9 如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是 AD 上一点,延长 CF 交 BA 的延长线于点 E,OE = a,OF = b,则 OC = 。第9题图第10题图

9.$\sqrt{ab}$
[提示:先找基本图形,图中和OE、OF、OC有关的基本图形是两个X型,再通过中间比代换。由$CD // BE$, $AD // BC$,可得$\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{DF}$,$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OB}=\frac{DF}{BC}$,所以$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OC}$,所以$OC^2=OE · OF$,即$OC=\sqrt{ab}$。]

10 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，$FD=2AF$，则$\frac{AG}{AC}$的值是。

10.$\frac{1}{5}$
[提示:延长 FE、CB 相交于点Q,构造两个 X 型。设 $AF=a$,则 $DF=2a$, $AD=3a$。由题意可得 $BC=AD=3a$, $AF=BQ=a$, $CQ=CB+BQ=4a$。因为 $AF // CQ$,所以$\frac{AF}{CQ}=\frac{AG}{GC}$,所以$\frac{a}{4a}=\frac{AG}{GC}$, $\frac{AG}{GC}=\frac{1}{4}$,所以$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{5}$。]

11 在$△ ABC$中，点D在直线AC上，点E在直线AB上，且$DE // BC$，已知$BE=4$，$5AD=3AC$，求AE的长。

11. 有两种情况:①点 D 在 AC 的反向延长线上,如图①,因为 $DE // BC$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}$。因为 $5AD=3AC$, $BE=4$,所以$\frac{AD}{DC}=\frac{3}{8}$,所以 $AE=\frac{3}{2}$;②点 D 在边 AC 上,如图②,因为 $DE // BC$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}$。因为 $5AD=3AC$, $BE=4$,所以$\frac{AD}{DC}=\frac{3}{2}$,所以 $AE=6$。

12 如图，在$△ ABC$中，BE平分$∠ ABC$，交AC于点E，延长AB到点D，使$BD=BC$，连接CD，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。 第12题图

12. 因为 BE 平分$∠ ABC$,所以 $∠ ABE=∠ CBE$。因为 $BD=BC$,所以 $∠ BCD=∠ D$。又因为 $∠ ABE+∠ CBE=∠ BCD+∠ D$,所以 $∠ ABE=∠ D$,所以 $BE // CD$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BD}$。又因为 $BD=BC$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$。