3. 下面能用来说明“直径是圆中最长的弦”的图形是（）

3.B

【分析】要证明“直径是圆中最长的弦”，核心思路是将任意一条非直径的弦与直径作长度比较：任取圆内一条非直径的弦，连接圆心与这条弦的两个端点得到两条半径，借助三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即可推导出直径长度大于这条非直径弦的长度，我们只需找到符合该证明思路、辅助线构造正确的图形即可。
【解析】我们可以通过如下推导证明直径是最长的弦：
1. 任取圆O中一条不是直径的弦CD，连接OC、OD，OC、OD均为圆的半径，因此OC=OD=r；
2. 直径AB的长度为2r，即AB=OC+OD；
3. 根据三角形三边关系，在△OCD中，两边之和大于第三边，即OC+OD＞CD，因此AB＞CD，也就是直径的长度大于任意非直径弦的长度。
观察选项：只有选项B的辅助线符合上述推导的构造要求，其余选项的辅助线均无法体现该证明逻辑：A、C的辅助线对应圆周角相关推导，D的辅助线对应平行弦的性质，均不符合题意。
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；三角形三边关系
【点评】本题考查“直径是圆中最长的弦”这一结论的推导逻辑，解题关键是理解该结论可通过三角形三边关系证明，熟悉对应的辅助线构造方法。
【难度系数】0.7

4.(教材变式)如右图，BD，CE均为$△ ABC$的高，M为BC的中点.求证:点B，C，D，E都在以点M为圆心的同一个圆上.

4.证明:如图,连接ME,MD.
∵BD,CE均为△ABC的高,且M为BC的中点,
∴ME=MD=MC=MB=$\frac{1}{2}$BC,
∴点B,C,D,E都在以点M为圆心的同一个圆上.

【分析】
要证明点B、C、D、E在以M为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到点M的距离相等即可。首先连接辅助线ME、MD，已知BD、CE是△ABC的高，可得△BEC、△BDC都是直角三角形，结合M是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推导得出四个点到M的距离相等。
【解析】
证明：如图，连接ME，MD。
∵BD，CE均为△ABC的高，
∴△BEC和△BDC都是直角三角形，BC为两个直角三角形的公共斜边。
又
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$ME=\frac{1}{2}BC$，$MD=\frac{1}{2}BC$，且$MB=MC=\frac{1}{2}BC$，
因此$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$。
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点在同一个圆上，可知点B，C，D，E都在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】
证明:如图,连接ME,MD.
∵BD,CE均为△ABC的高,且M为BC的中点,
∴ME=MD=MC=MB=$\frac{1}{2}$BC,
∴点B,C,D,E都在以点M为圆心的同一个圆上.
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是圆的基本概念的典型应用题型，解题的核心是结合直角三角形的性质证明多点到定点的距离相等，熟练掌握相关基础性质即可快速完成证明。
【难度系数】
0.7

5.已知半径为5的$\odot O$的圆心为平面直角坐标系的原点$O$,则点$P(3,4)$和$\odot O$的位置关系是（）

A.点$P$在$\odot O$内
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$外
D.不能确定

5.B

【分析】
要判断点和圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。本题已知圆心为原点、圆半径为5，因此先计算点P到原点的距离，再和半径5比较即可得出结论。
【解析】
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，点和圆的位置关系判定规则为：
①当d＜r时，点在圆内；②当d=r时，点在圆上；③当d＞r时，点在圆外。
已知圆心O为坐标原点，点P坐标为(3,4)，根据平面直角坐标系中两点间距离公式，原点到点(x,y)的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$，因此：
$OP=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
已知$\odot O$的半径$r=5$，可得$d=r$，因此点P在$\odot O$上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.点与圆的位置关系判定
2.两点间距离计算
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础考察题型，解题的关键是牢记点与圆位置关系的判定方法，结合坐标系内的距离计算即可快速得出答案，易错点为距离计算出错。
【难度系数】
0.9

6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于点D,O为AB的中点.

(1)以点C为圆心,6为半径作⊙C,则点A在⊙C,点B在⊙C.(填“内”“外”或“上”)
(2)当⊙C的半径为时,点O在⊙C上,此时,点D在⊙C(填“内”或“外”)

6.(1)上 外 (2)5 内

【分析】
判断点与圆的位置关系的核心方法是：比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小，d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。解题时先通过勾股定理、直角三角形斜边中线性质、面积法分别求出各点到圆心C的距离，再和对应半径比较即可得出结论。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
已知⊙C半径$r=6$：
点A到圆心C的距离$AC=6=r$，因此点A在⊙C上；
点B到圆心C的距离$BC=8＞6=r$，因此点B在⊙C外。
(2)
∵O是AB的中点，△ABC为直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，即当⊙C半径为5时，$OC=r$，点O在⊙C上。
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，解得$CD=4.8$
∵$CD=4.8＜5=r$，因此点D在⊙C内。
【答案】
(1)上；外 (2)5；内
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，结合点和圆的位置关系判定与直角三角形的相关性质考查，掌握位置关系的判定规则，能正确计算对应线段长度即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

7.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若$∠ AOC=70°$，且$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数是（）

A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$

7.D

【分析】
解题时先从已知的平行关系入手，利用平行线的内错角相等求出∠OAD的度数；再结合圆的半径相等，得到△OAD是等腰三角形，推出两个底角相等；最后利用三角形内角和定理即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵$AD// OC$，$∠AOC=70°$
∴$∠OAD=∠AOC=70°$（两直线平行，内错角相等）
∵$OA$、$OD$都是$\odot O$的半径
∴$OA=OD$，即$△ OAD$是等腰三角形
∴$∠ODA=∠OAD=70°$
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-70°-70°=40°$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，将平行线、等腰三角形与圆的基础知识点相结合，解题的关键是结合图形梳理各角之间的数量关系，掌握相关基础性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8

8.如图，$\odot O$的周长为$4π$，B是弦CD上任意一点(不与点C，D重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则$EO+EB$的值为。

8.2

【分析】
解题时首先从已知的圆周长入手，先计算出圆的半径，得到OD、OC的长度；再结合OC和OD是半径可得△OCD是等腰三角形，两底角相等；接着利用EB平行OC的条件，通过平行线同位角相等进行角的等量代换，推出△EBD为等腰三角形，得到EB=ED；最后将EO+EB转化为EO+ED，也就是半径OD的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵⊙O的周长为4π，根据圆的周长公式$C=2π r$，
∴$2π r=4π$，解得$r=2$，即半径$OC=OD=2$。
∵OC、OD都是⊙O的半径，
∴$OC=OD$，
∴$∠ OCD=∠ ODC$。
∵$EB// OC$，
∴$∠ EBD=∠ OCD$（两直线平行，同位角相等），
∴$∠ EBD=∠ ODC$，
∴$EB=ED$（等角对等边）。
∴$EO+EB=EO+ED=OD=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆的周长计算；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题解题的核心是利用平行线性质和等腰三角形的性质完成线段的等量转化，将所求的两条线段之和转化为圆的半径，体现了转化思想在几何解题中的应用，掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB，CD的延长线交于点E，$AB=2DE$.若$△ COD$为直角三角形，则$∠ E$的度数为.

9.22.5° 【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴AB=2DO.
∵AB=2DE,
∴DO=DE,
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形,OC=OD,
∴△COD为等腰直角三角形,
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO=∠DOE+∠E,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=22.5°.

【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，结合圆的直径与半径的数量关系，由已知条件AB=2DE推出DO=DE，可得△DOE为等腰三角形，即∠DOE=∠E；第二步，根据OC和OD都是⊙O的半径，二者长度相等，结合△COD是直角三角形，可判断它是等腰直角三角形，进而得到∠CDO的度数；第三步，利用三角形外角的性质，∠CDO是△DOE的外角，等于两个不相邻内角∠DOE与∠E的和，代入∠DOE=∠E的等量关系，即可求出∠E的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴AB=2DO.
∵AB=2DE，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形，OC=OD，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO是△DOE的外角，
∴∠CDO=∠DOE+∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=22.5°.
【答案】
22.5°
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用圆的半径相等的性质得到边的等量关系，再结合三角形的角度性质推导计算，考察了对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10. 如下图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4. 将三角板的直角顶点P放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点B，C. 求PD的最小值.

10.解:如图,设BC的中点为O,连接OP.
∵∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的半圆O上运动,当O,P,D在一条直线上时,PD最小.
∵AB=3,BC=4,
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=2=OP,CD=AB=3,
∴OD=$\sqrt{OC^2 + CD^2}$=$\sqrt{13}$,
∴PD的最小值为$\sqrt{13}-2$.

【分析】
首先根据题意可知，三角板的直角顶点为P，且两直角边始终经过B、C，因此∠BPC恒为90°。根据直角三角形的性质和圆周角定理的推论，可判断点P的运动轨迹是以BC为直径、位于矩形内部的半圆。要求PD的最小值，属于圆外一点到圆上点的最短距离问题：圆外一点到圆上所有点的最短距离等于该点到圆心的距离减去圆的半径，因此只需找到BC的中点（即半圆的圆心），计算圆心到D的距离，再减去半径即可得到PD的最小值。
【解析】
解：设BC的中点为O，连接OP。
∵∠BPC=90°，O为BC的中点，
∴OP=OB=OC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），即点P在以BC为直径的半圆O上运动。
根据点到圆上点的最短距离性质，当O、P、D三点共线时，PD取得最小值。
已知矩形ABCD中AB=3，BC=4，因此CD=AB=3，
半圆O的半径OP=OC=$\frac{1}{2}$BC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
因此PD的最小值为$OD-OP=\sqrt{13}-2$。
【答案】
10.解:如图,设BC的中点为O,连接OP.
∵∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的半圆O上运动,当O,P,D在一条直线上时,PD最小.
∵AB=3,BC=4,
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=2=OP,CD=AB=3,
∴OD=$\sqrt{OC^2 + CD^2}$=$\sqrt{13}$,
∴PD的最小值为$\sqrt{13}-2$.
【知识点】
圆周角定理推论，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于几何动点最值类题型，解题核心是先根据固定直角的特征判断出动点的运动轨迹为圆弧，再将最值问题转化为点到圆的最短距离求解，能有效考查对圆的性质和几何最值模型的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6