三、解答题
8.如图,四边形ABCD是正方形,点A,B在⊙O上,边DA的延长线交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.
(1)求证:BG与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为1,求AF的长.

8.(1)证明:如答图,连接 BE. $\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠ BAE=90°,\therefore BE$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\because ∠ BAF+∠ EAF=90°,∠ EAF=∠ EBF,∠ FBG=∠ FAB,\therefore ∠ FBG+∠ EBF=90°$,即$∠ OBG=90°$,
$\therefore OB⊥ BG,\therefore BG$ 与 $\odot O$ 相切.

(2)解:如答图,连接 OA,OF.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,BE 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ EFD=90°,∠ FDE=45°$,
$\therefore ∠ FED=45°,\therefore ∠ AOF=90°$.
$\because OA=OF=1,\therefore AF^2=AO^2+FO^2=1+1=2$,
$\therefore AF=\sqrt{2}$(负值舍去).

9.(南通一模)如图，$\odot O$的直径$AB=8$，$C$为$\odot O$上一点，在$AB$的延长线上取一点$P$，连接$PC$交$\odot O$于点$D$，$PO=4\sqrt{3}$，$∠ OPC=30°$.
(1)求$CD$的长；
(2)计算图中阴影部分的面积.

9.解:(1)如答图,过点 O 作 $OE⊥ CD$ 于点 E,连接 OC,OD,则 $CE=DE.\because PO=4\sqrt{3},∠ OPC=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}PO=2\sqrt{3}$.
$\because$ 直径 $AB=8,\therefore OD=4$,
$\therefore DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$,
$\therefore CD=2DE=4$.

(2)$\because OD=2DE,\therefore ∠ DOE=30°,\therefore ∠ COD=60°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$.

10. 如图①，在$\odot O$中，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD为$∠ CAB$的平分线，交$\odot O$于点D，连接OD交BC于点E。
(1)求$∠ BED$的度数；
(2)如图②，过点A作$\odot O$的切线交BC的延长线于点F，过点D作$DG // AF$交AB于点G。若$AD=2\sqrt{35}$，$DE=4$，求DG的长。

易错知识点:圆的相关概念、直线与圆的位置关系、正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积
易错考法:综合运用点与圆、直线与圆的位置关系进行计算与证明

10.解:(1)如答图.
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because AD$ 为 $∠ CAB$ 的平分线, $\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ BAD=∠ ODA$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAD+∠ ODA=2∠ BAD$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BAC,\therefore OD// AC$,
$\therefore ∠ OEB=∠ ACB=90°,\therefore ∠ BED=90°$.

(2)如答图,连接 BD.
设 $OA=OB=OD=r$,则 $OE=r-4,AC=2OE=2r-8$,
$AB=2r$.
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中, $BD^2=AB^2-AD^2$.
由(1)得 $∠ BED=90°,\therefore ∠ BEO=∠ BED=90°$,
$\therefore BE^2=OB^2-OE^2,BE^2=BD^2-DE^2$,
$\therefore AB^2-AD^2=OB^2-OE^2+DE^2$,
即 $(2r)^2-(2\sqrt{35})^2=r^2-(r-4)^2+4^2$,
解得 $r_1=7,r_2=-5$(不合题意,舍去),
$\therefore AB=2r=14$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{14^2-(2\sqrt{35})^2}=2\sqrt{14}$.
$\because AF$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore AF⊥ AB$.
$\because DG// AF,\therefore DG⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DG$,
$\therefore DG=\frac{AD· BD}{AB}=\frac{2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14}=2\sqrt{10}$.