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9. [2026 无锡江阴高新区实验中学月考] 如图，$△ BFD ≌ △ CED$.若$△ ACE$ 的面积为 3，$△ BFD$ 的面积为 2，则$△ ABF$ 的面积为（
A.3
B.5
C.7
D.9
C
）A.3
B.5
C.7
D.9
答案
C $\because △BFD≌△CED,\therefore S_{△CED}=S_{△BFD}=2,\therefore S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{CED}=5.\because △BFD≌△CED,\therefore BD=CD,\therefore S_{△ABD}=S_{△ACD}=5,\therefore S_{△ABF}=S_{△ABD}+S_{△BFD}=7$.
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形入手，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、面积相等。第一步先根据全等得到△CED的面积，和△BFD相等，再结合△ACE的面积求出△ACD的面积；第二步利用全等得到的BD=CD，可知△ABD和△ACD是等底同高的三角形，二者面积相等，得到△ABD的面积；最后△ABF的面积就是△ABD和△BFD的面积之和，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
$\because △ BFD ≌ △ CED$，根据全等三角形面积相等，
$\therefore S_{△ CED}=S_{△ BFD}=2$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACE}+S_{△ CED}=3+2=5$。
又$\because △ BFD ≌ △ CED$，根据全等三角形对应边相等，
$\therefore BD=CD$，
$△ ABD$和$△ ACD$分别以BD、CD为底时，高相同，因此面积相等，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=5$，
$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ ABD}+S_{△ BFD}=5+2=7$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；等底同高三角形面积关系；三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形性质和三角形面积结合的基础题，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质得到相等的边和相等的面积，再结合等底同高的三角形面积相等的规律推导未知三角形的面积，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的全等三角形入手，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、面积相等。第一步先根据全等得到△CED的面积，和△BFD相等，再结合△ACE的面积求出△ACD的面积；第二步利用全等得到的BD=CD，可知△ABD和△ACD是等底同高的三角形，二者面积相等，得到△ABD的面积；最后△ABF的面积就是△ABD和△BFD的面积之和，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
$\because △ BFD ≌ △ CED$，根据全等三角形面积相等，
$\therefore S_{△ CED}=S_{△ BFD}=2$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACE}+S_{△ CED}=3+2=5$。
又$\because △ BFD ≌ △ CED$，根据全等三角形对应边相等，
$\therefore BD=CD$，
$△ ABD$和$△ ACD$分别以BD、CD为底时，高相同，因此面积相等，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=5$，
$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ ABD}+S_{△ BFD}=5+2=7$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；等底同高三角形面积关系；三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形性质和三角形面积结合的基础题，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质得到相等的边和相等的面积，再结合等底同高的三角形面积相等的规律推导未知三角形的面积，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
10. [2026北京西城外国语学校期中] 三个全等三角形按如图所示的方式摆放，则$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$的度数为（
A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$180°$
D
）A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$180°$
答案
D 如图
,$△ABC$的三个外角的和等于$360°$,即$∠1+∠4+∠3+∠5+∠2+∠6=360°$.因为$∠4,∠5,∠6$所在的三个三角形全等,且它们不互为对应角,所以$∠4+∠5+∠6=180°$,所以$∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°$.解析
【分析】
解题时先观察图形，我们可以先标注出图中三个全等三角形未命名的内角∠4、∠5、∠6：第一步，根据三角形外角和定理，任意三角形的外角和为360°，中间小△ABC的三个外角恰好由∠1+∠4、∠2+∠6、∠3+∠5组成，因此这六个角的和为360°；第二步，结合全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，∠4、∠5、∠6分别是三个全等三角形的各一个内角，三者之和正好等于三角形的内角和180°；最后用六个角的总和减去∠4+∠5+∠6的和，就能求出∠1+∠2+∠3的度数。
【解析】
如图，根据三角形外角和定理，△ABC的三个外角的和等于360°，可得：
$∠ 1+∠ 4+∠ 3+∠ 5+∠ 2+∠ 6=360°$
因为三个三角形全等，$∠ 4、∠ 5、∠ 6$分别是三个全等三角形的内角，三者之和恰好等于三角形的内角和，即$∠ 4+∠ 5+∠ 6=180°$
将其代入上式可得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 3=360° - (∠ 4+∠ 5+∠ 6)=360° -180°=180°$
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型题型，无需单独计算每个角的度数，通过结合全等三角形的性质与三角形内外角和定理，利用整体代换的思想即可快速求解，锻炼了学生的图形观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，我们可以先标注出图中三个全等三角形未命名的内角∠4、∠5、∠6：第一步，根据三角形外角和定理，任意三角形的外角和为360°，中间小△ABC的三个外角恰好由∠1+∠4、∠2+∠6、∠3+∠5组成，因此这六个角的和为360°；第二步，结合全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，∠4、∠5、∠6分别是三个全等三角形的各一个内角，三者之和正好等于三角形的内角和180°；最后用六个角的总和减去∠4+∠5+∠6的和，就能求出∠1+∠2+∠3的度数。
【解析】
如图
，根据三角形外角和定理，△ABC的三个外角的和等于360°，可得：$∠ 1+∠ 4+∠ 3+∠ 5+∠ 2+∠ 6=360°$
因为三个三角形全等，$∠ 4、∠ 5、∠ 6$分别是三个全等三角形的内角，三者之和恰好等于三角形的内角和，即$∠ 4+∠ 5+∠ 6=180°$
将其代入上式可得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 3=360° - (∠ 4+∠ 5+∠ 6)=360° -180°=180°$
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型题型，无需单独计算每个角的度数，通过结合全等三角形的性质与三角形内外角和定理，利用整体代换的思想即可快速求解，锻炼了学生的图形观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
11. [2026 福州一中期中] 如图, 点 D,E,F 分别在△ABC 的边 AB,BC,CA 上(不与顶点重合), 设∠BAC=α,∠FED=θ. 若△BED≌△CFE, 则 α,θ 满足的关系是 (
A.$α + θ = 90°$
B.$α + 2θ = 180°$
C.$α - θ = 90°$
D.$2α + θ = 180°$
B
)A.$α + θ = 90°$
B.$α + 2θ = 180°$
C.$α - θ = 90°$
D.$2α + θ = 180°$
答案
B $\because ∠BAC=α,\therefore ∠B+∠C=180°-α.\because △BED≌△CFE,\therefore ∠B=∠C=90°-\frac{1}{2}α,∠BDE=∠CEF$,
$\therefore ∠BDE+∠BED=180°-∠B=180°-(90°-\frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α,\therefore ∠CEF+∠BED=90°+\frac{1}{2}α.\because ∠FED=θ$,
$∠CEF+∠BED+∠FED=180°,\therefore 90°+\frac{1}{2}α+θ=180°,\therefore α+2θ=180°$.
$\therefore ∠BDE+∠BED=180°-∠B=180°-(90°-\frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α,\therefore ∠CEF+∠BED=90°+\frac{1}{2}α.\because ∠FED=θ$,
$∠CEF+∠BED+∠FED=180°,\therefore 90°+\frac{1}{2}α+θ=180°,\therefore α+2θ=180°$.
解析
【分析】
解题时首先明确目标是推导α和θ的数量关系：第一步先利用三角形内角和定理得到△ABC中∠B与∠C的和；第二步根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠B=∠C、∠BDE=∠CEF，完成角的等量转化；第三步在△BED中再次用内角和定理得到∠BDE与∠BED的和，替换为∠CEF与∠BED的和；最后结合平角为180°的性质，将相关角的和代入等式，整理即可得到α与θ的关系。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠BAC=α，三角形内角和为180°，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - α$。
∵ $△ BED ≌ △ CFE$，全等三角形对应角相等，
∴ $∠ B = ∠ C$，$∠ BDE = ∠ CEF$，
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{180° - α}{2} = 90° - \frac{1}{2}α$。
在△BED中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，代入∠B的度数可得：
$∠ BDE + ∠ BED = 180° - (90° - \frac{1}{2}α) = 90° + \frac{1}{2}α$，
结合$∠ BDE = ∠ CEF$，等量代换得：$∠ CEF + ∠ BED = 90° + \frac{1}{2}α$。
∵ 点E在BC上，$∠ BED + ∠ FED + ∠ CEF = 180°$，且$∠ FED = θ$，
∴ 代入得：$90° + \frac{1}{2}α + θ = 180°$，
等式两边同时乘2整理得：$α + 2θ = 180°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的综合应用题，解题核心是利用全等性质实现角的等量代换，结合平角特征建立角的等式，熟练掌握基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确目标是推导α和θ的数量关系：第一步先利用三角形内角和定理得到△ABC中∠B与∠C的和；第二步根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠B=∠C、∠BDE=∠CEF，完成角的等量转化；第三步在△BED中再次用内角和定理得到∠BDE与∠BED的和，替换为∠CEF与∠BED的和；最后结合平角为180°的性质，将相关角的和代入等式，整理即可得到α与θ的关系。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠BAC=α，三角形内角和为180°，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - α$。
∵ $△ BED ≌ △ CFE$，全等三角形对应角相等，
∴ $∠ B = ∠ C$，$∠ BDE = ∠ CEF$，
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{180° - α}{2} = 90° - \frac{1}{2}α$。
在△BED中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，代入∠B的度数可得：
$∠ BDE + ∠ BED = 180° - (90° - \frac{1}{2}α) = 90° + \frac{1}{2}α$，
结合$∠ BDE = ∠ CEF$，等量代换得：$∠ CEF + ∠ BED = 90° + \frac{1}{2}α$。
∵ 点E在BC上，$∠ BED + ∠ FED + ∠ CEF = 180°$，且$∠ FED = θ$，
∴ 代入得：$90° + \frac{1}{2}α + θ = 180°$，
等式两边同时乘2整理得：$α + 2θ = 180°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的综合应用题，解题核心是利用全等性质实现角的等量代换，结合平角特征建立角的等式，熟练掌握基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.6
12. [2025 苏州金鸡湖学校月考] 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，若△ADB ≅ △EDB ≅ △EDC，则∠C 的度数为
30
°。答案
30 $\because △ADB≌△EDB≌△EDC,\therefore ∠A=∠BED=∠CED,∠ABD=∠EBD=∠C.\because ∠BED+∠CED=180°$,
$\therefore ∠A=∠BED=∠CED=90°$.在$△ABC$中,$∠C+∠ABD+∠EBD+∠A=∠C+2∠C+90°=180°,\therefore ∠C=30°$.
$\therefore ∠A=∠BED=∠CED=90°$.在$△ABC$中,$∠C+∠ABD+∠EBD+∠A=∠C+2∠C+90°=180°,\therefore ∠C=30°$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的三组三角形全等的条件，利用全等三角形对应角相等的性质，得到对应角的等量关系；接着观察发现∠BED与∠CED是邻补角，和为180°，结合二者相等可推出这两个角以及∠A均为90°；最后根据三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角用∠C表示，建立方程即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ △ADB ≅ △EDB ≅ △EDC，
∴ ∠A = ∠BED = ∠CED，∠ABD = ∠EBD = ∠C。
∵ ∠BED + ∠CED = 180°（邻补角的和为180°），
∴ ∠BED = ∠CED = 90°，
∴ ∠A = ∠BED = 90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠ABC + ∠A = 180°，
又
∵ ∠ABC = ∠ABD + ∠EBD = ∠C + ∠C = 2∠C，
代入得：∠C + 2∠C + 90° = 180°，
即3∠C = 90°，
解得∠C = 30°。
【答案】
30
【知识点】
全等三角形的性质；邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，解题的核心是通过全等关系得到对应角的等量关系，结合邻补角特征和三角形内角和定理建立角度方程求解，能有效考查学生对全等性质的掌握和角度关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的三组三角形全等的条件，利用全等三角形对应角相等的性质，得到对应角的等量关系；接着观察发现∠BED与∠CED是邻补角，和为180°，结合二者相等可推出这两个角以及∠A均为90°；最后根据三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角用∠C表示，建立方程即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ △ADB ≅ △EDB ≅ △EDC，
∴ ∠A = ∠BED = ∠CED，∠ABD = ∠EBD = ∠C。
∵ ∠BED + ∠CED = 180°（邻补角的和为180°），
∴ ∠BED = ∠CED = 90°，
∴ ∠A = ∠BED = 90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠ABC + ∠A = 180°，
又
∵ ∠ABC = ∠ABD + ∠EBD = ∠C + ∠C = 2∠C，
代入得：∠C + 2∠C + 90° = 180°，
即3∠C = 90°，
解得∠C = 30°。
【答案】
30
【知识点】
全等三角形的性质；邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，解题的核心是通过全等关系得到对应角的等量关系，结合邻补角特征和三角形内角和定理建立角度方程求解，能有效考查学生对全等性质的掌握和角度关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在锐角三角形ABC中,F,G分别是AB,AC上的点,$△ ACF ≌ △ ADF$,$△ ABG ≌ △ AEG$,且$DF // GE$,$BG$,$CF$交于点$H$.若$∠ BAC = 40°$,则$∠ BHC$的度数为
100°
.答案
100° 如图
,延长EG交AD于点P. $\because △ACF≌△ADF$,$△ABG≌△AEG$,$∠BAC=40°$,$\therefore ∠DAF=∠EAG=∠BAC=40°,∠D=∠ACF,∠E=∠ABG$,
$\therefore ∠PAE=120°,∴∠APE+∠E=60°.\because DF// EP,\therefore ∠APE=∠D,\therefore ∠APE=∠ACF,\therefore ∠ABG+∠ACF=60°.\because ∠BFH=∠BAC+∠ACF,\therefore ∠BHC=∠ABG+∠BFH=∠ABG+∠BAC+∠ACF=60°+40°=100°$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，可得多组相等的角，同时确定∠DAF、∠EAG都等于已知的∠BAC=40°。接下来结合DF//GE的平行条件，要利用平行线的性质传递角的关系，因此通过延长EG交AD于点P构造同位角，将∠D转化为∠APE。再结合三角形内角和定理求出∠APE与∠E的和，等量代换得到∠ACF与∠ABG的和。最后利用三角形外角的性质，将∠BHC转化为∠BAC与∠ACF、∠ABG的和，代入数值即可求出结果。
【解析】
如图，延长EG交AD于点P。
∵ △ACF ≌ △ADF，△ABG ≌ △AEG，∠BAC=40°，
∴ ∠DAF=∠EAG=∠BAC=40°，∠D=∠ACF，∠E=∠ABG，
∴ ∠PAE=∠DAF+∠BAC+∠EAG=120°，
在△APE中，∠APE+∠E=180°-∠PAE=60°。
∵ DF//EP，
∴ ∠APE=∠D，
又
∵ ∠D=∠ACF，∠E=∠ABG，
∴ ∠ACF+∠ABG=∠APE+∠E=60°。
∵ ∠BFH是△AFC的外角，
∴ ∠BFH=∠BAC+∠ACF，
又
∵ ∠BHC是△BFH的外角，
∴ ∠BHC=∠ABG+∠BFH=∠ABG+∠BAC+∠ACF=60°+40°=100°。
【答案】
100° 如图
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形与平行线的相关性质，解题核心是通过全等、平行线的性质完成角的等量转化，将所求角与已知角建立关联，对学生的逻辑推理能力和角的转化能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，可得多组相等的角，同时确定∠DAF、∠EAG都等于已知的∠BAC=40°。接下来结合DF//GE的平行条件，要利用平行线的性质传递角的关系，因此通过延长EG交AD于点P构造同位角，将∠D转化为∠APE。再结合三角形内角和定理求出∠APE与∠E的和，等量代换得到∠ACF与∠ABG的和。最后利用三角形外角的性质，将∠BHC转化为∠BAC与∠ACF、∠ABG的和，代入数值即可求出结果。
【解析】
如图
，延长EG交AD于点P。∵ △ACF ≌ △ADF，△ABG ≌ △AEG，∠BAC=40°，
∴ ∠DAF=∠EAG=∠BAC=40°，∠D=∠ACF，∠E=∠ABG，
∴ ∠PAE=∠DAF+∠BAC+∠EAG=120°，
在△APE中，∠APE+∠E=180°-∠PAE=60°。
∵ DF//EP，
∴ ∠APE=∠D，
又
∵ ∠D=∠ACF，∠E=∠ABG，
∴ ∠ACF+∠ABG=∠APE+∠E=60°。
∵ ∠BFH是△AFC的外角，
∴ ∠BFH=∠BAC+∠ACF，
又
∵ ∠BHC是△BFH的外角，
∴ ∠BHC=∠ABG+∠BFH=∠ABG+∠BAC+∠ACF=60°+40°=100°。
【答案】
100° 如图
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形与平行线的相关性质，解题核心是通过全等、平行线的性质完成角的等量转化，将所求角与已知角建立关联，对学生的逻辑推理能力和角的转化能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
14. 如图，$△ ABC ≌ △ EBD$，A,B,D三点在一条直线上.
(1)通过怎样的变换方式，可以使$△ ABC$与$△ EBD$完全重合？
(2)判断线段BC和AD的位置关系，并说明理由.
(3)若$AD=14$，$CE=2$，求BE的长.
(1)通过怎样的变换方式，可以使$△ ABC$与$△ EBD$完全重合？
(2)判断线段BC和AD的位置关系，并说明理由.
(3)若$AD=14$，$CE=2$，求BE的长.
答案
解:(1)将$△ABC$绕点B顺时针旋转$90°$,可以与$△EBD$完全重合.(方式不唯一)
(2)$BC⊥AD$.理由如下：
$\because △ABC≌△EBD,\therefore ∠ABC=∠EBD$.
$\because A,B,D$三点在一条直线上,$\therefore ∠ABC+∠EBD=180°$,
$\therefore ∠ABC=∠EBD=90°,\therefore BC⊥AD$.
(3)$\because △ABC≌△EBD$,
$\therefore AB=BE,BC=BD$,
$\therefore AB=BE=BC-CE=BD-2$.
$\because AD=14,\therefore AB+BD=BD-2+BD=14$,
$\therefore BD=8,\therefore BE=6$.
(2)$BC⊥AD$.理由如下：
$\because △ABC≌△EBD,\therefore ∠ABC=∠EBD$.
$\because A,B,D$三点在一条直线上,$\therefore ∠ABC+∠EBD=180°$,
$\therefore ∠ABC=∠EBD=90°,\therefore BC⊥AD$.
(3)$\because △ABC≌△EBD$,
$\therefore AB=BE,BC=BD$,
$\therefore AB=BE=BC-CE=BD-2$.
$\because AD=14,\therefore AB+BD=BD-2+BD=14$,
$\therefore BD=8,\therefore BE=6$.
解析
【分析】
(1) 观察两个三角形共顶点B，对应边、对应角均围绕点B分布，夹角为直角，因此可通过绕点B的旋转变换使两三角形重合；
(2) 判断两直线位置关系优先考虑是否垂直，要证垂直需证夹角为90°，可利用全等三角形对应角相等的性质，结合A、B、D共线形成的平角为180°，推导得夹角为90°即可；
(3) 求BE的长度，先利用全等三角形对应边相等得到线段的等量关系，再结合已知的AD、CE长度，通过线段和差的等量代换建立关系求解即可。
【解析】
(1) 将$△ ABC$绕点B顺时针旋转$90°$，可以与$△ EBD$完全重合（变换方式不唯一，合理即可）。
(2) $BC⊥ AD$，理由如下：
$\because △ ABC ≌ △ EBD$，$\therefore ∠ ABC = ∠ EBD$。
$\because$ A、B、D三点在一条直线上，$\therefore ∠ ABC + ∠ EBD = 180°$，
$\therefore 2∠ ABC = 180°$，即$∠ ABC = ∠ EBD = 90°$，
$\therefore BC⊥ AD$。
(3) $\because △ ABC ≌ △ EBD$，$\therefore AB = BE$，$BC = BD$。
由$CE=2$可得：$BE = BC - CE = BD - 2$，即$AB = BD - 2$。
又$\because AD = AB + BD = 14$，将$AB=BD-2$代入得：
$BD - 2 + BD = 14$，
解得$BD=8$，
$\therefore BE = BD - 2 = 8 - 2 = 6$。
【答案】
(1) 将$△ ABC$绕点B顺时针旋转$90°$可完全重合（答案不唯一）；
(2) $BC⊥ AD$；
(3) $BE=6$
【知识点】
全等三角形的性质、旋转的性质、垂直的判定
【点评】
本题围绕全等三角形的性质设计考点，结合了几何变换、垂直判定和线段长度计算，解题核心是熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，能结合图形梳理清楚线段、角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个三角形共顶点B，对应边、对应角均围绕点B分布，夹角为直角，因此可通过绕点B的旋转变换使两三角形重合；
(2) 判断两直线位置关系优先考虑是否垂直，要证垂直需证夹角为90°，可利用全等三角形对应角相等的性质，结合A、B、D共线形成的平角为180°，推导得夹角为90°即可；
(3) 求BE的长度，先利用全等三角形对应边相等得到线段的等量关系，再结合已知的AD、CE长度，通过线段和差的等量代换建立关系求解即可。
【解析】
(1) 将$△ ABC$绕点B顺时针旋转$90°$，可以与$△ EBD$完全重合（变换方式不唯一，合理即可）。
(2) $BC⊥ AD$，理由如下：
$\because △ ABC ≌ △ EBD$，$\therefore ∠ ABC = ∠ EBD$。
$\because$ A、B、D三点在一条直线上，$\therefore ∠ ABC + ∠ EBD = 180°$，
$\therefore 2∠ ABC = 180°$，即$∠ ABC = ∠ EBD = 90°$，
$\therefore BC⊥ AD$。
(3) $\because △ ABC ≌ △ EBD$，$\therefore AB = BE$，$BC = BD$。
由$CE=2$可得：$BE = BC - CE = BD - 2$，即$AB = BD - 2$。
又$\because AD = AB + BD = 14$，将$AB=BD-2$代入得：
$BD - 2 + BD = 14$，
解得$BD=8$，
$\therefore BE = BD - 2 = 8 - 2 = 6$。
【答案】
(1) 将$△ ABC$绕点B顺时针旋转$90°$可完全重合（答案不唯一）；
(2) $BC⊥ AD$；
(3) $BE=6$
【知识点】
全等三角形的性质、旋转的性质、垂直的判定
【点评】
本题围绕全等三角形的性质设计考点，结合了几何变换、垂直判定和线段长度计算，解题核心是熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，能结合图形梳理清楚线段、角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
15. 推理能力 易错题 如图,已知在$△ ABC$中,$AB = AC = 10\ \mathrm{cm},BC = 8\ \mathrm{cm},D$是$AB$的中点,点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动,同时点$Q$在线段$CA$上以$a\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$C$向点$A$运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)求$CP$的长(用含$t$的式子表示);
(2)若以点$C,P,Q$为顶点的三角形和以点$B,D,P$为顶点的三角形全等,并且$∠ B$和$∠ C$是对应角,求$a$和$t$的值.
(1)求$CP$的长(用含$t$的式子表示);
(2)若以点$C,P,Q$为顶点的三角形和以点$B,D,P$为顶点的三角形全等,并且$∠ B$和$∠ C$是对应角,求$a$和$t$的值.
答案
解题思路:
解:(1)由题意,得$BP=3t$ cm.
$\because BC=8\ \mathrm{cm},\therefore CP=(8-3t)\mathrm{cm}$.
(2)由题意,得$BD=\frac{1}{2}AB=5$ cm,$BP=3t$ cm,$CP=(8-3t)\mathrm{cm}$,$CQ=at$ cm.
分两种情况：
①当$△BDP≌△CPQ$时,$BD=CP,BP=CQ$,
$\therefore 5=8-3t,3t=at$,解得$t=1,a=3$.
②当$△BDP≌△CQP$时,$BP=CP,BD=CQ$,
$\therefore 3t=8-3t,5=at$,解得$t=\frac{4}{3},a=\frac{15}{4}$.
综上所述,$a=3,t=1$或$a=\frac{15}{4},t=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
(1) 先根据点P的运动速度和运动时间求出BP的长度，再用BC的总长度减去BP的长度，即可得到CP的表达式。
(2) 首先求出BD的长度，再用含t、a的代数式分别表示出两个三角形的各边长度。已知∠B和∠C是对应角，因此两个三角形全等存在两种对应情况：①△BDP≌△CPQ，此时对应边为BD=CP、BP=CQ；②△BDP≌△CQP，此时对应边为BP=CP、BD=CQ。分别针对两种情况列方程求解，即可得到a和t的值。
【解析】
(1) 由题意得，点P的运动速度为3cm/s，运动时间为t s，因此$BP=3t$ cm。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，所以$CP=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，D是AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=3t$ cm，$CP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=at$ cm。
因为∠B和∠C是对应角，分两种情况讨论：
① 当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，根据全等三角形对应边相等，可得：
$\begin{cases}BD=CP\\BP=CQ\end{cases}$，即$\begin{cases}5=8-3t\\3t=at\end{cases}$，解得$t=1$，$a=3$。
② 当$△ BDP ≌ △ CQP$时，根据全等三角形对应边相等，可得：
$\begin{cases}BP=CP\\BD=CQ\end{cases}$，即$\begin{cases}3t=8-3t\\5=at\end{cases}$，解得$t=\frac{4}{3}$，$a=\frac{15}{4}$。
【答案】
解题思路:
解:(1)由题意,得$BP=3t$ cm.
$\because BC=8\ \mathrm{cm},\therefore CP=(8-3t)\mathrm{cm}$.
(2)由题意,得$BD=\frac{1}{2}AB=5$ cm,$BP=3t$ cm,$CP=(8-3t)\mathrm{cm}$,$CQ=at$ cm.
分两种情况：
①当$△BDP≌△CPQ$时,$BD=CP,BP=CQ$,
$\therefore 5=8-3t,3t=at$,解得$t=1,a=3$.
②当$△BDP≌△CQP$时,$BP=CP,BD=CQ$,
$\therefore 3t=8-3t,5=at$,解得$t=\frac{4}{3},a=\frac{15}{4}$.
综上所述,$a=3,t=1$或$a=\frac{15}{4},t=\frac{4}{3}$.
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形结合动点的典型习题，解题的核心是根据全等的对应关系准确分类，结合边长相等列方程求解，易错点是遗漏全等的对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据点P的运动速度和运动时间求出BP的长度，再用BC的总长度减去BP的长度，即可得到CP的表达式。
(2) 首先求出BD的长度，再用含t、a的代数式分别表示出两个三角形的各边长度。已知∠B和∠C是对应角，因此两个三角形全等存在两种对应情况：①△BDP≌△CPQ，此时对应边为BD=CP、BP=CQ；②△BDP≌△CQP，此时对应边为BP=CP、BD=CQ。分别针对两种情况列方程求解，即可得到a和t的值。
【解析】
(1) 由题意得，点P的运动速度为3cm/s，运动时间为t s，因此$BP=3t$ cm。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，所以$CP=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，D是AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=3t$ cm，$CP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=at$ cm。
因为∠B和∠C是对应角，分两种情况讨论：
① 当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，根据全等三角形对应边相等，可得：
$\begin{cases}BD=CP\\BP=CQ\end{cases}$，即$\begin{cases}5=8-3t\\3t=at\end{cases}$，解得$t=1$，$a=3$。
② 当$△ BDP ≌ △ CQP$时，根据全等三角形对应边相等，可得：
$\begin{cases}BP=CP\\BD=CQ\end{cases}$，即$\begin{cases}3t=8-3t\\5=at\end{cases}$，解得$t=\frac{4}{3}$，$a=\frac{15}{4}$。
【答案】
解题思路:
解:(1)由题意,得$BP=3t$ cm.
$\because BC=8\ \mathrm{cm},\therefore CP=(8-3t)\mathrm{cm}$.
(2)由题意,得$BD=\frac{1}{2}AB=5$ cm,$BP=3t$ cm,$CP=(8-3t)\mathrm{cm}$,$CQ=at$ cm.
分两种情况：
①当$△BDP≌△CPQ$时,$BD=CP,BP=CQ$,
$\therefore 5=8-3t,3t=at$,解得$t=1,a=3$.
②当$△BDP≌△CQP$时,$BP=CP,BD=CQ$,
$\therefore 3t=8-3t,5=at$,解得$t=\frac{4}{3},a=\frac{15}{4}$.
综上所述,$a=3,t=1$或$a=\frac{15}{4},t=\frac{4}{3}$.
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形结合动点的典型习题，解题的核心是根据全等的对应关系准确分类，结合边长相等列方程求解，易错点是遗漏全等的对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
