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13 如图，在△ABC中，点E在AC上，且AE=$\frac{1}{3}$AC，AD是BC上的中线，AD与BE交于点F，求AF：AD的值。
答案
13. 如图,过点 D 作 $DG // BE$,交 AC 于点 G。因为 AD 是 BC 上的中线,所以 $CD=BD$,因为 $DG // BE$,所以$\frac{DC}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$。因为 $AE=\frac{1}{3}AC$,所以 $AE=GE$。因为 $DG // BE$,所以 $AF : AD=\frac{AE}{AG}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题属于线段比例求解问题，已知三角形中线、线段比例关系和线段交点，解题思路如下：首先通过作平行线构造平行线分线段成比例的模型，过BC中点D作BE的平行线DG交AC于G；接着利用中线性质和平行线分线段成比例定理，得到G是EC的中点；再结合AE=$\frac{1}{3}$AC的条件，推导得出AE=EG；最后再次利用平行线分线段成比例定理，得到AF与FD的等量关系，即可求出AF:AD的比值。
【解析】
解：过点D作$DG // BE$，交AC于点G。
1. 因为AD是BC边上的中线，所以$BD=CD$。
2. 由于$DG // BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CG}{EG}=\frac{CD}{BD}=1$，即$EG=CG$，G为EC的中点，因此$EG=\frac{1}{2}EC$。
3. 已知$AE=\frac{1}{3}AC$，则$EC=AC-AE=\frac{2}{3}AC$，代入得$EG=\frac{1}{2} × \frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC$，因此$AE=EG$。
4. 又因为$EF // DG$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EG}=1$，即$AF=FD$。
5. 因此$AD=AF+FD=2AF$，故$AF:AD=\frac{1}{2}$。
【答案】
13. 如图,过点 D 作 $DG // BE$,交 AC 于点 G。因为 AD 是 BC 上的中线,所以 $CD=BD$,因为 $DG // BE$,所以$\frac{DC}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$。因为 $AE=\frac{1}{3}AC$,所以 $AE=GE$。因为 $DG // BE$,所以 $AF : AD=\frac{AE}{AG}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线性质，线段比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例应用的典型题型，解题关键是合理添加辅助线构造比例线段，结合已知条件推导线段等量关系，可有效考查学生对比例线段相关定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
本题属于线段比例求解问题，已知三角形中线、线段比例关系和线段交点，解题思路如下：首先通过作平行线构造平行线分线段成比例的模型，过BC中点D作BE的平行线DG交AC于G；接着利用中线性质和平行线分线段成比例定理，得到G是EC的中点；再结合AE=$\frac{1}{3}$AC的条件，推导得出AE=EG；最后再次利用平行线分线段成比例定理，得到AF与FD的等量关系，即可求出AF:AD的比值。
【解析】
解：过点D作$DG // BE$，交AC于点G。
1. 因为AD是BC边上的中线，所以$BD=CD$。
2. 由于$DG // BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CG}{EG}=\frac{CD}{BD}=1$，即$EG=CG$，G为EC的中点，因此$EG=\frac{1}{2}EC$。
3. 已知$AE=\frac{1}{3}AC$，则$EC=AC-AE=\frac{2}{3}AC$，代入得$EG=\frac{1}{2} × \frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC$，因此$AE=EG$。
4. 又因为$EF // DG$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EG}=1$，即$AF=FD$。
5. 因此$AD=AF+FD=2AF$，故$AF:AD=\frac{1}{2}$。
【答案】
13. 如图,过点 D 作 $DG // BE$,交 AC 于点 G。因为 AD 是 BC 上的中线,所以 $CD=BD$,因为 $DG // BE$,所以$\frac{DC}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$。因为 $AE=\frac{1}{3}AC$,所以 $AE=GE$。因为 $DG // BE$,所以 $AF : AD=\frac{AE}{AG}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线性质，线段比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例应用的典型题型，解题关键是合理添加辅助线构造比例线段，结合已知条件推导线段等量关系，可有效考查学生对比例线段相关定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
14 如图,设 D、E、F 分别是△ABC 三边所在直线 BC、CA、AB 上的点,D、E、F 三点共线,求证: $\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=1$。(要求用两种方法证明)
答案
14. 方法一:如图①,过点 C 作 $CG // DF$ 交 AB 于点 G,构造与$\frac{CE}{EA}$和$\frac{BD}{DC}$直接相关的两个平行 A 字型,则$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{GF}$,$\frac{CE}{AE}=\frac{GF}{AF}$,所以$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB} · \frac{BF}{GF} · \frac{GF}{AF}=1$。
方法二:如图②,过点 A 作 $AG // FD$ 交 BD 于点 G,则$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{a}{b} · \frac{d}{x} · \frac{e}{f}=\frac{DG}{d} · \frac{d}{x} · \frac{x}{DG}=1$。
解析
【分析】
要证明三个线段比例的乘积为1，核心思路是通过作平行线，利用平行线分线段成比例的性质，将分散在不同边上的线段比例转化为同一条直线上的线段比例，进而通过约分得到结果。第一种方法过点C作DF的平行线，把$\frac{BD}{DC}$和$\frac{CE}{EA}$都转化为AB边上的线段比，代入后可约分；第二种方法过点A作FD的平行线，把$\frac{AF}{FB}$和$\frac{CE}{EA}$转化为BD边上的线段比，代入后同样可约分得到1。
【解析】
方法一：如图①，过点C作$CG // DF$交AB于点G。
根据平行线分线段成比例定理，由$CG // DF$可得：
在$△ BFD$中，$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{GF}$；
在$△ AGC$中，$EF // CG$，故$\frac{CE}{EA}=\frac{GF}{AF}$。
将上述两个比例代入待证式左边：
$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB} · \frac{BF}{GF} · \frac{GF}{AF}=1$，等式得证。
方法二：如图②，过点A作$AG // FD$交BD的延长线于点G。
根据平行线分线段成比例定理，由$AG // FD$可得：
在$△ BAG$中，$FD // AG$，故$\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{BD}$；
在$△ AGC$中，$DE // AG$，故$\frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DG}$。
将上述两个比例代入待证式左边：
$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{DG}{BD} · \frac{BD}{CD} · \frac{CD}{DG}=1$，等式得证。
【答案】
方法一:如图①,过点 C 作 $CG // DF$ 交 AB 于点 G,构造与$\frac{CE}{EA}$和$\frac{BD}{DC}$直接相关的两个平行 A 字型,则$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{GF}$,$\frac{CE}{AE}=\frac{GF}{AF}$,所以$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB} · \frac{BF}{GF} · \frac{GF}{AF}=1$。
方法二:如图②,过点 A 作 $AG // FD$ 交 BD 于点 G,则$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{a}{b} · \frac{d}{x} · \frac{e}{f}=\frac{DG}{d} · \frac{d}{x} · \frac{x}{DG}=1$。
【知识点】
平行线分线段成比例、比例运算、辅助线构造
【点评】
本题是线段比例乘积类证明的典型题，解题核心是通过作平行线将分散的线段比例转化为同一直线上的可约分比例，这种构造平行线转化比例的思路在几何比例类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
要证明三个线段比例的乘积为1，核心思路是通过作平行线，利用平行线分线段成比例的性质，将分散在不同边上的线段比例转化为同一条直线上的线段比例，进而通过约分得到结果。第一种方法过点C作DF的平行线，把$\frac{BD}{DC}$和$\frac{CE}{EA}$都转化为AB边上的线段比，代入后可约分；第二种方法过点A作FD的平行线，把$\frac{AF}{FB}$和$\frac{CE}{EA}$转化为BD边上的线段比，代入后同样可约分得到1。
【解析】
方法一：如图①，过点C作$CG // DF$交AB于点G。
根据平行线分线段成比例定理，由$CG // DF$可得：
在$△ BFD$中，$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{GF}$；
在$△ AGC$中，$EF // CG$，故$\frac{CE}{EA}=\frac{GF}{AF}$。
将上述两个比例代入待证式左边：
$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB} · \frac{BF}{GF} · \frac{GF}{AF}=1$，等式得证。
方法二：如图②，过点A作$AG // FD$交BD的延长线于点G。
根据平行线分线段成比例定理，由$AG // FD$可得：
在$△ BAG$中，$FD // AG$，故$\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{BD}$；
在$△ AGC$中，$DE // AG$，故$\frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DG}$。
将上述两个比例代入待证式左边：
$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{DG}{BD} · \frac{BD}{CD} · \frac{CD}{DG}=1$，等式得证。
【答案】
方法一:如图①,过点 C 作 $CG // DF$ 交 AB 于点 G,构造与$\frac{CE}{EA}$和$\frac{BD}{DC}$直接相关的两个平行 A 字型,则$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{GF}$,$\frac{CE}{AE}=\frac{GF}{AF}$,所以$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB} · \frac{BF}{GF} · \frac{GF}{AF}=1$。
方法二:如图②,过点 A 作 $AG // FD$ 交 BD 于点 G,则$\frac{AF}{FB} · \frac{BD}{DC} · \frac{CE}{EA}=\frac{a}{b} · \frac{d}{x} · \frac{e}{f}=\frac{DG}{d} · \frac{d}{x} · \frac{x}{DG}=1$。
【知识点】
平行线分线段成比例、比例运算、辅助线构造
【点评】
本题是线段比例乘积类证明的典型题，解题核心是通过作平行线将分散的线段比例转化为同一直线上的可约分比例，这种构造平行线转化比例的思路在几何比例类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
