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2.综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示，
①一张直径为10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示，
①一张直径为10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
答案
2. 解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,说明如下:
如答图作出示意图,由题意知AB=AC=BC=7 cm,折叠后CD=CE=1/2×10=5(cm),
∵滤纸围成圆锥的底面周长为1/2×10π=5π(cm),
∴DE·π=5π,
∴DE=5 cm,
∴DE/AB=CD/CA=CE/CB=5/7,
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm,
∴∠CDE=60°.
过点C作CF⊥DE于点F,则DF=1/2 DE=5/2 cm.
在Rt△CDF中,CF=√(CD²-DF²)=5√3/2 cm,
∴V=π·(5/2)²×5√3/2 ×1/3 = 125√3/24 π(cm³).
答:滤纸围成圆锥形的体积是125√3/24 π cm³.
解析
【分析】
(1) 判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥与漏斗的圆锥是否为共顶点的相似圆锥，即二者的轴截面三角形是否相似。首先明确漏斗的母线长、底面直径，再计算滤纸折叠后围成圆锥的母线长、底面直径，验证两个轴截面三角形的对应边是否成比例，若成比例则两三角形相似，滤纸即可紧贴漏斗内壁。
(2) 求圆锥体积需用到公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，已知滤纸围成圆锥的母线长和底面半径，用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可计算出体积。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，说明如下：
如答图作出示意图，由题意知漏斗的母线$AC=BC=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径$AB=7\ \mathrm{cm}$；圆形滤纸直径为$10\ \mathrm{cm}$，折叠后围成圆锥的母线$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
滤纸围成圆锥的底面周长等于折叠后扇形的弧长，即$\frac{1}{2}×π×10=5π\ \mathrm{cm}$，设该圆锥底面直径为$DE$，则$π· DE=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，可得$△ CDE∽△ CAB$，故滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 由(1)知$CD=DE=CE=5\ \mathrm{cm}$，即$△ CDE$为等边三角形。
过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，根据等边三角形三线合一的性质，$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即滤纸围成圆锥的高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，底面半径为$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
代入圆锥体积公式得：
$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}×π×(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析；
(2) 滤纸围成圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆锥的展开与折叠，相似三角形的判定，圆锥体积计算
【点评】
本题结合生活中的过滤场景，将实践操作与几何知识结合，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，综合性较强，能有效巩固圆、相似、圆锥相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
(1) 判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥与漏斗的圆锥是否为共顶点的相似圆锥，即二者的轴截面三角形是否相似。首先明确漏斗的母线长、底面直径，再计算滤纸折叠后围成圆锥的母线长、底面直径，验证两个轴截面三角形的对应边是否成比例，若成比例则两三角形相似，滤纸即可紧贴漏斗内壁。
(2) 求圆锥体积需用到公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，已知滤纸围成圆锥的母线长和底面半径，用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可计算出体积。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，说明如下：
如答图作出示意图，由题意知漏斗的母线$AC=BC=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径$AB=7\ \mathrm{cm}$；圆形滤纸直径为$10\ \mathrm{cm}$，折叠后围成圆锥的母线$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
滤纸围成圆锥的底面周长等于折叠后扇形的弧长，即$\frac{1}{2}×π×10=5π\ \mathrm{cm}$，设该圆锥底面直径为$DE$，则$π· DE=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，可得$△ CDE∽△ CAB$，故滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 由(1)知$CD=DE=CE=5\ \mathrm{cm}$，即$△ CDE$为等边三角形。
过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，根据等边三角形三线合一的性质，$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即滤纸围成圆锥的高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，底面半径为$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
代入圆锥体积公式得：
$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}×π×(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析；
(2) 滤纸围成圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆锥的展开与折叠，相似三角形的判定，圆锥体积计算
【点评】
本题结合生活中的过滤场景，将实践操作与几何知识结合，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，综合性较强，能有效巩固圆、相似、圆锥相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
