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9 如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是 AD 上一点,延长 CF 交 BA 的延长线于点 E,OE = a,OF = b,则 OC = 
第9题图第10题图
$\sqrt{ab}$
。第9题图第10题图答案
9.$\sqrt{ab}$
[提示:先找基本图形,图中和OE、OF、OC有关的基本图形是两个X型,再通过中间比代换。由$CD // BE$, $AD // BC$,可得$\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{DF}$,$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OB}=\frac{DF}{BC}$,所以$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OC}$,所以$OC^2=OE · OF$,即$OC=\sqrt{ab}$。]
[提示:先找基本图形,图中和OE、OF、OC有关的基本图形是两个X型,再通过中间比代换。由$CD // BE$, $AD // BC$,可得$\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{DF}$,$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OB}=\frac{DF}{BC}$,所以$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OC}$,所以$OC^2=OE · OF$,即$OC=\sqrt{ab}$。]
解析
【分析】
本题已知平行四边形及OE、OF的长度，要求OC的长度。首先结合平行四边形对边平行的性质，可找到两组平行线截线段形成的X型基本图形，分别写出包含OC、OF和OC、OE的比例式，再通过中间比进行代换，即可建立OC与OE、OF的数量关系，进而求出OC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//BE（平行四边形对边互相平行）。
由AD//BC，可得$\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{DF}$ ①；
由CD//BE，可得$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OB}$，再结合AD//BC可得$\frac{OD}{OB}=\frac{DF}{BC}$，因此$\frac{OC}{OE}=\frac{DF}{BC}$ ②。
将①×②得：$\frac{OC}{OF} × \frac{OC}{OE} = \frac{BC}{DF} × \frac{DF}{BC}=1$，
整理得$OC^2=OE · OF$，
已知$OE=a$，$OF=b$，且线段长度为正，
∴$OC=\sqrt{ab}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用题型，解题的关键是结合平行性质找到两个X型基本图形，通过中间比代换建立已知和未知线段的关系，考查了学生对比例线段的推导和变形能力。
【难度系数】
0.6
本题已知平行四边形及OE、OF的长度，要求OC的长度。首先结合平行四边形对边平行的性质，可找到两组平行线截线段形成的X型基本图形，分别写出包含OC、OF和OC、OE的比例式，再通过中间比进行代换，即可建立OC与OE、OF的数量关系，进而求出OC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//BE（平行四边形对边互相平行）。
由AD//BC，可得$\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{DF}$ ①；
由CD//BE，可得$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OB}$，再结合AD//BC可得$\frac{OD}{OB}=\frac{DF}{BC}$，因此$\frac{OC}{OE}=\frac{DF}{BC}$ ②。
将①×②得：$\frac{OC}{OF} × \frac{OC}{OE} = \frac{BC}{DF} × \frac{DF}{BC}=1$，
整理得$OC^2=OE · OF$，
已知$OE=a$，$OF=b$，且线段长度为正，
∴$OC=\sqrt{ab}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用题型，解题的关键是结合平行性质找到两个X型基本图形，通过中间比代换建立已知和未知线段的关系，考查了学生对比例线段的推导和变形能力。
【难度系数】
0.6
10 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，$FD=2AF$，则$\frac{AG}{AC}$的值是
$\dfrac{1}{5}$
。答案
10.$\frac{1}{5}$
[提示:延长 FE、CB 相交于点Q,构造两个 X 型。设 $AF=a$,则 $DF=2a$, $AD=3a$。由题意可得 $BC=AD=3a$, $AF=BQ=a$, $CQ=CB+BQ=4a$。因为 $AF // CQ$,所以$\frac{AF}{CQ}=\frac{AG}{GC}$,所以$\frac{a}{4a}=\frac{AG}{GC}$, $\frac{AG}{GC}=\frac{1}{4}$,所以$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{5}$。]
[提示:延长 FE、CB 相交于点Q,构造两个 X 型。设 $AF=a$,则 $DF=2a$, $AD=3a$。由题意可得 $BC=AD=3a$, $AF=BQ=a$, $CQ=CB+BQ=4a$。因为 $AF // CQ$,所以$\frac{AF}{CQ}=\frac{AG}{GC}$,所以$\frac{a}{4a}=\frac{AG}{GC}$, $\frac{AG}{GC}=\frac{1}{4}$,所以$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{5}$。]
解析
【分析】
要求$\frac{AG}{AC}$的值，已知平行四边形中AD与BC平行，E是AB中点，给出了线段比例$FD=2AF$，可以通过构造辅助线延长FE交CB延长线于点Q，先利用全等三角形得到BQ与AF的等量关系，再结合平行线得到的相似关系推导AG与GC的比例，进而求出AG与AC的比值。
【解析】
解：延长FE，交CB的延长线于点Q。
设$AF=a$，由$FD=2AF$可得$FD=2a$，因此$AD=AF+FD=3a$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD=3a$，且$AD// BC$，即$AF// CQ$，
∴$∠ F=∠ Q$，$∠ FAE=∠ QBE$。
又
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BEQ$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ Q \\∠ FAE=∠ QBE \\AE=BE\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ BEQ$（AAS），
∴$BQ=AF=a$，
∴$CQ=CB+BQ=3a+a=4a$。
∵$AF// CQ$，
∴$△ AFG∽△ CQG$，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{CQ}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$，
∴$GC=4AG$，则$AC=AG+GC=AG+4AG=5AG$，
∴$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是求线段比例的典型题型，解题关键是通过作延长线构造全等三角形转化线段长度，再结合平行线得到的相似关系推导线段比，要熟练掌握此类构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{AG}{AC}$的值，已知平行四边形中AD与BC平行，E是AB中点，给出了线段比例$FD=2AF$，可以通过构造辅助线延长FE交CB延长线于点Q，先利用全等三角形得到BQ与AF的等量关系，再结合平行线得到的相似关系推导AG与GC的比例，进而求出AG与AC的比值。
【解析】
解：延长FE，交CB的延长线于点Q。
设$AF=a$，由$FD=2AF$可得$FD=2a$，因此$AD=AF+FD=3a$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD=3a$，且$AD// BC$，即$AF// CQ$，
∴$∠ F=∠ Q$，$∠ FAE=∠ QBE$。
又
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BEQ$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ Q \\∠ FAE=∠ QBE \\AE=BE\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ BEQ$（AAS），
∴$BQ=AF=a$，
∴$CQ=CB+BQ=3a+a=4a$。
∵$AF// CQ$，
∴$△ AFG∽△ CQG$，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{CQ}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$，
∴$GC=4AG$，则$AC=AG+GC=AG+4AG=5AG$，
∴$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是求线段比例的典型题型，解题关键是通过作延长线构造全等三角形转化线段长度，再结合平行线得到的相似关系推导线段比，要熟练掌握此类构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.6
11 在$△ ABC$中，点D在直线AC上，点E在直线AB上，且$DE // BC$，已知$BE=4$，$5AD=3AC$，求AE的长。
答案
11. 有两种情况:①点 D 在 AC 的反向延长线上,如图①,因为 $DE // BC$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}$。因为 $5AD=3AC$, $BE=4$,所以$\frac{AD}{DC}=\frac{3}{8}$,所以 $AE=\frac{3}{2}$;②点 D 在边 AC 上,如图②,因为 $DE // BC$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}$。因为 $5AD=3AC$, $BE=4$,所以$\frac{AD}{DC}=\frac{3}{2}$,所以 $AE=6$。
解析
【分析】
题目中点D、E分别在直线AC、直线AB上，未指明是在线段上还是延长线上，因此需要分两种情况讨论：①点D在AC的反向延长线上；②点D在AC边上。结合$DE// BC$的条件，可利用平行线分线段成比例的性质得到对应线段的比例关系，再代入已知条件$5AD=3AC$和$BE=4$，即可求解AE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在AC的反向延长线上时（对应题图①）：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
已知$5AD=3AC$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，设$AE=3k$，则$AB=5k$。
由图可知$BE=AE+AB=3k+5k=8k$，又$BE=4$，
$\therefore 8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，
$\therefore AE=3k=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
② 当点D在边AC上时（对应题图②）：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
已知$5AD=3AC$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，设$AE=3k$，则$AB=5k$。
由图可知$BE=AB-AE=5k-3k=2k$，又$BE=4$，
$\therefore 2k=4$，解得$k=2$，
$\therefore AE=3k=3×2=6$。
【答案】
AE的长为$\frac{3}{2}$或6
【知识点】
平行线分线段成比例，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”包含线段和延长线两种情况，造成漏解；解题时需先结合题意画出所有可能的图形，再利用平行线分线段成比例的性质列式计算即可。
【难度系数】
0.6
题目中点D、E分别在直线AC、直线AB上，未指明是在线段上还是延长线上，因此需要分两种情况讨论：①点D在AC的反向延长线上；②点D在AC边上。结合$DE// BC$的条件，可利用平行线分线段成比例的性质得到对应线段的比例关系，再代入已知条件$5AD=3AC$和$BE=4$，即可求解AE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在AC的反向延长线上时（对应题图①）：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
已知$5AD=3AC$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，设$AE=3k$，则$AB=5k$。
由图可知$BE=AE+AB=3k+5k=8k$，又$BE=4$，
$\therefore 8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，
$\therefore AE=3k=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
② 当点D在边AC上时（对应题图②）：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
已知$5AD=3AC$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，设$AE=3k$，则$AB=5k$。
由图可知$BE=AB-AE=5k-3k=2k$，又$BE=4$，
$\therefore 2k=4$，解得$k=2$，
$\therefore AE=3k=3×2=6$。
【答案】
AE的长为$\frac{3}{2}$或6
【知识点】
平行线分线段成比例，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”包含线段和延长线两种情况，造成漏解；解题时需先结合题意画出所有可能的图形，再利用平行线分线段成比例的性质列式计算即可。
【难度系数】
0.6
12 如图，在$△ ABC$中，BE平分$∠ ABC$，交AC于点E，延长AB到点D，使$BD=BC$，连接CD，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。
第12题图
第12题图答案
12. 因为 BE 平分$∠ ABC$,所以 $∠ ABE=∠ CBE$。因为 $BD=BC$,所以 $∠ BCD=∠ D$。又因为 $∠ ABE+∠ CBE=∠ BCD+∠ D$,所以 $∠ ABE=∠ D$,所以 $BE // CD$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BD}$。又因为 $BD=BC$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。
解析
【分析】
要证明线段成比例，首先想到平行线分线段成比例定理，因此需要先证明$BE// CD$。要证平行可通过证明同位角相等实现：先利用角平分线定义得到$∠ ABE=∠ CBE$，再由$BD=BC$结合等腰三角形等边对等角的性质得$∠ BCD=∠ D$；再根据三角形外角性质，$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，等于$∠ BCD+∠ D$，结合前面的角的等量关系可推出$∠ ABE=∠ D$，即可证得$BE// CD$；最后由平行线分线段成比例得到对应线段成比例，将$BD$替换为$BC$即可得证。
【解析】
证明：
$\because$ BE平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$。
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD=∠ D$。
$\because ∠ ABE+∠ CBE=∠ BCD+∠ D$（三角形外角等于不相邻两个内角和），
$\therefore 2∠ ABE=2∠ D$，即$∠ ABE=∠ D$，
$\therefore BE// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BD}$（平行线分线段成比例定理）。
又$\because BD=BC$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。
【答案】
证明过程如上，$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$成立。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心解题思路是通过角的等量转化证明两直线平行，再结合平行线分线段成比例定理和等量代换得到结论，可有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明线段成比例，首先想到平行线分线段成比例定理，因此需要先证明$BE// CD$。要证平行可通过证明同位角相等实现：先利用角平分线定义得到$∠ ABE=∠ CBE$，再由$BD=BC$结合等腰三角形等边对等角的性质得$∠ BCD=∠ D$；再根据三角形外角性质，$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，等于$∠ BCD+∠ D$，结合前面的角的等量关系可推出$∠ ABE=∠ D$，即可证得$BE// CD$；最后由平行线分线段成比例得到对应线段成比例，将$BD$替换为$BC$即可得证。
【解析】
证明：
$\because$ BE平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$。
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD=∠ D$。
$\because ∠ ABE+∠ CBE=∠ BCD+∠ D$（三角形外角等于不相邻两个内角和），
$\therefore 2∠ ABE=2∠ D$，即$∠ ABE=∠ D$，
$\therefore BE// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BD}$（平行线分线段成比例定理）。
又$\because BD=BC$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。
【答案】
证明过程如上，$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$成立。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心解题思路是通过角的等量转化证明两直线平行，再结合平行线分线段成比例定理和等量代换得到结论，可有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
