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一、选择题
1. 如图，在$\odot O$中，弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$，点$C$在$\odot O$上，$OC⊥ AB$，$∠ ABC=30°$.$\odot O$所在的平面内有一点$P$，若$OP=5$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是 （
A.点$P$在$\odot O$上
B.点$P$在$\odot O$内
C.点$P$在$\odot O$外
D.无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
1. 如图，在$\odot O$中，弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$，点$C$在$\odot O$上，$OC⊥ AB$，$∠ ABC=30°$.$\odot O$所在的平面内有一点$P$，若$OP=5$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是 （
C
）A.点$P$在$\odot O$上
B.点$P$在$\odot O$内
C.点$P$在$\odot O$外
D.无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
答案
1.C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再比较$OP$与$r$的大小：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，先利用垂径定理得到弦$AB$一半的长度，再结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，最后在直角三角形中计算半径即可。
【解析】
设$OC$与$AB$交于点$D$。
1. 根据垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=2\sqrt{3}$，可得：$OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 已知$OP=5$，$\because 5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题型，解题关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过长度比较判断点和圆的位置关系，整体逻辑链条清晰，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再比较$OP$与$r$的大小：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，先利用垂径定理得到弦$AB$一半的长度，再结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，最后在直角三角形中计算半径即可。
【解析】
设$OC$与$AB$交于点$D$。
1. 根据垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=2\sqrt{3}$，可得：$OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 已知$OP=5$，$\because 5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题型，解题关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过长度比较判断点和圆的位置关系，整体逻辑链条清晰，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
2.(2025·连云港海州区一模)如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C在$\odot O$上，且$∠ ACB=50°$，则$∠ APB$的度数为（
A.$50°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
C
）A.$50°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
答案
2.C
解析
【分析】
拿到本题，首先根据已知条件中PA、PB是圆的切线，联想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OA、OB，可得到两个直角。其次已知圆周角∠ACB的度数，要求∠APB，观察两个角的位置关系，需要先求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠AOB。最后在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，减去已知的三个角的度数，就能得到∠APB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°。
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题核心是正确作出辅助线构造出直角和圆心角，熟练掌握切线性质、圆周角定理等基础知识点即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
拿到本题，首先根据已知条件中PA、PB是圆的切线，联想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OA、OB，可得到两个直角。其次已知圆周角∠ACB的度数，要求∠APB，观察两个角的位置关系，需要先求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠AOB。最后在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，减去已知的三个角的度数，就能得到∠APB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°。
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题核心是正确作出辅助线构造出直角和圆心角，熟练掌握切线性质、圆周角定理等基础知识点即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆$O'$的一个直径端点与半圆$O$的圆心重合.若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是 （
A.$\frac{4}{3}π - \sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{2}{3}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}π - \frac{\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\frac{4}{3}π - \sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{2}{3}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}π - \frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题是求不规则阴影部分的面积，解题核心是用割补法将其转化为规则图形面积的差。首先根据两个半圆半径相等的条件，连接两圆心与两半圆的交点，可得边长均为半径的等边三角形，进而求出对应扇形的圆心角，再分别计算扇形面积和三角形面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：如图，连接OA、OB、O'A、O'B、OO'。
由题意可知，两个半圆的半径均为2，因此$OA=OB=O'A=O'B=OO'=2$。
∴$△ OO'A$和$△ OO'B$均为等边三角形，
∴$∠ AOO'=∠ BOO'=60°$，则$∠ AOB=60°+60°=120°$。
计算扇形$OAB$的面积：
$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4}{3}π$。
过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，在等腰$△ AOB$中，$∠ OAB=∠ OBA=30°$，
∴$OH=OA·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
$AH=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴$AB=2AH=2\sqrt{3}$，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OH=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ AOB}=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算方法，解题的关键是正确作出辅助线，求出扇形的圆心角，将阴影面积转化为熟悉的扇形与三角形的面积差，是几何面积类题的常规考法。
【难度系数】
0.6
本题是求不规则阴影部分的面积，解题核心是用割补法将其转化为规则图形面积的差。首先根据两个半圆半径相等的条件，连接两圆心与两半圆的交点，可得边长均为半径的等边三角形，进而求出对应扇形的圆心角，再分别计算扇形面积和三角形面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：如图，连接OA、OB、O'A、O'B、OO'。
由题意可知，两个半圆的半径均为2，因此$OA=OB=O'A=O'B=OO'=2$。
∴$△ OO'A$和$△ OO'B$均为等边三角形，
∴$∠ AOO'=∠ BOO'=60°$，则$∠ AOB=60°+60°=120°$。
计算扇形$OAB$的面积：
$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4}{3}π$。
过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，在等腰$△ AOB$中，$∠ OAB=∠ OBA=30°$，
∴$OH=OA·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
$AH=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴$AB=2AH=2\sqrt{3}$，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OH=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ AOB}=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算方法，解题的关键是正确作出辅助线，求出扇形的圆心角，将阴影面积转化为熟悉的扇形与三角形的面积差，是几何面积类题的常规考法。
【难度系数】
0.6
4.用半径为24 cm，面积为$120π \ \mathrm{cm}^2$的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为
5
cm.答案
4.5
5.点O是△ABC的外心，若∠BOC=110°，则∠BAC的度数为
55°或125°
。答案
5.55°或125°
解析
【分析】
首先明确三角形的外心是其外接圆的圆心，∠BOC是外接圆中弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角。由于点A的位置有两种可能：在优弧BC上或劣弧BC上，对应△ABC为锐角（或直角）三角形、钝角三角形两种情况，因此需要分类讨论，结合圆周角定理分别计算∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
2. 当点A在劣弧BC上时，优弧BC对应的圆心角为360° - 110° = 250°，此时∠BAC是优弧BC所对的圆周角，故：
∠BAC = $\frac{1}{2}$×250° = 125°
综上，∠BAC的度数为55°或125°。
【答案】
55°或125°
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 圆周角定理
3. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题易忽略点A在劣弧上的情况导致漏解，解题时要结合外心的位置特征，全面考虑三角形的不同类型，运用分类讨论思想完整求解。
【难度系数】
0.6
首先明确三角形的外心是其外接圆的圆心，∠BOC是外接圆中弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角。由于点A的位置有两种可能：在优弧BC上或劣弧BC上，对应△ABC为锐角（或直角）三角形、钝角三角形两种情况，因此需要分类讨论，结合圆周角定理分别计算∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
2. 当点A在劣弧BC上时，优弧BC对应的圆心角为360° - 110° = 250°，此时∠BAC是优弧BC所对的圆周角，故：
∠BAC = $\frac{1}{2}$×250° = 125°
综上，∠BAC的度数为55°或125°。
【答案】
55°或125°
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 圆周角定理
3. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题易忽略点A在劣弧上的情况导致漏解，解题时要结合外心的位置特征，全面考虑三角形的不同类型，运用分类讨论思想完整求解。
【难度系数】
0.6
6.(2025·连云港期中)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=BC=DA,AD,BC的延长线交于点P,且∠P=40°,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为
30°
.答案
6.30°
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的度数，首先利用同圆中等弦对等弧的性质，设三条等弦$AB、BC、DA$对应的弧度数均为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$。再结合圆周总度数为$360°$、圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半这两个结论，列二元一次方程组即可求解。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AD}$的度数均为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$。
1. 由圆周总度数为$360°$，可得：
$3x + y = 360°$ ①
2. $∠ P$是圆外角，根据圆外角性质：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，$∠ P$夹的弧为$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$，已知$∠ P=40°$，代入得：
$\frac{1}{2}(x - y)=40°$，化简得$x - y = 80°$ ②
3. 联立①②求解：
①+②得：$4x=440°$，解得$x=110°$
将$x=110°$代入②得：$110° - y=80°$，解得$y=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
等弦对等弧；圆外角的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，将圆的弧弦关系、角度性质和方程思想结合考查，熟练掌握圆相关的角度计算公式是解题的核心。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{CD}$的度数，首先利用同圆中等弦对等弧的性质，设三条等弦$AB、BC、DA$对应的弧度数均为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$。再结合圆周总度数为$360°$、圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半这两个结论，列二元一次方程组即可求解。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AD}$的度数均为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$。
1. 由圆周总度数为$360°$，可得：
$3x + y = 360°$ ①
2. $∠ P$是圆外角，根据圆外角性质：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，$∠ P$夹的弧为$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$，已知$∠ P=40°$，代入得：
$\frac{1}{2}(x - y)=40°$，化简得$x - y = 80°$ ②
3. 联立①②求解：
①+②得：$4x=440°$，解得$x=110°$
将$x=110°$代入②得：$110° - y=80°$，解得$y=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
等弦对等弧；圆外角的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，将圆的弧弦关系、角度性质和方程思想结合考查，熟练掌握圆相关的角度计算公式是解题的核心。
【难度系数】
0.65
7.如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，点C在线段AB上运动，过点C的弦$DE⊥ AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
。答案
7.$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
解析
【分析】
首先明确已知：AB是⊙O直径，长为2，故⊙O半径为1；过C的弦DE⊥AB，由弦长公式可知DE的取值范围是0＜DE≤2，结合DE为正整数，得DE只能取1或2两种情况。再利用翻折的性质：翻折前后圆弧半径不变，圆心关于折痕DE对称，分情况计算对应FB的长度即可，注意点C可在线段OA或OB上，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，AB=2，
∴⊙O的半径$r=1$。
∵DE⊥AB，由垂径定理得弦长$DE=2\sqrt{r^2-OC^2}=2\sqrt{1-OC^2}$，其中OC为圆心O到弦DE的距离。
∵DE是正整数，且$0＜DE≤2$，
∴DE=1或DE=2，分情况讨论：
1. 当DE=2时，DE为⊙O的直径，此时点C与圆心O重合，OC=0。
将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折后，翻折所得的圆与原圆重合，与直线AB的交点为A、B，故F与A重合，此时$FB=AB=2$。
2. 当DE=1时，代入弦长公式得$1=2\sqrt{1-OC^2}$，解得$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由翻折性质可知，翻折后圆弧所在圆的圆心$O'$是O关于DE的对称点，半径仍为1，故$O'C=OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$OO'=2OC=\sqrt{3}$。
① 若点C在线段OB上：$O'$在OB的延长线上，翻折后的圆与直线AB交于点F，$O'F=1$，则$OF=OO'-O'F=\sqrt{3}-1$，故$FB=OB-OF=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$。
② 若点C在线段OA上：$O'$在OA的延长线上，翻折后的圆与直线AB交于点F，$O'F=1$，则$OF=OO'+O'F=\sqrt{3}+1$，故$FB=OF+OB=\sqrt{3}+1+1=2+\sqrt{3}$。
综上，线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，圆的基本性质
【点评】
本题考查了圆与图形翻折的综合应用，需要结合分类讨论思想求解，解题关键是先确定DE的可能取值，再根据翻折的对称性找到对应线段的长度关系，易错点是容易遗漏点C在OA段的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.3
首先明确已知：AB是⊙O直径，长为2，故⊙O半径为1；过C的弦DE⊥AB，由弦长公式可知DE的取值范围是0＜DE≤2，结合DE为正整数，得DE只能取1或2两种情况。再利用翻折的性质：翻折前后圆弧半径不变，圆心关于折痕DE对称，分情况计算对应FB的长度即可，注意点C可在线段OA或OB上，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，AB=2，
∴⊙O的半径$r=1$。
∵DE⊥AB，由垂径定理得弦长$DE=2\sqrt{r^2-OC^2}=2\sqrt{1-OC^2}$，其中OC为圆心O到弦DE的距离。
∵DE是正整数，且$0＜DE≤2$，
∴DE=1或DE=2，分情况讨论：
1. 当DE=2时，DE为⊙O的直径，此时点C与圆心O重合，OC=0。
将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折后，翻折所得的圆与原圆重合，与直线AB的交点为A、B，故F与A重合，此时$FB=AB=2$。
2. 当DE=1时，代入弦长公式得$1=2\sqrt{1-OC^2}$，解得$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由翻折性质可知，翻折后圆弧所在圆的圆心$O'$是O关于DE的对称点，半径仍为1，故$O'C=OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$OO'=2OC=\sqrt{3}$。
① 若点C在线段OB上：$O'$在OB的延长线上，翻折后的圆与直线AB交于点F，$O'F=1$，则$OF=OO'-O'F=\sqrt{3}-1$，故$FB=OB-OF=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$。
② 若点C在线段OA上：$O'$在OA的延长线上，翻折后的圆与直线AB交于点F，$O'F=1$，则$OF=OO'+O'F=\sqrt{3}+1$，故$FB=OF+OB=\sqrt{3}+1+1=2+\sqrt{3}$。
综上，线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，圆的基本性质
【点评】
本题考查了圆与图形翻折的综合应用，需要结合分类讨论思想求解，解题关键是先确定DE的可能取值，再根据翻折的对称性找到对应线段的长度关系，易错点是容易遗漏点C在OA段的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.3
