1. [2025常州二模]现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为◆, ♥, ♥. 若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（）

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

三张扑克牌分别用A,B,C表示,列表如下：
| | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
共有6种等可能的结果,其中抽取的两张牌花色相同的结果有2种,则抽取的两张牌花色相同的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

2. 新考向·数学文化 [2025 河南中考] 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就. 正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同. 把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（）


A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

列表如下：
| | 美 | 丽 | 山 | 河 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 美 | | (美,丽) | (美,山) | (美,河) |
| 丽 | (丽,美) | | (丽,山) | (丽,河) |
| 山 | (山,美) | (山,丽) | | (山,河) |
| 河 | (河,美) | (河,丽) | (河,山) | |
共有12种等可能的结果,其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有(丽,山),(山,丽),共2种,
∴ 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

3. 跨学科·音乐 “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，如图，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，先发出“宫”音，再发出“角”音的概率是。

列表如下：
| | 宫 | 商 | 角 | 徵 | 羽 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 宫 | (宫,宫) | (宫,商) | (宫,角) | (宫,徵) | (宫,羽) |
| 商 | (商,宫) | (商,商) | (商,角) | (商,徵) | (商,羽) |
| 角 | (角,宫) | (角,商) | (角,角) | (角,徵) | (角,羽) |
| 徵 | (徵,宫) | (徵,商) | (徵,角) | (徵,徵) | (徵,羽) |
| 羽 | (羽,宫) | (羽,商) | (羽,角) | (羽,徵) | (羽,羽) |
由表可知共有25种等可能的结果,其中先发出“宫”音,再发出“角”音的结果有(宫,角),共1种,
∴ 先发出“宫”音,再发出“角”音的概率是$\frac{1}{25}$.

4. 跨学科·物理 [2026 苏州姑苏区振华中学月考]如图电路中，随机闭合开关$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$中的两个，能够点亮灯泡的概率为。

用列表法表示所有可能出现的情况如下：
| | $S_1$ | $S_2$ | $S_3$ | $S_4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $S_1$ | | $(S_1,S_2)$ | $(S_1,S_3)$ | $(S_1,S_4)$ |
| $S_2$ | $(S_2,S_1)$ | | $(S_2,S_3)$ | $(S_2,S_4)$ |
| $S_3$ | $(S_3,S_1)$ | $(S_3,S_2)$ | | $(S_3,S_4)$ |
| $S_4$ | $(S_4,S_1)$ | $(S_4,S_2)$ | $(S_4,S_3)$ | |
共有12种等可能的结果,其中能够点亮灯泡的有8种,
$\therefore P(\mathrm{点亮灯泡})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

5. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数$-\sqrt{3},\sqrt{6},0,2,π$的小球，这些小球除数外其他完全相同. 从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数之积恰好是有理数的概率为.

列表如下：
| | $-\sqrt{3}$ | $\sqrt{6}$ | 0 | 2 | $π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $-\sqrt{3}$ | | $(-\sqrt{3},\sqrt{6})$ | $(-\sqrt{3},0)$ | $(-\sqrt{3},2)$ | $(-\sqrt{3},π)$ |
| $\sqrt{6}$ | $(\sqrt{6},-\sqrt{3})$ | | $(\sqrt{6},0)$ | $(\sqrt{6},2)$ | $(\sqrt{6},π)$ |
| 0 | $(0,-\sqrt{3})$ | $(0,\sqrt{6})$ | | $(0,2)$ | $(0,π)$ |
| 2 | $(2,-\sqrt{3})$ | $(2,\sqrt{6})$ | $(2,0)$ | | $(2,π)$ |
| $π$ | $(π,-\sqrt{3})$ | $(π,\sqrt{6})$ | $(π,0)$ | $(π,2)$ | |
由表可知共有20种等可能的结果,两球上的数之积恰好是有理数的结果有8种,
∴ 两球上的数之积恰好是有理数的概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$.

6. [2025徐州中考]如图,甲、乙为两个可以自由转动的转盘,它们分别被分成了4等份与3等份,每份内均标有字母,转盘停止转动后,若指针落在两个区域的交线上,则重转一次.
(1)转动甲盘,待其停止转动后,指针落在A区域的概率为;
(2)转动甲、乙两个转盘,用列表或画树状图的方法,求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.

(1)$\frac{1}{4}$
(2)根据题意,列表如下：
| | P | Q | R |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,P) | (A,Q) | (A,R) |
| B | (B,P) | (B,Q) | (B,R) |
| C | (C,P) | (C,Q) | (C,R) |
| D | (D,P) | (D,Q) | (D,R) |
共有12种等可能的结果,其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种,
∴ 转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

7. [2026 扬州仪征金升外国语试验学校模拟] 小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种APP的图标依次制成A,B,C,D四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）.将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
A. 豆包 B. Deepseek C. Kimi D. 文心一言
(1)从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为；
(2)从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到相同卡片的概率.

(1)$\frac{1}{4}$
(2)列表如下：
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种等可能的结果,其中两次抽取到相同卡片的结果有4种,
∴ 两次抽取到相同卡片的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.