同需要先换算成相同单位再计算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
2 已知线段$a=4\,\mathrm{cm}$，$b=9\,\mathrm{cm}$。如果线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，那么线段$c$的长度为（
A.$6\,\mathrm{cm}$
B.$36\,\mathrm{cm}$
C.$\dfrac{81}{4}\,\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{16}{9}\,\mathrm{cm}$
C
）。A.$6\,\mathrm{cm}$
B.$36\,\mathrm{cm}$
C.$\dfrac{81}{4}\,\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{16}{9}\,\mathrm{cm}$
答案
2 C
解析
【分析】
首先回忆比例中项的定义：若线段b是线段a、c的比例中项，则满足比例关系$a:b = b:c$，根据比例的基本性质可转化为乘积式$b^2=ac$。本题已知a和b的长度，要求c的长度，只需将已知数值代入乘积式，变形求解即可，注意线段长度为正数，无需考虑负根。
【解析】
根据比例中项的定义可得：
$b^2 = a · c$
将$a=4\,\mathrm{cm}$，$b=9\,\mathrm{cm}$代入上式：
$9^2 = 4c$
即$81 = 4c$
解得$c = \dfrac{81}{4}\,\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的应用，解题的关键是准确掌握比例中项对应的等量关系，注意区分比例中项的前后项顺序，避免因关系式列错导致失分。
【难度系数】
0.7
首先回忆比例中项的定义：若线段b是线段a、c的比例中项，则满足比例关系$a:b = b:c$，根据比例的基本性质可转化为乘积式$b^2=ac$。本题已知a和b的长度，要求c的长度，只需将已知数值代入乘积式，变形求解即可，注意线段长度为正数，无需考虑负根。
【解析】
根据比例中项的定义可得：
$b^2 = a · c$
将$a=4\,\mathrm{cm}$，$b=9\,\mathrm{cm}$代入上式：
$9^2 = 4c$
即$81 = 4c$
解得$c = \dfrac{81}{4}\,\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的应用，解题的关键是准确掌握比例中项对应的等量关系，注意区分比例中项的前后项顺序，避免因关系式列错导致失分。
【难度系数】
0.7
3 已知P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，下列说法正确的是（
A.$\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{BP}$
B.$\frac{AB}{AP}=\frac{BP}{AB}$
C.$\frac{BP}{AP}=\frac{AB}{BP}$
D.$\frac{AB}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
A
）。A.$\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{BP}$
B.$\frac{AB}{AP}=\frac{BP}{AB}$
C.$\frac{BP}{AP}=\frac{AB}{BP}$
D.$\frac{AB}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案
3 A
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义，结合已知条件$AP＞BP$，先确定AP是较长线段、BP是较短线段、AB是全线段。黄金分割的核心规律是较长线段是全线段和较短线段的比例中项，我们可以先把定义转化为比例式，再逐一对比选项，同时注意黄金比是较长线段与全线段的比值，不要混淆比例的前后项，就能选出正确答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：若点P把线段AB分为AP和BP两段（$AP＞BP$），满足$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，则点P是AB的黄金分割点。
1. 对比例式变形：根据比例的基本性质，将$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉换位可得$\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{BP}$，因此A选项正确。
2. 分析其余选项：
B选项：$\frac{AB}{AP}=\frac{BP}{AB}$等价于$AB^2=AP· BP$，不符合黄金分割的比例关系，错误；
C选项：$\frac{BP}{AP}=\frac{AB}{BP}$等价于$BP^2=AP· AB$，不符合黄金分割的比例关系，错误；
D选项：黄金比为$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此$\frac{AB}{AP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对黄金分割定义的准确记忆，只要清晰区分较长线段、较短线段、全线段三者的比例对应关系，就不容易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义，结合已知条件$AP＞BP$，先确定AP是较长线段、BP是较短线段、AB是全线段。黄金分割的核心规律是较长线段是全线段和较短线段的比例中项，我们可以先把定义转化为比例式，再逐一对比选项，同时注意黄金比是较长线段与全线段的比值，不要混淆比例的前后项，就能选出正确答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：若点P把线段AB分为AP和BP两段（$AP＞BP$），满足$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，则点P是AB的黄金分割点。
1. 对比例式变形：根据比例的基本性质，将$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉换位可得$\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{BP}$，因此A选项正确。
2. 分析其余选项：
B选项：$\frac{AB}{AP}=\frac{BP}{AB}$等价于$AB^2=AP· BP$，不符合黄金分割的比例关系，错误；
C选项：$\frac{BP}{AP}=\frac{AB}{BP}$等价于$BP^2=AP· AB$，不符合黄金分割的比例关系，错误；
D选项：黄金比为$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此$\frac{AB}{AP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对黄金分割定义的准确记忆，只要清晰区分较长线段、较短线段、全线段三者的比例对应关系，就不容易出错。
【难度系数】
0.8
4 已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$，那么$\dfrac{x+y}{x}=$
$\dfrac{5}{2}$
。答案
4 $\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
本题是已知两个量的比例关系求分式值的基础题，有两种常用解题思路：思路一：比例设参法，根据$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$设$x=2k$、$y=3k$（$k≠0$），代入待求式消去参数即可得结果；思路二：分式拆分法，将待求式拆分为$1+\dfrac{y}{x}$，结合已知比例求出$\dfrac{y}{x}$的值后代入计算即可，两种方法均符合学段知识要求，任选其一即可求解。
【解析】
方法一：设参数法
∵ $\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
∴ 设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）
将$x=2k$、$y=3k$代入$\dfrac{x+y}{x}$得：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{2k+3k}{2k}=\dfrac{5k}{2k}=\dfrac{5}{2}$
方法二：分式拆分法
对待求式拆分变形：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{x}$
∵ $\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
∴ $\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{2}$
代入计算得：$1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题属于比例应用的基础题型，解题方法灵活，核心考查对比例性质的基础运用，掌握常见的比例类题型解题技巧即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题是已知两个量的比例关系求分式值的基础题，有两种常用解题思路：思路一：比例设参法，根据$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$设$x=2k$、$y=3k$（$k≠0$），代入待求式消去参数即可得结果；思路二：分式拆分法，将待求式拆分为$1+\dfrac{y}{x}$，结合已知比例求出$\dfrac{y}{x}$的值后代入计算即可，两种方法均符合学段知识要求，任选其一即可求解。
【解析】
方法一：设参数法
∵ $\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
∴ 设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）
将$x=2k$、$y=3k$代入$\dfrac{x+y}{x}$得：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{2k+3k}{2k}=\dfrac{5k}{2k}=\dfrac{5}{2}$
方法二：分式拆分法
对待求式拆分变形：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{x}$
∵ $\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
∴ $\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{2}$
代入计算得：$1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题属于比例应用的基础题型，解题方法灵活，核心考查对比例性质的基础运用，掌握常见的比例类题型解题技巧即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5 已知线段$AB=2$，$P$是$AB$的黄金分割点，且$AP＞BP$，那么$AP=$
$\sqrt{5}-1$
。答案
5 $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题时首先提取题干已知条件：线段AB长度为2，P是AB的黄金分割点且AP＞BP，由此可确定AP是黄金分割对应的较长线段。接下来回忆黄金分割的核心性质：较长线段与原线段的比值为固定黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此只需用AB的总长度乘以黄金比，即可计算得到AP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴AP为黄金分割中的较长线段，满足比例关系：$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将$AB=2$代入上式得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 线段长度计算
【点评】
本题是黄金分割概念的基础应用题型，解题关键是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值关系，牢记黄金比的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干已知条件：线段AB长度为2，P是AB的黄金分割点且AP＞BP，由此可确定AP是黄金分割对应的较长线段。接下来回忆黄金分割的核心性质：较长线段与原线段的比值为固定黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此只需用AB的总长度乘以黄金比，即可计算得到AP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴AP为黄金分割中的较长线段，满足比例关系：$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将$AB=2$代入上式得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 线段长度计算
【点评】
本题是黄金分割概念的基础应用题型，解题关键是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值关系，牢记黄金比的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
⑥ 如图，已知 $ AB // CD // EF $，$ AD = 6 $，$ DF = 3 $，$ BC = 7 $，那么线段CE的长度等于
3.5
。答案
6 3.5
解析
【分析】
看到题目中存在三条互相平行的线段$AB、CD、EF$，可联想到平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先确定被平行线截得的两条直线上的对应线段：其中一条截线上的线段$AD、DF$分别对应另一条截线上的线段$BC、CE$，据此建立比例关系，代入已知数值即可求出$CE$的长度。
【解析】
解：$\because AB // CD // EF$
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
将$AD=6$，$DF=3$，$BC=7$代入上式：
$\frac{6}{3}=\frac{7}{CE}$
化简得$2=\frac{7}{CE}$，解得$CE=\frac{7}{2}=3.5$
【答案】
$\frac{7}{2}$（或3.5）
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确识别对应线段，避免比例关系写反，掌握定理内容即可快速解题。
【难度系数】
0.8
看到题目中存在三条互相平行的线段$AB、CD、EF$，可联想到平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先确定被平行线截得的两条直线上的对应线段：其中一条截线上的线段$AD、DF$分别对应另一条截线上的线段$BC、CE$，据此建立比例关系，代入已知数值即可求出$CE$的长度。
【解析】
解：$\because AB // CD // EF$
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
将$AD=6$，$DF=3$，$BC=7$代入上式：
$\frac{6}{3}=\frac{7}{CE}$
化简得$2=\frac{7}{CE}$，解得$CE=\frac{7}{2}=3.5$
【答案】
$\frac{7}{2}$（或3.5）
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确识别对应线段，避免比例关系写反，掌握定理内容即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{3}{2}$，且$△ A'B'C'$的周长为16cm，则$△ ABC$的周长为
24
cm。答案
7 24
解析
【分析】
本题首先可根据三边对应成比例判定两个三角形相似，再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质求解。第一步，观察已知条件，两个三角形的三组对应边比值均为$\frac{3}{2}$，符合“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，相似比为$\frac{3}{2}$；第二步，回忆相似三角形周长的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知$△ A'B'C'$的周长，即可列式计算出$△ ABC$的周长。
【解析】
解：$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{3}{2}$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比$k=\frac{3}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{2}$
已知$C_{△ A'B'C'}=16\mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ ABC}=\frac{3}{2} × 16 = 24(\mathrm{cm})$
【答案】
24
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形周长的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础题型，核心是掌握相似三角形的判定定理和周长与相似比的关系，解题时找准相似比即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题首先可根据三边对应成比例判定两个三角形相似，再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质求解。第一步，观察已知条件，两个三角形的三组对应边比值均为$\frac{3}{2}$，符合“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，相似比为$\frac{3}{2}$；第二步，回忆相似三角形周长的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知$△ A'B'C'$的周长，即可列式计算出$△ ABC$的周长。
【解析】
解：$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{3}{2}$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比$k=\frac{3}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{2}$
已知$C_{△ A'B'C'}=16\mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ ABC}=\frac{3}{2} × 16 = 24(\mathrm{cm})$
【答案】
24
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形周长的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础题型，核心是掌握相似三角形的判定定理和周长与相似比的关系，解题时找准相似比即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
8 定义:相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形叫作黄金矩形。从外形上看,它最具美感,现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡,如果较长的一条边长等于20厘米,那么相邻一条边长等于
$10\sqrt{5}-10$
厘米。答案
8 $10\sqrt{5}-10$
解析
【分析】
首先明确黄金矩形的定义：相邻两边中较长边与较短边的比值为黄金分割数$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。本题已知较长边长为20cm，要求相邻的较短边长，我们可以设较短边的长度为未知数，根据黄金矩形的边长比例关系列方程，再通过分母有理化运算求出最终结果。
【解析】
黄金分割数为较长边与较短边的比值，即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
设相邻的较短边长为$x$厘米，根据黄金矩形的定义可得：
$\frac{20}{x}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
交叉相乘得：$(\sqrt{5}+1)x=40$
解得：$x=\frac{40}{\sqrt{5}+1}$
对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-1$：
$x=\frac{40(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{40(\sqrt{5}-1)}{5-1}=10(\sqrt{5}-1)=10\sqrt{5}-10$
【答案】
$10\sqrt{5}-10$
【知识点】
黄金分割的概念、比例的性质、分母有理化
【点评】
本题结合生活场景考查黄金矩形的相关计算，解题核心是准确记忆黄金分割比，理清黄金矩形中长边与短边的比例关系，计算时注意规范完成分母有理化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
首先明确黄金矩形的定义：相邻两边中较长边与较短边的比值为黄金分割数$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。本题已知较长边长为20cm，要求相邻的较短边长，我们可以设较短边的长度为未知数，根据黄金矩形的边长比例关系列方程，再通过分母有理化运算求出最终结果。
【解析】
黄金分割数为较长边与较短边的比值，即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
设相邻的较短边长为$x$厘米，根据黄金矩形的定义可得：
$\frac{20}{x}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
交叉相乘得：$(\sqrt{5}+1)x=40$
解得：$x=\frac{40}{\sqrt{5}+1}$
对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-1$：
$x=\frac{40(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{40(\sqrt{5}-1)}{5-1}=10(\sqrt{5}-1)=10\sqrt{5}-10$
【答案】
$10\sqrt{5}-10$
【知识点】
黄金分割的概念、比例的性质、分母有理化
【点评】
本题结合生活场景考查黄金矩形的相关计算，解题核心是准确记忆黄金分割比，理清黄金矩形中长边与短边的比例关系，计算时注意规范完成分母有理化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
9 已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点，则$\frac{AC}{AB}$的值为
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
。答案
9 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C将线段AB分成AC和BC两段，当AC为较长段时，较长段与原线段的比等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确说明AC是较长段还是较短段，因此需要分两种情况讨论：①当AC＞BC时，AC为较长段，直接用黄金比得到比值；②当AC＜BC时，BC为较长段，先求出BC与AB的比值，再通过$AC=AB-BC$推导AC与AB的比值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C为线段AB的黄金分割点时，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 当$AC＞BC$时，AC为较长线段，此时$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
2. 当$AC＜BC$时，BC为较长线段，此时$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则：
$\frac{AC}{AB}=\frac{AB-BC}{AB}=1-\frac{BC}{AB}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2-\sqrt{5}+1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
综上，$\frac{AC}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；比例计算；分类讨论思想
【点评】
本题是黄金分割相关的基础题，易错点是忽略题目未明确线段长短，遗漏AC为较短线段的情况，解题时要注意结合题意全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C将线段AB分成AC和BC两段，当AC为较长段时，较长段与原线段的比等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确说明AC是较长段还是较短段，因此需要分两种情况讨论：①当AC＞BC时，AC为较长段，直接用黄金比得到比值；②当AC＜BC时，BC为较长段，先求出BC与AB的比值，再通过$AC=AB-BC$推导AC与AB的比值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C为线段AB的黄金分割点时，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 当$AC＞BC$时，AC为较长线段，此时$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
2. 当$AC＜BC$时，BC为较长线段，此时$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则：
$\frac{AC}{AB}=\frac{AB-BC}{AB}=1-\frac{BC}{AB}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2-\sqrt{5}+1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
综上，$\frac{AC}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；比例计算；分类讨论思想
【点评】
本题是黄金分割相关的基础题，易错点是忽略题目未明确线段长短，遗漏AC为较短线段的情况，解题时要注意结合题意全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图,在正方形ABCD中,过点D的直线与AC、AB分别相交于点E、点F,与边BC的反向延长线相交于点G,且$DE=2$,$EF=1$,则$FG=$
3
。答案
10 3 ［提示:由$\dfrac{EF}{ED}=\dfrac{EA}{EC}$,得$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{1}{2}$,所以$\dfrac{DE}{EG}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{1}{2}$,所以$EG=4$,$GF=4-1=3$。］
解析
【分析】
本题可通过正方形对边平行的性质推导相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的关系求解未知线段长度：首先利用AB与CD平行，证明△AEF与△CED相似，求出EA与EC的比值；再利用AD与CG平行，证明△AED与△CEG相似，结合得到的比例求出EG的长度，最后通过线段的和差关系计算FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠EAF=∠ECD，∠EFA=∠EDC，
∴△AEF∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{EA}{EC}$，
已知$DE=2$，$EF=1$，代入得$\frac{EA}{EC}=\frac{1}{2}$。
又
∵正方形ABCD中AD//BC，G在BC的反向延长线上，
∴AD//CG，
∴∠EAD=∠ECG，∠EDA=∠EGC，
∴△AED∽△CEG（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{EA}{EC}=\frac{1}{2}$，
将$DE=2$代入得$\frac{2}{EG}=\frac{1}{2}$，解得$EG=4$。
∵点F在线段EG上，
∴$FG=EG-EF=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题的核心是借助正方形的平行特性构造相似三角形，通过两次相似转化线段比例关系，解题时要注意准确识别相似三角形的对应边，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.6
本题可通过正方形对边平行的性质推导相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的关系求解未知线段长度：首先利用AB与CD平行，证明△AEF与△CED相似，求出EA与EC的比值；再利用AD与CG平行，证明△AED与△CEG相似，结合得到的比例求出EG的长度，最后通过线段的和差关系计算FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠EAF=∠ECD，∠EFA=∠EDC，
∴△AEF∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{EA}{EC}$，
已知$DE=2$，$EF=1$，代入得$\frac{EA}{EC}=\frac{1}{2}$。
又
∵正方形ABCD中AD//BC，G在BC的反向延长线上，
∴AD//CG，
∴∠EAD=∠ECG，∠EDA=∠EGC，
∴△AED∽△CEG（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{EA}{EC}=\frac{1}{2}$，
将$DE=2$代入得$\frac{2}{EG}=\frac{1}{2}$，解得$EG=4$。
∵点F在线段EG上，
∴$FG=EG-EF=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题的核心是借助正方形的平行特性构造相似三角形，通过两次相似转化线段比例关系，解题时要注意准确识别相似三角形的对应边，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.6
