1. 无理数$\sqrt{2}$的倒数是()

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

A

根据倒数的定义，$\sqrt{2}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，对该式进行分母有理化，将分子分母同时乘以$\sqrt{2}$，可得$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 以下列各组数为边长:①3,4,5;②5,12,13;③3,5,7;④9,40,41;⑤10,12,13.其中能构成直角三角形的有()

A.①②③④⑤
B.①②④
C.①②④⑤
D.①②

B

根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各组：
①3²+4²=9+16=25=5²，能构成直角三角形；
②5²+12²=25+144=169=13²，能构成直角三角形；
③3²+5²=9+25=34≠7²=49，不能构成直角三角形；
④9²+40²=81+1600=1681=41²，能构成直角三角形；
⑤10²+12²=100+144=244≠13²=169，不能构成直角三角形。
因此能构成直角三角形的是①②④。

3. 关于一次函数$y=2x-1$的描述，以下说法正确的是()

A.函数图象过第一象限
B.函数图象是呈下降趋势的直线
C.函数图象过第二象限
D.函数图象交$y$轴于正半轴

A

对于一次函数$y=2x-1$，其中$k=2＞0$，$b=-1＜0$：
1. 由$k＞0$可知函数图象呈上升趋势，直线经过第一、三、四象限，因此A正确，B、C错误；
2. 令$x=0$，得$y=-1$，可知函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，即$y$轴负半轴，D错误。

4. 如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在边BC,CD,AB上,其中DF=BE,AG=2DF,连接AF,AE,GF,若∠AFG=α,则∠BAE等于()


A.$\frac{α}{2}$
B.$45° - α$
C.$90° - \frac{5}{2}α$
D.$2α - 45°$

A

1. 在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，已知DF=BE，由SAS可证△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF。
2. 过点F作FH⊥AB于H，四边形AHFD是矩形，因此AH=DF，FH=AD。
3. 由AG=2DF，得GH=AG-AH=2DF-DF=DF，结合∠GHF=∠D=90°，由SAS可证△GHF≌△FDA，得GF=AF，即△AFG为等腰三角形，∠FAG=∠AGF。
4. 根据三角形内角和定理：∠FAG + ∠AGF + ∠AFG=180°，代入∠AFG=α，得2∠FAG + α=180°，解得∠FAG=90°-α/2。
5. 由∠BAD=90°，得∠FAG + ∠DAF=90°，将∠FAG=90°-α/2代入，得∠DAF=α/2，结合∠BAE=∠DAF，最终得∠BAE=α/2。

5. 一个多边形的内角和比外角和的5倍多180°,则这个多边形的边数为.

$\boldsymbol{13}$

解：设这个多边形的边数为$n$，
多边形的外角和恒为$360°$，内角和公式为$(n-2)×180°$，根据题意列方程：
$(n-2)×180° = 5×360° + 180°$
化简得：
$n-2 = 11$
解得：
$n=13$

6. 某公司招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%，面试按40%计算作为总成绩，小红笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小红的总成绩为分.

解：
根据题意，小红的总成绩为：
$\begin{aligned}90×60\% + 80×40\%&=54 + 32\\&=86\end{aligned}$
答：小红的总成绩为86分。

7. 若点$A(-1,y_1)$和点$B(2,y_2)$均在一次函数$y=2x+b$的图象上，则$y_1$$y_2$.(填“＞”“＜”或“=”)

$＜$

解：
把$x=-1$代入$y=2x+b$，得$y_1=2×(-1)+b = b-2$，
把$x=2$代入$y=2x+b$，得$y_2=2×2 +b = b+4$。
因为$b-2 ＜ b+4$，
所以$y_1 ＜ y_2$。

8. 如图，在$△ ABC$中，$AC=6$，$AB=4$，点$D$，$E$分别是边$AB$，$BC$的中点，点$F$是线段$DE$上一点，连接$AF$，$BF$，若$AF ⊥ BF$，则$EF$的长为。

$\boldsymbol{1}$

解：
∵ $AF ⊥ BF$，
∴ $∠ AFB = 90°$，
∵ 点$D$是$AB$的中点，$AB=4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AFB$中，$DF = \frac{1}{2}AB = 2$，
又∵ 点$D$，$E$分别是边$AB$，$BC$的中点，
∴ $DE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AC$，
∵ $AC=6$，
∴ $DE = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
∴ $EF = DE - DF = 3 - 2 = 1$。
最终

9. 若关于x的一元一次不等式组$\{\begin{array}{l}\dfrac{2}{3}x ＞ x - 1, \\4x + 1 ≥ a\end{array} $恰有3个整数解，且一次函数$y=(a-2)x+a+1$不经过第三象限，则a的取值范围是 ______ .

$\boldsymbol{-1 \le a \le 1}$

解：
解不等式$\frac{2}{3}x ＞ x -1$：
移项得$\frac{2}{3}x - x ＞ -1$，
即$-\frac{1}{3}x ＞ -1$，
系数化为1得$x ＜ 3$。
解不等式$4x + 1 \ge a$：
移项得$4x \ge a -1$，
系数化为1得$x \ge \frac{a-1}{4}$。
因此不等式组的解集为$\frac{a-1}{4} \le x ＜ 3$。
由不等式组恰有3个整数解，可知这3个整数解为2、1、0，因此：
$-1 ＜ \frac{a-1}{4} \le 0$
解得$-3 ＜ a \le 1$。
由一次函数$y=(a-2)x + a +1$不经过第三象限，可得：
$\begin{cases}a-2 ＜ 0 \\ a+1 \ge 0\end{cases}$
解得$-1 \le a ＜ 2$。
取两个范围的公共部分，得$a$的取值范围是$-1 \le a \le 1$。

10. 甲、乙两位同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两个人买糖方式不同，甲每次总是买1 kg的糖，乙每次总是买一元钱白糖，而白糖的价格是变动的，若两人买2次白糖，那么这两位同学买白糖的方式谁比较划算？
小明是这样解答的：
设两次买白糖的价格分别是$x_1,x_2$，则甲的平均单价是$\frac{x_1+x_2}{2}$，乙也是$\frac{x_1+x_2}{2}$，所以两人买白糖的方式一样划算.
亲爱的同学们，你认为小明的解答正确吗？如果不正确，说明理由.

解：小明的解答不正确，理由如下：
设两次买白糖的单价分别为$x_1$元/kg，$x_2$元/kg，其中$x_1＞0$，$x_2＞0$，且$x_1 ≠ x_2$。
甲每次买1kg白糖，两次共买2kg，总花费为$(x_1 + x_2)$元，
因此甲的平均单价为：
$a = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad (\mathrm{元/kg})$
乙每次买1元钱的白糖，两次共花费2元，两次购买白糖的总质量为$(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2})\mathrm{kg}$，
因此乙的平均单价为：
$b = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} \quad (\mathrm{元/kg})$
计算两者的差值：
$\begin{aligned}a - b &= \frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} \\&= \frac{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}{2(x_1 + x_2)} \\&= \frac{(x_1 - x_2)^2}{2(x_1 + x_2)}\end{aligned}$
因为$x_1＞0$，$x_2＞0$，且$x_1 ≠ x_2$，所以$(x_1 - x_2)^2 ＞ 0$，$2(x_1 + x_2) ＞ 0$，可得$a - b ＞ 0$，即$a ＞ b$。
乙购买白糖的平均单价更低，因此乙的买糖方式更划算。