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1. 函数$y=\sqrt{x-2}$中,自变量$x$的取值范围是()
A.$x＞2$
B.$x≥ 2$
C.$x≤ -2$
D.$x≥ 2$或$x≤ -2$
A.$x＞2$
B.$x≥ 2$
C.$x≤ -2$
D.$x≥ 2$或$x≤ -2$
答案
B
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于函数$y=\sqrt{x-2}$，需满足$x-2≥0$，解该不等式得$x≥2$，即自变量$x$的取值范围是$x≥2$。
2. 实验中学举办小合唱比赛，六个参赛小组人数为5,6,5,7,x,8. 已知这组数据的平均数为6，则x为()
A.5
B.5.5
C.6
D.7
A.5
B.5.5
C.6
D.7
答案
A
解析
根据平均数的定义，n个数据的平均数等于所有数据之和除以n。本题共有6个数据，平均数为6，因此这组数据的总和为 $6×6=36$。
列等式：$5+6+5+7+x+8=36$，计算得 $31+x=36$，解得 $x=5$。
列等式：$5+6+5+7+x+8=36$，计算得 $31+x=36$，解得 $x=5$。
3. 已知一次函数$y=(k-1)x+5$,若$y$随$x$的增大而减小,则$k$的取值范围是()
A.$k＞1$
B.$k＜1$
C.$k＞0$
D.$k＜0$
A.$k＞1$
B.$k＜1$
C.$k＞0$
D.$k＜0$
答案
B
解析
根据一次函数的性质：对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中一次函数为$y=(k-1)x+5$，由$y$随$x$的增大而减小可得$k-1＜0$，解该不等式得$k＜1$。
4. 下列命题正确的是()
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形的两条对角线互相垂直
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有三个角为直角的四边形为矩形
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形的两条对角线互相垂直
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有三个角为直角的四边形为矩形
答案
D
解析
逐一分析选项：
1. 选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，该命题错误。
2. 选项B：普通平行四边形的对角线仅互相平分，不一定互相垂直，该命题错误。
3. 选项C：等腰梯形满足一组对边平行另一组对边相等，但它不是平行四边形，该命题错误。
4. 选项D：四边形内角和为360°，若有三个角为直角，第四个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，该命题正确。
1. 选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，该命题错误。
2. 选项B：普通平行四边形的对角线仅互相平分，不一定互相垂直，该命题错误。
3. 选项C：等腰梯形满足一组对边平行另一组对边相等，但它不是平行四边形，该命题错误。
4. 选项D：四边形内角和为360°，若有三个角为直角，第四个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，该命题正确。
5. 如图，菱形ABCD的顶点A,D在直线$y=-3x-6$上，点A在x轴上，点C的坐标为$(2,4)$，则点B的坐标为()
A.$(4,-\dfrac{3}{2})$
B.$(4,-2)$
C.$(\dfrac{9}{2},-\dfrac{5}{2})$
D.$(\dfrac{9}{2},-2)$
A.$(4,-\dfrac{3}{2})$
B.$(4,-2)$
C.$(\dfrac{9}{2},-\dfrac{5}{2})$
D.$(\dfrac{9}{2},-2)$
答案
B
解析
1. 求点A坐标：点A在x轴上，将y=0代入直线方程$y=-3x-6$，得$0=-3x-6$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
2. 求点D坐标：设$D(x,-3x-6)$，由菱形性质$AD=CD$，列等式：
$\sqrt{(x+2)^2+(-3x-6)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(-3x-6-4)^2}$，平方化简后解得$x=-4$，代入得$y=6$，即$D(-4,6)$。
3. 利用菱形对角线互相平分的性质：对角线AC的中点坐标为$(\frac{-2+2}{2},\frac{0+4}{2})=(0,2)$，该点也是BD的中点。设$B(m,n)$，则$\frac{m-4}{2}=0$，$\frac{n+6}{2}=2$，解得$m=4$，$n=-2$，即点B坐标为$(4,-2)$。
2. 求点D坐标：设$D(x,-3x-6)$，由菱形性质$AD=CD$，列等式：
$\sqrt{(x+2)^2+(-3x-6)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(-3x-6-4)^2}$，平方化简后解得$x=-4$，代入得$y=6$，即$D(-4,6)$。
3. 利用菱形对角线互相平分的性质：对角线AC的中点坐标为$(\frac{-2+2}{2},\frac{0+4}{2})=(0,2)$，该点也是BD的中点。设$B(m,n)$，则$\frac{m-4}{2}=0$，$\frac{n+6}{2}=2$，解得$m=4$，$n=-2$，即点B坐标为$(4,-2)$。
6. 若代数式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，则x的取值范围是。
答案
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，需满足
$\begin{cases}x-1≥0 \\x-2≠0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$，得$x≥1$，
解$x-2≠0$，得$x≠2$，
因此$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$。
$\begin{cases}x-1≥0 \\x-2≠0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$，得$x≥1$，
解$x-2≠0$，得$x≠2$，
因此$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$。
7. 若$y=(m+2)x^{|m|-1}+3m-2$是关于$x$的一次函数，则实数$m=$.
答案
解：
根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 1 = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
由$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
综上，$m=2$。
根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 1 = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
由$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
综上，$m=2$。
8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长为.
答案
$\boldsymbol{3.5}$（或$\frac{7}{2}$）
解析
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵ 菱形ABCD的周长为28，
∴ AD=28÷4=7，
∴ ∠AOD=90°，
又∵ E为AD的中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×7 = 3.5。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵ 菱形ABCD的周长为28，
∴ AD=28÷4=7，
∴ ∠AOD=90°，
又∵ E为AD的中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×7 = 3.5。
9. 如图，直线 $ l_1: y=x+3 $ 与直线 $ l_2: y=kx+b $ 相交于点P，点P的纵坐标为4，则关于x的不等式 $ kx+b ≤ x+3 $ 的解为。
答案
解：
把y=4代入$y=x+3$，得
$4=x+3$
解得$x=1$
所以点P的坐标为$(1,4)$
结合函数图像可知，当$x≥1$时，$kx+b≤ x+3$。
故答案为：$x≥1$
把y=4代入$y=x+3$，得
$4=x+3$
解得$x=1$
所以点P的坐标为$(1,4)$
结合函数图像可知，当$x≥1$时，$kx+b≤ x+3$。
故答案为：$x≥1$
10. 如图，在$□ ABCD$中，点P为边AD上一点，将$△ ABP$沿BP翻折，点A的对应点E恰好落在CD的延长线上，且$PE ⊥ CD$，若$CD=8$，$AD=6$，则PA的长为。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD=8$，$AB// CD$。
由翻折的性质得：$BE=AB=8$，$PA=PE$。
设$PA=x$，则$PE=x$，$PD=AD-PA=6-x$。
∵ $PE⊥ CD$，
∴ $△ PDE$是直角三角形，$∠ PED=90°$，
由勾股定理得：$ED^2 + PE^2 = PD^2$，
即 $ED^2=(6-x)^2 - x^2=36-12x$。
∵ $AB// CD$，$PE⊥ CD$，
∴ 直线$PE⊥ AB$，过点$B$作$BF⊥ CD$交直线$CD$于点$F$，则$BF⊥ EC$。
结合平行四边形性质与坐标法推导可得方程：
$4\sqrt{36-12x}=3x$，
两边平方整理得：$9x^2 + 192x - 576=0$，
解得正根$x=\frac{8}{3}$（负根舍去）。
故$PA$的长为$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD=8$，$AB// CD$。
由翻折的性质得：$BE=AB=8$，$PA=PE$。
设$PA=x$，则$PE=x$，$PD=AD-PA=6-x$。
∵ $PE⊥ CD$，
∴ $△ PDE$是直角三角形，$∠ PED=90°$，
由勾股定理得：$ED^2 + PE^2 = PD^2$，
即 $ED^2=(6-x)^2 - x^2=36-12x$。
∵ $AB// CD$，$PE⊥ CD$，
∴ 直线$PE⊥ AB$，过点$B$作$BF⊥ CD$交直线$CD$于点$F$，则$BF⊥ EC$。
结合平行四边形性质与坐标法推导可得方程：
$4\sqrt{36-12x}=3x$，
两边平方整理得：$9x^2 + 192x - 576=0$，
解得正根$x=\frac{8}{3}$（负根舍去）。
故$PA$的长为$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$。
