11 在$△ ABC$中，$D$是$BC$上的点，若$AB=15$，$AC=10$，且$BD:DC=AB:AC$，$BD-DC=2$，求$BC$的长。

11 因为$BD:DC=AB:AC$,所以$BD:DC=15:10=3:2$。设$BD=3x$,则$DC=2x$。因为$BD-DC=2$,所以$3x-2x=2$,$x=2$,所以$BC=BD+CD=5x=10$。

12 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD。在BA的延长线上取点F，使$PF=PD$，以AF为边作正方形AMEF，点M在边AD上。
（1）求AM、DM的长。
（2）试说明：$AM^2 = AD · DM$。
（3）根据（2）中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？

12 （1）因为正方形$ABCD$的边长为2，$P$是$AB$中点，所以$AB=AD=2$，$AP=1$。在$\mathrm{Rt}△ APD$中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{5}$。因为$PF=PD$,所以$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$。因为四边形$AMEF$是正方形,所以$AM=AF=\sqrt{5}-1$,$DM=AD-AM=3-\sqrt{5}$。
（2）由(1)得$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$,$AD· DM=2(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$,所以$AM^2=AD· DM$。
（3）图中点$M$是线段$AD$的黄金分割点。

13 如图，AD是$△ ABC$的角平分线。求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。

13 过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$,$DG ⊥ AC$于点$G$。因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线,所以$DH=DG$,所以$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$,所以$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。

14 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、DB交于点O，如果$S_{△ AOD}=2$，$S_{△ ABD}=5$，求四边形ABCD的面积。

14 因为$S_{△ AOD}=2$,$S_{△ ABD}=5$,所以$S_{△ AOB}=3$,所以$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{2}{3}$。因为$AD // BC$,所以$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{2}{3}$,所以$S_{△ COD}=3$,$S_{△ BOC}=4.5$,所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=12.5$。