8. 如图,管中放置着三根同样的绳子$AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{1}$.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$AA_{1}$的概率是多少?
(2)小明先从左端$A$,$B$,$C$三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$三个绳头中随机选两个打一个结.求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.

解:(1)小明可选择的情况有三种,每种情况发生的可能性相同,恰好选中绳子$AA_1$的情况有一种,所以小明恰好选中绳子$AA_1$的概率是$\frac{1}{3}$.
(2)画树状图如下：

分别在两端随机任选两个绳头打结,共有9种可能的结果,并且它们发生的可能性相同,其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连接成为一根长绳.
所以能连接成为一根长绳的情况有6种：
①左端连$AB$,右端连$A_1C_1$或$B_1C_1$；
②左端连$BC$,右端连$A_1B_1$或$A_1C_1$；
③左端连$AC$,右端连$A_1B_1$或$B_1C_1$.
故这三根绳子能连接成一根长绳的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

9. 跨学科·物理 在某次物理实验中,需要在图中的1,2,3三个位置处安装3个元件形成电路,现有A,B,C三个元件,其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏,现将三个元件分别任意安装到1,2,3处.
（1）位置1处安装被烧坏的元件的概率为；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后,小灯泡能亮的概率.

解:(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下：

共有6种等可能的结果,闭合开关后,小灯泡能亮的结果有2种,
∴ 闭合开关后,小灯泡能亮的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

10. 应用意识小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.
(1)如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图的方法求小明能顺利过关的概率.
(3)请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他顺利过关的概率较大.

解:(1)小明答对第一道题的概率是$\frac{1}{3}$.
(2)分别用A,B,C表示第一道单选题的3个选项,a,b,c表示第二道单选题的3个选项(注意:去掉一个错误选项).
画树状图如下：

由图可知共有9种等可能的结果,其中小明顺利过关的结果只有1种,
∴ 小明顺利过关的概率为$\frac{1}{9}$.
(3)如果在第一题使用“求助”,小明顺利过关的概率为$\frac{1}{8}$;
如果在第二题使用“求助”,小明顺利过关的概率为$\frac{1}{9}$.
∵$\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$,
∴ 建议小明在第一题使用“求助”.

[2026南京鼓楼区期末]在一个不透明袋中有4个小球,标号分别为1,2,3,4,它们除标号外无其他差别.甲随机摸取一个小球记下标号,然后放回,再随机摸取一个小球,记下标号;乙随机摸取一个小球记下标号,不放回,再随机摸取一个小球,记下标号.
(1)求甲两次摸球的标号之和等于5的概率.
(2)乙两次摸球的标号之和等于5的概率为.

解:(1)画树状图如下：

由树状图可知共有16种等可能的结果,其中甲两次摸球的标号之和等于5的结果有4种,
∴ 甲两次摸球的标号之和等于5的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(2)$\frac{1}{3}$
画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能的结果,其中乙两次摸球的标号之和等于5的结果有4种,
∴ 乙两次摸球的标号之和等于5的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.