三、解答题
8.如图,四边形ABCD是正方形,点A,B在⊙O上,边DA的延长线交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.
(1)求证:BG与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为1,求AF的长.

8.(1)证明:如答图,连接 BE. $\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠ BAE=90°,\therefore BE$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\because ∠ BAF+∠ EAF=90°,∠ EAF=∠ EBF,∠ FBG=∠ FAB,\therefore ∠ FBG+∠ EBF=90°$,即$∠ OBG=90°$,
$\therefore OB⊥ BG,\therefore BG$ 与 $\odot O$ 相切.

(2)解:如答图,连接 OA,OF.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,BE 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ EFD=90°,∠ FDE=45°$,
$\therefore ∠ FED=45°,\therefore ∠ AOF=90°$.
$\because OA=OF=1,\therefore AF^2=AO^2+FO^2=1+1=2$,
$\therefore AF=\sqrt{2}$(负值舍去).

【分析】
(1) 要证明BG是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明OB⊥BG，即证∠OBG=90°。首先结合正方形性质得∠BAE=90°，根据90°圆周角对应直径，可得BE是⊙O的直径；再利用同弧所对圆周角相等，将∠EAF转化为∠EBF，结合已知∠FBG=∠FAB，即可推出∠EBG=90°，完成切线证明。
(2) 要求AF的长，已知⊙O半径为1，即OA=OF=1，若证得△AOF为直角三角形，即可用勾股定理计算AF。结合正方形对角线性质得∠FDE=45°，再由直径对应圆周角为直角得∠EFD=90°，推出∠FED=45°，根据同弧对应圆心角是圆周角的2倍得∠AOF=90°，最后用勾股定理计算AF长度即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接BE。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠BAE=90°$，
$\therefore BE$ 是 $\odot O$ 的直径。
$\because ∠BAF+∠EAF=90°$，同弧EF所对圆周角相等，$\therefore ∠EAF=∠EBF$，
又$\because ∠FBG=∠FAB$，
$\therefore ∠FBG+∠EBF=90°$，即$∠OBG=90°$，
$\therefore OB⊥ BG$，
又$\because$OB是$\odot O$的半径，
$\therefore BG$ 与 $\odot O$ 相切。

(2) 解：如答图，连接OA,OF。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，BE是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠EFD=90°,∠FDE=45°$，
$\therefore ∠FED=45°$，
$\therefore$ 同弧AF对应的圆心角$∠AOF=2∠FED=90°$。
$\because OA=OF=1$，
$\therefore$ 在$Rt△ AOF$中，由勾股定理得$AF^2=AO^2+FO^2=1+1=2$，
$\therefore AF=\sqrt{2}$(负值舍去)。
【答案】
(1) BG与⊙O相切，证明见上述过程；
(2) $AF=\sqrt{2}$

【知识点】
切线的判定；圆周角定理；正方形的性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形的综合题，解题关键是合理添加辅助线，借助直径的性质、圆周角定理转化角度关系，能有效巩固基础定理的应用，提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65

9.(南通一模)如图，$\odot O$的直径$AB=8$，$C$为$\odot O$上一点，在$AB$的延长线上取一点$P$，连接$PC$交$\odot O$于点$D$，$PO=4\sqrt{3}$，$∠ OPC=30°$.
(1)求$CD$的长；
(2)计算图中阴影部分的面积.

9.解:(1)如答图,过点 O 作 $OE⊥ CD$ 于点 E,连接 OC,OD,则 $CE=DE.\because PO=4\sqrt{3},∠ OPC=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}PO=2\sqrt{3}$.
$\because$ 直径 $AB=8,\therefore OD=4$,
$\therefore DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$,
$\therefore CD=2DE=4$.

(2)$\because OD=2DE,\therefore ∠ DOE=30°,\therefore ∠ COD=60°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 求弦长CD优先考虑垂径定理：过圆心O作CD的垂线OE，可得E是CD中点，只需求出DE的长度再乘2即可。已知PO长度和∠OPC=30°，在Rt△OPE中利用30°角的直角三角形性质求出OE，再结合圆的半径OD，用勾股定理计算DE，就能得到CD的长度。
(2) 阴影部分是不规则图形，用割补法转化为扇形COD的面积减去△COD的面积。先根据直角三角形边角关系求出圆心角∠COD的度数，再分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 如答图，过点O作$OE⊥CD$于点E，连接OC、OD，根据垂径定理可得$CE=DE$。
$\because PO=4\sqrt{3}$，$∠ OPC=30°$，在$Rt△ OPE$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
$\therefore OE=\frac{1}{2}PO=2\sqrt{3}$。
$\because$ 直径$AB=8$，$\therefore \odot O$的半径$OD=\frac{1}{2}AB=4$。
在$Rt△ ODE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$，
$\therefore CD=2DE=4$。

(2) 在$Rt△ ODE$中，$OD=2DE$，$\therefore ∠ DOE=30°$，同理可得$∠ COE=30°$，
$\therefore ∠ COD=60°$。
阴影部分面积=扇形$COD$的面积$-$$△ COD$的面积：
$S_{扇形COD}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$，$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×CD×OE=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴影}=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $CD=4$；
(2) 阴影部分面积为$\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$。

【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于圆的常规计算题，解题关键是构造垂直于弦的辅助线，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，不规则阴影面积通过割补法转化为规则图形面积的差求解，是圆相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7

10. 如图①，在$\odot O$中，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD为$∠ CAB$的平分线，交$\odot O$于点D，连接OD交BC于点E。
(1)求$∠ BED$的度数；
(2)如图②，过点A作$\odot O$的切线交BC的延长线于点F，过点D作$DG // AF$交AB于点G。若$AD=2\sqrt{35}$，$DE=4$，求DG的长。

易错知识点:圆的相关概念、直线与圆的位置关系、正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积
易错考法:综合运用点与圆、直线与圆的位置关系进行计算与证明

10.解:(1)如答图.
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because AD$ 为 $∠ CAB$ 的平分线, $\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ BAD=∠ ODA$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAD+∠ ODA=2∠ BAD$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAC,\therefore OD// AC$,
$\therefore ∠ OEB=∠ ACB=90°,\therefore ∠ BED=90°$.

(2)如答图,连接 BD.
设 $OA=OB=OD=r$,则 $OE=r-4,AC=2OE=2r-8$,
$AB=2r$.
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中, $BD^2=AB^2-AD^2$.
由(1)得 $∠ BED=90°,\therefore ∠ BEO=∠ BED=90°$,
$\therefore BE^2=OB^2-OE^2,BE^2=BD^2-DE^2$,
$\therefore AB^2-AD^2=OB^2-OE^2+DE^2$,
即 $(2r)^2-(2\sqrt{35})^2=r^2-(r-4)^2+4^2$,
解得 $r_1=7,r_2=-5$(不合题意,舍去),
$\therefore AB=2r=14$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{14^2-(2\sqrt{35})^2}=2\sqrt{14}$.
$\because AF$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore AF⊥ AB$.
$\because DG// AF,\therefore DG⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DG$,
$\therefore DG=\frac{AD· BD}{AB}=\frac{2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14}=2\sqrt{10}$.

【分析】
(1) 求解∠BED的度数：首先利用直径所对圆周角为直角的性质得到∠ACB=90°；再结合角平分线定义和等腰三角形OA=OD的等角性质，推导得出∠BOD=∠BAC，进而得到OD//AC，由平行线同位角相等即可推出∠BED的度数。
(2) 求解DG的长度：先设圆的半径为r，借助勾股定理分别在多个直角三角形中表示BD²、BE²，通过BE²的等量关系列方程求出半径r，得到AB、BD的长度；再根据切线性质得AF⊥AB，结合DG//AF推出DG⊥AB，最后利用△ABD面积的两种表示方法即可求出DG的长。
【解析】
(1) 如答图，
∵AB为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
∵AD为$∠ CAB$的平分线，$\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$。
∵$OA=OD,\therefore ∠ BAD=∠ ODA$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAD+∠ ODA=2∠ BAD$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAC,\therefore OD// AC$,
$\therefore ∠ OEB=∠ ACB=90°,\therefore ∠ BED=90°$。

(2) 如答图，连接BD。
设 $OA=OB=OD=r$,则 $OE=r-4,AC=2OE=2r-8$,$AB=2r$。
∵AB为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中, $BD^2=AB^2-AD^2$。
由(1)得 $∠ BED=90°,\therefore ∠ BEO=∠ BED=90°$,
$\therefore BE^2=OB^2-OE^2,BE^2=BD^2-DE^2$,
$\therefore AB^2-AD^2=OB^2-OE^2+DE^2$,
即 $(2r)^2-(2\sqrt{35})^2=r^2-(r-4)^2+4^2$,
解得 $r_1=7,r_2=-5$(不合题意,舍去),
$\therefore AB=2r=14$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{14^2-(2\sqrt{35})^2}=2\sqrt{14}$。
∵AF是$\odot O$的切线，$\therefore AF⊥ AB$。
∵$DG// AF,\therefore DG⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DG$,
$\therefore DG=\frac{AD· BD}{AB}=\frac{2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14}=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BED=90°}$
(2) $\boldsymbol{DG=2\sqrt{10}}$

【知识点】
圆周角定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，融合了圆的基本性质、平行线的判定与性质、方程思想、面积法求线段长等多个考点，解题的关键是合理构造辅助线，通过勾股定理建立方程求出圆的半径，对几何综合运用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6