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11. 如图,直线$l_1:y=x+a$与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,点C在x轴上且在点A的右边,AC=7,经过点C的直线$l_2$与正比例函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象平行,直线$l_1$与直线$l_2$相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)点P为直线$l_1$上一动点.若$7S_{△ PCD}=6S_{△ ACD}$,求点P的坐标.
(1)求点D的坐标;
(2)点P为直线$l_1$上一动点.若$7S_{△ PCD}=6S_{△ ACD}$,求点P的坐标.
答案
解：
(1) 把点$A(-3,0)$代入$y=x+a$，得：
$0=-3+a$，解得$a=3$，
$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=x+3$。
$\because A(-3,0)$，点$C$在点$A$右侧且$AC=7$，
$\therefore$点$C$的横坐标为$-3+7=4$，即$C(4,0)$。
$\because$直线$l_2$与$y=-\dfrac{1}{2}x$平行，
$\therefore$设$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+b$，将$C(4,0)$代入得：
$0=-\dfrac{1}{2}×4 +b$，解得$b=2$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
联立$\begin{cases}y=x+3\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{7}{3}\end{cases}$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$。
(2) 由题意，$AC=7$，点$D$到$x$轴的距离为$\dfrac{7}{3}$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{7}{3}=\dfrac{49}{6}$。
$\because7S_{△ PCD}=6S_{△ ACD}$，
$\therefore7S_{△ PCD}=6×\dfrac{49}{6}=49$，即$S_{△ PCD}=7$。
设点$P$的坐标为$(t,t+3)$，根据三角形面积坐标公式得：
$\dfrac{1}{2}\left| -7t -\dfrac{14}{3} \right|=7$，
化简得$\left| t+\dfrac{2}{3} \right|=2$，
解得$t_1=\dfrac{4}{3}$，$t_2=-\dfrac{8}{3}$。
当$t=\dfrac{4}{3}$时，$y=\dfrac{4}{3}+3=\dfrac{13}{3}$；
当$t=-\dfrac{8}{3}$时，$y=-\dfrac{8}{3}+3=\dfrac{1}{3}$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{13}{3})$和$(-\dfrac{8}{3},\dfrac{1}{3})$。
(1) 把点$A(-3,0)$代入$y=x+a$，得：
$0=-3+a$，解得$a=3$，
$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=x+3$。
$\because A(-3,0)$，点$C$在点$A$右侧且$AC=7$，
$\therefore$点$C$的横坐标为$-3+7=4$，即$C(4,0)$。
$\because$直线$l_2$与$y=-\dfrac{1}{2}x$平行，
$\therefore$设$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+b$，将$C(4,0)$代入得：
$0=-\dfrac{1}{2}×4 +b$，解得$b=2$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
联立$\begin{cases}y=x+3\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{7}{3}\end{cases}$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$。
(2) 由题意，$AC=7$，点$D$到$x$轴的距离为$\dfrac{7}{3}$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{7}{3}=\dfrac{49}{6}$。
$\because7S_{△ PCD}=6S_{△ ACD}$，
$\therefore7S_{△ PCD}=6×\dfrac{49}{6}=49$，即$S_{△ PCD}=7$。
设点$P$的坐标为$(t,t+3)$，根据三角形面积坐标公式得：
$\dfrac{1}{2}\left| -7t -\dfrac{14}{3} \right|=7$，
化简得$\left| t+\dfrac{2}{3} \right|=2$，
解得$t_1=\dfrac{4}{3}$，$t_2=-\dfrac{8}{3}$。
当$t=\dfrac{4}{3}$时，$y=\dfrac{4}{3}+3=\dfrac{13}{3}$；
当$t=-\dfrac{8}{3}$时，$y=-\dfrac{8}{3}+3=\dfrac{1}{3}$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{13}{3})$和$(-\dfrac{8}{3},\dfrac{1}{3})$。
12. 4月9日,某区举行2026年“争当红岩先锋·维护国家安全”中小学国家安全素养大赛.为了解小学组、中学组学生的参赛情况,从小学组、中学组参赛同学中各抽取10名同学,记录下他们的得分(单位:分),并进行整理和分析(得分用x表示,共分为三组:A:70≤x＜80,B:80≤x＜90,C:90≤x≤100).
小学组10名同学的得分:70,75,80,80,80,83,85,85,90,95.
中学组10名同学的得分在B组中的分数为:80,80,85,85,85.
小学组、中学组的相关统计数据如下表所示.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a=,b=,m=.
(2)根据以上数据,你认为中学组和小学组哪个组在此次国家安全素养大赛中表现更好?请说明理由(写出一条理由即可).
(3)已知小学组有200人参与比赛,中学组有300人参与比赛,若得分不低于90分就评为优秀等级,请估计参赛同学中获优秀等级的人数.
小学组10名同学的得分:70,75,80,80,80,83,85,85,90,95.
中学组10名同学的得分在B组中的分数为:80,80,85,85,85.
小学组、中学组的相关统计数据如下表所示.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a=,b=,m=.
(2)根据以上数据,你认为中学组和小学组哪个组在此次国家安全素养大赛中表现更好?请说明理由(写出一条理由即可).
(3)已知小学组有200人参与比赛,中学组有300人参与比赛,若得分不低于90分就评为优秀等级,请估计参赛同学中获优秀等级的人数.
答案
(1) $\boldsymbol{85}$，$\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{30}$
解析
解：
(1) 中学组A组人数为$10×20\%=2$人，B组人数为5人，因此C组人数为$10-2-5=3$人。
将中学组10名同学得分从小到大排列，第5、6个数据均为85，故中位数$a=\frac{85+85}{2}=85$。
小学组得分中80出现次数最多，故众数$b=80$。
中学组C组占比为$\frac{3}{10}×100\%=30\%$，故$m=30$。
(2) 中学组表现更好。理由：两组平均数相同，中学组方差35小于小学组方差45.6，中学组的成绩更稳定。
(3) 小学组样本中优秀人数为2，占比为$\frac{2}{10}$，中学组样本中优秀占比为30%。
估计获优秀等级的总人数为：
$\begin{aligned}200×\frac{2}{10} + 300×30\%&=40+90\\&=130\end{aligned}$
答：估计参赛同学中获优秀等级的人数为130人。
(1) 中学组A组人数为$10×20\%=2$人，B组人数为5人，因此C组人数为$10-2-5=3$人。
将中学组10名同学得分从小到大排列，第5、6个数据均为85，故中位数$a=\frac{85+85}{2}=85$。
小学组得分中80出现次数最多，故众数$b=80$。
中学组C组占比为$\frac{3}{10}×100\%=30\%$，故$m=30$。
(2) 中学组表现更好。理由：两组平均数相同，中学组方差35小于小学组方差45.6，中学组的成绩更稳定。
(3) 小学组样本中优秀人数为2，占比为$\frac{2}{10}$，中学组样本中优秀占比为30%。
估计获优秀等级的总人数为：
$\begin{aligned}200×\frac{2}{10} + 300×30\%&=40+90\\&=130\end{aligned}$
答：估计参赛同学中获优秀等级的人数为130人。
