1. 教材P13 习题T2 变式 用两种不同的方法把图中的正方形分成四个全等三角形.

解:答案不唯一,如图：方法一，方法二。

【分析】
要将正方形分成四个全等三角形，需保证分割后的四个三角形形状、大小完全相同，可结合正方形的性质和全等三角形的判定条件设计方案：
1. 首先回忆正方形对角线的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，连接两条对角线即可得到四个满足全等条件的三角形；
2. 也可以先将正方形分割为两个全等的基础图形（如矩形、等腰直角三角形），再将每个基础图形分割为两个全等的三角形，最终得到四个全等的三角形，方案不唯一，只要符合全等要求即可。
【解析】
方法一：连接正方形的两条对角线。
因为正方形的对角线互相垂直、平分且长度相等，所以分割得到的四个三角形都是等腰直角三角形，它们的两条直角边均为对角线长度的一半，夹角为90°，根据SAS判定定理可证四个三角形全等。
方法二：先取正方形一组对边的中点，连接两个中点得到一条线段，将正方形分为两个全等的矩形，再分别连接两个矩形的一组对角线。
分割得到的四个三角形都是直角三角形，它们的两条直角边分别等于正方形的边长和正方形边长的一半，对应边全部相等，根据SSS判定定理可证四个三角形全等。（方法不唯一，合理即可）
【答案】
解:答案不唯一,如图：方法一，方法二。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；图形分割设计
【点评】
本题是开放性操作类题目，需要灵活运用正方形的性质和全等三角形的判定条件设计分割方案，能够锻炼学生的几何思维和动手操作能力，分割方案不唯一，只要满足四个三角形全等的要求即可。
【难度系数】
0.8

2. 教材P13练习T1变式 如图,已知$△ ABE ≌ △ ACD$, $∠ AEB = ∠ ADC$, $∠ B = ∠ C$,指出对应边和其他的对应角.

解:因为$△ABE≌△ACD$,所以这两个三角形的对应边分别为AB与AC、AE与AD、BE与CD,其他的对应角为$∠BAE$与$∠CAD$。

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的相关性质，全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是一一对应的。我们首先根据已知的全等三角形名称和给出的对应角，先确定两个三角形的对应顶点：已知△ABE≌△ACD，且∠B=∠C、∠AEB=∠ADC，可得点A对应点A，点B对应点C，点E对应点D。再根据对应顶点确定对应边和剩余的对应角即可，对应边是两个对应顶点所连的边，对应角是对应顶点处的角。
【解析】
解：已知$△ ABE ≌ △ ACD$，且$∠ B = ∠ C$，$∠ AEB = ∠ ADC$，首先确定对应顶点：点A与点A对应，点B与点C对应，点E与点D对应。
根据对应顶点可得对应边：AB与AC是对应边，AE与AD是对应边，BE与CD是对应边；
两个三角形除已知的两组对应角外，剩余的角为$∠ BAE$和$∠ CAD$，二者为对应角。
【答案】
对应边分别为AB与AC、AE与AD、BE与CD，其他的对应角为$∠ BAE$与$∠ CAD$。
【知识点】
1. 全等三角形对应元素识别
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形对应边、对应角的识别方法，解题的关键是先找准对应顶点，再根据对应顶点推导对应边和对应角，这类知识是后续学习全等三角形证明与应用的重要基础。
【难度系数】
0.9

3. [2026南通如东期中]如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（）


A.$50°$
B.$58°$
C.$60°$
D.$62°$

C

【分析】
解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理以及全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等、对应角相等。第一步，先观察两个三角形的边，可知边a与边a对应，边b与边b对应；第二步，先计算左侧三角形的第三个内角的度数，再找到该角与∠1的对应关系，即可求出∠1的度数。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算左侧三角形的第三个内角的度数：
$180° - 62° - 58° = 60°$
因为两个三角形全等，对应边所夹的角为对应角，左侧三角形中边a和边b的夹角度数为60°，右侧三角形中边a和边b的夹角为∠1，因此$∠1 = 60°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，熟练掌握全等三角形的性质是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.8

4. [2026南京联合体期中]如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，$BC = 7$，$EC = 5$，则$CF$的长为 ()

A.2
B.3
C.5
D.7

A $\because △ABC≌△DEF,BC=7,EC=5,\therefore EF=BC=7$，$\therefore CF=EF-EC=7-5=2$。

【分析】
解题时首先结合已知的全等三角形条件，回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等，由此可推出BC的对应边EF与BC长度相等。接下来观察图形，线段EF由EC和CF两段拼接而成，因此要求CF的长度，只需用EF的长度减去EC的长度，代入已知数值就能算出结果。
【解析】
$\because △ ABC≌△ DEF$
$\therefore$ 对应边 $EF=BC$
已知 $BC=7$，因此 $EF=7$
又已知 $EC=5$，由图形线段关系可得 $EF=EC+CF$
$\therefore CF=EF-EC=7-5=2$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的性质；2. 线段的和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边，结合线段的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

5. 若$△ ABC ≌ △ DEF$，$DE = 6\ \mathrm{cm}$，$S_{△ DEF} = 12\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABC$的边$AB$上的高为 cm.

4 设$△DEF$的边$DE$上的高为$h$ cm,则$\frac{1}{2}· DE· h=12$,即$\frac{1}{2}×6h=12$,解得$h=4$.$\because △ABC≌△DEF$,且$AB$与$DE$是对应边,$\therefore AB$边上的高为4 cm。

【分析】
看到题目给出两个三角形全等，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应边上的高相等。要求△ABC边AB上的高，因为AB与△DEF的DE是对应边，所以只需要先求出△DEF中DE边上的高即可。求高可以利用三角形面积公式，已知△DEF的底DE的长度和面积，代入公式就能算出高，该高的长度就是AB边上的高。
【解析】
设△DEF的边DE上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}· DE· h=12$
将$DE=6$代入上式，得$\frac{1}{2}×6h=12$，
计算得$3h=12$，解得$h=4$。
$\because △ABC ≌ △ DEF$，且AB与DE是对应边，全等三角形对应边上的高相等，
$\therefore △ABC$的边AB上的高等于DE边上的高，即为4 cm。
【答案】
4
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应边上高相等的性质，结合三角形面积公式即可求解，解题关键是找准全等三角形的对应边。
【难度系数】
0.8

6. [2026无锡新吴区期中]如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，B，C，D三点在同一直线上，$CE = 3$，$AC = 4$，则$BD =$。

7 $\because △ABC≌△DEC$,B,C,D三点在同一条直线上,且$CE=3,AC=4,\therefore BC=CE=3,CD=AC=4,\therefore BD=BC+CD=3+4=7$。

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。观察待求线段BD，由B、C、D三点共线可知BD=BC+CD，因此只需确定BC和CD的长度即可。结合已知△ABC≌△DEC，根据全等三角形顶点的对应顺序，可找到BC的对应边是CE，CD的对应边是AC，代入已知边长计算后求和就能得到BD的长度。
【解析】
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，$CE=3$，$AC=4$，
根据全等三角形对应边相等，可得：
$BC=CE=3$，$CD=AC=4$，
又$\because$ B，C，D三点在同一直线上，
$\therefore BD=BC+CD=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是根据全等三角形的书写顺序准确找到对应边，再结合共线线段的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.9

7. 一题多解 [2025泰州靖江期末] 已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x−2,2x−1.若这两个三角形全等,则x为.

3 通解：因为全等三角形的周长相等,所以$7+5+3=3x-2+2x-1+3$,解得$x=3$。
另解：分两种情况讨论:当$3x-2=5,2x-1=7$时,x不存在;当$3x-2=7,2x-1=5$时,$x=3$。

【分析】
解决本题的核心是运用全等三角形的性质，我们可以从两个思路切入：
思路1：全等三角形对应边相等。已知两个三角形都有边长为3的边，因此这条边是对应边，剩余的两组边需分别对应相等，分两种情况列方程求解，再验证解是否同时满足两个边长的要求，排除矛盾的解。
思路2：全等三角形周长相等。直接利用两个三角形周长相等列方程求解，再代入验证边长是否符合对应相等的要求。
【解析】
方法一：分类讨论对应边
∵△ABC与△DEF全等，且两个三角形都有边长为3的边，即边长3为对应边，剩余两组边对应相等分两种情况：
① 若$3x-2=5$，$2x-1=7$：
解$3x-2=5$得$x=\frac{7}{3}$，解$2x-1=7$得$x=4$，两个$x$的值不相等，不符合要求，舍去；
② 若$3x-2=7$，$2x-1=5$：
解$3x-2=7$得$x=3$，解$2x-1=5$得$x=3$，两个$x$的值一致，符合要求。
方法二：利用周长相等求解
全等三角形周长相等，因此△ABC的周长=△DEF的周长：
$3+5+7=3+(3x-2)+(2x-1)$
整理得：$15=5x$
解得$x=3$
验证：将$x=3$代入得$3x-2=7$，$2x-1=5$，△DEF三边长为3、5、7，与△ABC三边长完全对应相等，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的性质、一元一次方程的求解
【点评】
本题重点考查全等三角形性质的灵活应用，解题时需明确对应边的匹配关系，若采用分类讨论法要注意验证解的合理性，避免得到无效的矛盾解，利用周长相等求解可简化分类讨论的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

8. [2026杭州公益中学月考]如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,点E在线段AD上,延长BE交AC于点F,且$△ ACD ≌ △ BED$.
(1)求证:$∠ AFE = 90°$;
(2)若$S_{△ BCF} = 20$, $S_{四边形CFED} = 8$, 求$△ AEF$的面积.

(1)证明:$\because △ACD≌△BED,∠ADC+∠BDE=180°$,
$\therefore ∠ADC=∠BDE,∠CAD=∠DBE$,
$\therefore ∠ADC=∠BDE=90°$.
$\because ∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠BED+∠BDE+∠DBE=180°,∠AEF=∠BED$,
$\therefore ∠AFE=∠BDE=90°$.
(2)解:$\because S_{△BCF}=20,S_{四边形CFED}=8$,
$\therefore S_{△BED}=S_{△BCF}-S_{四边形CFED}=20-8=12$.
$\because △ACD≌△BED,\therefore S_{△ACD}=S_{△BED}=12$,
$\therefore S_{△AEF}=S_{△ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4$.

【分析】
(1) 要证明∠AFE=90°，先从已知全等三角形入手：利用全等三角形对应角相等的性质，结合∠ADC与∠BDE是邻补角、和为180°，可推出∠BDE=90°；再借助对顶角相等、三角形内角和为180°的性质，即可推导得到∠AFE和∠BDE相等，完成证明。
(2) 求△AEF的面积时，先通过面积和差关系，用△BCF的面积减去四边形CFED的面积得到△BED的面积；再根据全等三角形面积相等，得到△ACD的面积；最后用△ACD的面积减去四边形CFED的面积，即可求出△AEF的面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ACD ≌ △BED$，$∠ADC+∠BDE=180°$，
$\therefore ∠ADC=∠BDE$，$∠CAD=∠DBE$，
$\therefore ∠ADC=∠BDE=90°$。
$\because ∠AEF=∠BED$（对顶角相等），且三角形内角和为$180°$，即$∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠BED+∠BDE+∠DBE=180°$，
$\therefore ∠AFE=∠BDE=90°$。
(2) 解：
由图形的面积组成可得：
$S_{△BED}=S_{△BCF}-S_{四边形CFED}=20-8=12$，
$\because △ACD ≌ △BED$，全等三角形面积相等，
$\therefore S_{△ACD}=S_{△BED}=12$，
同理可得$S_{△AEF}=S_{△ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AFE=90°}$得证；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，面积和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是利用全等三角形对应角、面积相等的性质，完成角度和面积的等量代换，对几何转化思维有基础的考查作用。
【难度系数】
0.7